אם נזרוק 2 מטבעות הרבה מאוד פעמים, למשל מיליון פעמים (1,000,000 פעמים)
טבלת ההתפלגות מתייחסת למקרה התאורטי של אוכלוסיה אינסופית.
חישוב מספר הצירופים האפשריים בסדרת ניסויים כלשהי
את מספר הצירופים האפשריים ניתן לחשב עפ”י הנוסחא הבאה:
דוגמאות:
- בסבב של 3 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא 8 `(3^2=)` .
- בסבב בן 10 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא 1,024 `(10^2=)` .
- בזריקת 2 קוביות, מספר האפשרויות הוא 36 `(6^2=)` .
- בזריקת 4 קוביות, מספר האפשרויות הוא 1,296 `(6^4=)` .
דוגמא עם מטבעות לא הוגנים (מזויפים)
נניח עכשיו ששתי המטבעות מזויפים וההסתברות לקבלת הצלחה בכל זריקה היא 0.8 (80%)
וההסתברות לכישלון היא 0.2 (20%).
הכנת טבלת האפשרויות וחישוב ההסתברויות (טבלה 2.6)
|
טבלה #2.6 |
||||
|
האפשרויות |
הצרופים האפשריים |
סה”כ הצלחות בכל אפשרות |
הסתברות של האפשרות |
|
|
מטבע ראשונה |
מטבע שנייה |
|||
|
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
|
אפשרות א' |
1 |
1 |
2 |
`0.64 (=0.8*0.8)` |
|
אפשרות ב' |
1 |
0 |
1 |
`0.16(=0.2*0.8)` |
|
אפשרות ג' |
0 |
1 |
1 |
`0.16(=0.8*0.2)` |
|
אפשרות ד' |
0 |
0 |
0 |
`0.04(=0.2*0.2)` |
|
סה”כ |
|
|
|
1.00 |
הצגת ההתפלגות בטבלה ובתרשים:
|
טבלה #2.7 : טבלת ההתפלגות |
|
|
ערך |
הסתברות |
|
0 |
0.04 (4%) |
|
1 |
0.32 (32%) |
|
2 |
0.64 (64%) |
|
סה”כ |
1.00 (100%) |
הסבר לטבלה 2.7 ותרשים 2.8
ההתפלגות משקפת את חישוב ההסתברויות בטבלה 2.6 טור 5.
- ההסתברות ל- 0 הצלחות מתקבלת מאפשרות ד'.
- ההסתברות ל- 1 הצלחה מתקבלת מאפשרויות ב ו- ג'. ` (0.32 = 2*0.16 )`
- ההסתברות ל- 2 הצלחות מתקבלת מאפשרות א'.
חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות הוגנים)
חישוב התוחלת
את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.9 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.9 מתבססת על טבלה 2.5.
|
טבלה #2.9 |
||
|
ערך המשתנה |
ההסתברות |
התרומה לתוחלת |
|
(1) |
(2) |
(3) |
|
2 |
0.25 |
`(2*0.25)=0.50` |
|
1 |
0.5 |
`(1*0.5)=0.5` |
|
0 |
0.25 |
`(0*0.25)=0.00` |
|
|
1.00 |
1.00 (התוחלת) |
חישוב סטיית התקן
את סטיית התקן ניתן לחשב באמצעות חישוב השונות, שאותה נחשב במסגרת טבלה 2.10 המשמשת כטבלת עזר.
|
טבלה #2.10 |
|||||
|
הערך |
התוחלת |
הפער מהתוחלת - |
הפער בריבוע |
הסתברות האפשרות |
התרומה לשונות (5)*(4) |
|
(1) |
(2) |
(3) |
(4) |
(5) |
(6) |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
0.25 |
`0.25 (1*0.25=)` |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0.5 |
`0.00 (0*0.5=)` |
|
0 |
1 |
1- |
1 |
0.25 |
`0.25 (1*0.25=)` |
|
|
|
|
|
1.00 |
0.50 (השונות) |
התוחלת היא הממוצע של ההצלחות בזריקות המטבעות בהיתחשב בהסתברויותיהן.
סטיית התקן היא השורש של השונות: `0.707 =sqrt(0.5`
חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות מזוייפים)
חישוב התוחלת
את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.11 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.11 מתבססת על טבלה 2.7.
|
טבלה #2.11 |
||
|
ערך המשתנה |
ההסתברות |
התרומה לתוחלת (2)*(1) |
|
(1) |
(2) |
(3) |
|
2 |
0.64 |
`(2*0.64=) 1.28` |
|
1 |
0.32 |
`(1*0.32=)0.32` |
|
0 |
0.04 |
`(0*0.04=)0.00` |
|
|
1.00 |
1.60 (התוחלת) |
חישוב סטיית התקן
את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.12 המשמשת כטבלת עזר.
|
טבלה #2.12 |
|||||
|
הערך |
התוחלת |
הפער מהתוחלת - |
הפער בריבוע |
הסתברות האפשרות |
התרומה לשונות |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1.6 |
0.4 |
0.16 |
0.64 |
`(0.16*0.64=) 0.1024` |
|
1 |
1.6 |
0.6- |
0.36 |
0.32 |
`(0.32*0.36=) 0.1152` |
|
0 |
1.6 |
1.6- |
2.56 |
0.04 |
`(2.56*0.04=) 0.1024` |
|
|
|
|
|
1.00 |
0.32 (השונות) |
סטיית התקן היא השורש של השונות: `0.566 =sqrt(0.32`
הפתעה לטובה – חישוב תוחלת וסטיית תקן ברגע
הסטטיסטיקאים גילו שניתן בקלות רבה לחשב תוחלת וסטיית תקן של משתנה מקרי בינומי.
תוחלת = מספר הניסויים כפול ההסתברות להצלחה בכל ניסוי.
שונות = התוחלת כפול ההסתברות לכישלון בכל ניסוי.
דוגמאות
1. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות הוגנים.
|
(מספר הניסויים)
|
(ההסתברות להצלחה)
|
||
|
2
|
*
|
0.5
|
התוחלת: 1 =
|
|
(התוחלת)
|
(ההסתברות לכשלון)
|
||
|
1
|
*
|
0.5
|
השונות: 0.5 =
|
סטיית התקן: `0.707=sqrt(0.5`
זכרו את דרך החישוב הפשוטה הזו, עוד נשתמש בה בהמשך.
2. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות לא הוגנים עם הסתברות להצלחה 0.8.
| (מספר הניסויים) | (ההסתברות להצלחה) | ||
| 2 | * | 0.8 | התוחלת: 1.6 = |
| (התוחלת) | (ההסתברות לכשלון) | ||
| 1.6 | * | 0.2 | השונות: 0.32 = |
3. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות הוגנים.
| (מספר הניסויים) | (ההסתברות להצלחה) | ||
| 10 | * | 0.5 | התוחלת: 5 = |
|
(התוחלת)
|
(ההסתברות לכשלון)
|
||
|
5
|
*
|
0.5
|
השונות: 2.5 =
|
סטיית התקן: `1.58=sqrt(2.5`
4. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות לא הוגנים, שבהם:
ההסתברות ל- 1 (הצלחה) = 0.9
ההסתברות ל- 0 (כשלון) = 0.1
| (מספר הניסויים) | (ההסתברות להצלחה) | ||
| 10 | * | 0.9 | התוחלת: 9 = |
| (התוחלת) | (ההסתברות לכשלון) | ||
| 9 | * | 0.1 | השונות: 0.9 = |
סטיית התקן: `0.949=sqrt(0.9`
