`]` סימול: `Sigma_((1,2)`  `)` בקיצור: `Sigma_((1,2)`   או `”COV”_((1,2)`  `(` `[`

שונות משותפת יכולה להתייחס לכל שני נכסי השקעה (סחורות, מניות, אג”ח, וכיו”ב).

אנו נתמקד במניות: מניה `S_1` ומניה `S_2` .

השונות המשותפת בוחנת כיצד 2 מניות מגיבות לאותו תרחיש.
נתייחס ל- 2 תרחישים שכיחים:
  1. שפל כלכלי  
  2. שגשוג כלכלי

נמשיך את ההסבר באמצעות דוגמאות.

דוגמה 1
מניה S1 – שייכת לחברת בניה בשםAA , שהתוחלת שלה 10%.
מניה S2 – שייכת לחברת בניה בשם BB, שהתוחלת שלה 15%.
בתרחיש 1 (מיתון) התשואה של AA יורדת ל- 5% ושל BB ל- 8%. בשתי המניות התשואה במיתון יורדת מתחת לתוחלת.
בתרחיש 2 (שגשוג) התשואה של AA עולה ל- 15% ושל BB ל- 20%. בשתי המניות התשואה עולה מעל התוחלת.

שונות משותפת חיובית

שונות משותפת חיובית זה מצב שבו 2 מניות מגיבות לאותם תרחישים באותו כיוון ביחס לתוחלת שלהן. כלומר, שהשונות המשותפת שלהם חיובית. בדוגמה 1 השונות המשותפות של S1 ו-S2 היא חיובית.
שתי החברות, AA ו-BB, הן מאותו ענף וסביר שהן יושפעו באותו כיוון בעתות מיתון ובעתות שגשוג.

 

שונות משותפת שלילית

כאשר 2 מניות מגיבות בכיוונים מנוגדים לאותם תרחישים אנו אומרים שהשונות המשותפת שלהם שלילית.

דוגמה 2

מניה S3 – שייכת לחברת טיולי יוקרה, התוחלת שלה 10%.
מניה S4– שייכת לחברת טיולים עממיים, התוחלת שלה 8%.

 

בשפל התשואה של S3 יורדת ל- 8% וזו של S4 עולה ל-15%.
בשגשוג התשואה של S3 עולה ל- 15% וזו של S4 יורדת ל-4%.
 
ומכאן שהשונות המשותפת של S3 ו S4-היא שלילית.

 

שונות משותפת = 0

כאשר אין קשר בכיווני התגובה של כל אחת מהמניות לתרחיש כלשהו, אנו אומרים שהשונות המשותפת היא 0.
בד”כ אנו מוצאים שקיימת שונות משותפת של 0, לא בין 2 מניות, אלא בין מניה ונכס חסר סיכון. כי נכס חסר סיכון אינו מושפע מתרחיש כלשהו (שפל או שגשוג). בכל תרחיש התשואה שלו קבועה. אילו התשואה לא הייתה קבועה הוא לא היה נכס חסר סיכון.
השונות המשותפות של מניה ונכס חסר סיכון היא 0.

 

חישוב שונות משותפת

החישוב נעשה ב- 3 מהלכים שאותם נלווה בדוגמה שנתוניה מפורטים בטבלה 3.

טבלה #3

המניות

E (מחושב)

`Sigma`  (מחושב)

תרחיש 1

הסתברות התרחיש – 20%

התשואות

תרחיש 2

הסתברות התרחיש – 80%

התשואות

(1)

(2‚)

(3ƒ)

(4„)

(5…)

S5

0.128

0.024

0.08

0.14

S6

0.164

0.032

0.10

0.18

הסבר לטבלה:

  • טור 1 – שמות המניות.
  • טורים 2 ו-3 – תוחלת וסטיית תקן של המניות.
  • טורים 4 ו- 5 – תשואת המניות בכל תרחיש. ההסתברות לתרחיש נקובה בכותרת.

חישוב תוחלת של כל מניה:

בתרחיש 1: 

תשואת תרחיש הסתברות התרחיש תשואת תרחיש הסתברות התרחיש
`0.128` `0.14]=` `[0.8*` `0.08]+` `[0.2*` `E_(S_5)=`

בתרחיש 2: 

תשואת תרחיש הסתברות התרחיש תשואת תרחיש הסתברות התרחיש
`0.164` `0.18]=` `[0.8*` `0.10]+` `[0.2*` `E_(S_6)=`

חישוב סטיית תקן של כל מניה:

`Sigma_(S_5=sqrt(0.000576)=0.024=(2.4%)`

` ``[0.000576=5.76*10^(-4)]` 

 

סטיית התקן (σ) היא שורש השונות (Var)

`VAR=Sigma^2,sqrt(Var)=Sigma`

תוחלת תשואה

תשואת
תרחיש 2

 הסתברות תרחיש 2 תוחלת תשואה תשואת
תרחיש 1		 הסתברות תרחיש 1
`=0.0010224` `0.164)^2=` `(0.18-` `0.8*` `0.164)^2+` `(0.10-` `0.2*` `Var(S_6)=`

`Sigma_(S_6=sqrt(0.0010224)=0.032=(3.2%)`

` ``[0.0010224=1.0224*10^(-3)]` 

חישוב השונות המשותפת `Sigma_(5,6` :

הנוסחה הכללית לחישוב השונות של סל המכיל 2 מניות היא

`Var(B)=Sigma_(B)^2=W_1^2*Sigma_s_1^2+w_2^2*Sigmas_2^2+2*w_1*w_2*Sigma_(1,2`
 

את השונות של כל מניה מצאנו כבר ועתה נחשב את השונות המשותפת σ1,2 (בדוגמה שלנו σ5,6). לאחר מכן נוכל לחשב את (Var(B

פירוט שלושת המהלכים לחישוב השונות המשותפת, מלווים בטבלה 4.
בכל תרחיש, מחשבים את הפער בין התשואה לתוחלת בכל אחת מהמניות, ומכפילים את הפערים בשתי המניות.

 

את מכפלת הפערים בכל תרחיש, מכפילים בהסתברות להתממשות התרחיש.
סכום התוצאות שהתקבלו ב- 2 התרחישים היא השונות המשותפת.
החישוב בכל מהלך והתוצאות המתקבלות מפורטים בטבלה 4.

טבלה #4

 

התוצאה
(6)*(3)

ƒž†

מכפלת הפערים
(5)*(4)

„ž…

מכפלת הפערים בכל מניה

הסתברות התרחישים

מניה `S_6`

מניה `S_5`

(1)

‚(2)

(3)ƒ

(4)„

(5)…

(6)†

       (`darr` E ) – (`darr` תשואה)

  (`darr` E ) – (`darr` תשואה)  

תרחיש 1- שפל

`0.000614`

`0.00307`

`(0.1-0.164)=(-0.064)` ž

`(0.08-0.128)=-(0.048)`

0.2

 (`darr` E ) – (`darr` תשואה)  


 (`darr` E ) – (`darr` תשואה)

תרחיש 2- שגשוג

`0.0001536`

`0.000192`

  ž `(0.18-0.164)=0.016`

`(0.14-0.128)=0.012`

0.8

השונות המשותפת

`0.000768=10^(-4)*7.68`

 

 

 

 

 

הסבר לטבלה 4

שורה 1 מתייחסת לתרחיש 1 (שפל).
שורה 2 מתייחסת לתרחיש 2 (שגשוג).
טור 4 – הטור מתייחס למניה . בשורה 1 מוצג ומחושב הפער בין התשואה
לתוחלת בתרחיש 1, ובשורה 2 מוצג ומחושב הפער בתרחיש 2.
טור 5 – הטור מתייחס למניה   באותה מתכונת של טור 4.
טור 2 – מכפלה של טור 3 בטור 6.
סכום 2 השורות בטור 2 (=7.680ž10-4) הוא השונות המשותפת σ5,6.
  

חישוב השונות המשותפת של סל בן 2 מניות  `Sigma^2(B)=Var(B)`

השונות של סל מניות, המכיל 2 מניות, תלויה בשונות (או בסטיית התקן = שורש השונות) של כל מניה בנפרד וגם בשונות המשותפת של 2 המניות.

הנוסחה לחישוב השונות של סל בן 2 מניות, S1 ו-S2 :

`Var(B)=Sigma_(B)^2=W_1^2*Sigma_(S_1)^2+W_2^2*Sigma_(S_2)^2+2*W_1*W_2*Sigma_(S_1,S_2` 

מקרא

`(Var(B`  – השונות של סל  B.
`Sigma_B^2` – סטיית התקן של סל  B בריבוע (= שונות).
`W_1`  – משקל מניה S1 בסל.
`W_2` – משקל מניה S2 בסל.
`Sigma_(S1)^2` – סטיית התקן של מניה S1, בריבוע.
`Sigma_(S2)^2` – סטיית התקן של מניה S2, בריבוע.
`Sigma_(S1,S2)`  – השונות המשותפת של מניות  S1 ו- S2.

 

דגש: השונות המשותפת `Sigma_(S1,S2`  מתארת את מידת ההשתנות המשותפת של מניות 1 ו-2, כלומר, באיזו מידה שתי המניות מגיבות באופן דומה לתרחישים זהים.

שונות הסל (Var(B מתארת את התנודתיות הכוללת של הסל B (כיחידה אחת).

תרגיל

נתונות 2 המניות S5 ו- S6 מהדוגמה לחישוב שונות משותפת של 2 מניות.

נציג בטבלה 5 את נתוני המניות שחושבו בדוגמה.

טבלה #5

המניות

E

`Sigma`

 σ (s5,s6)
או בקיצור σ5,6

(1)

‚(2)

(3)ƒ

(4)„

`S_5`

0.128

0.024

 

S_6

0.164

0.032

 

 

 

 

`7.68*10^-4`

מהי השונות ומהי סטיית התקן של סל שמכיל בתוכו 20% ממניה S5 ו- 80% ממניה S6?
(שים לב שסה”כ 100% = 80%+20% , כלומר 100% של הסל).

 

פתרון

20% הוא למעשה W5  (המשקל של מניה S5 בסל).
80% הוא למעשה W6  (המשקל של מניה S6 בסל).
עבור מניות S5 ו-6S הנוסחה תהיה:
`Var(B)=Sigma_(B)^2=W_5^2*Sigma_(S_5)^2+W_6^2*Sigma_(S_6)^2+2*W_5*W_6*Sigma_(5,6` 
`=0.2^2*0.024^2+0.8^2+0.032^2+2*0.2*0.8*7.68*10^-4=9.24*10^-4`
`darr`
`Sigma_B=sqrt(Var(B))=0.0304`

שונות משותפת – פרשנות

מתוך התוצאה של השונות המשותפת אנו לא יכולים ללמוד על עצמת הקשר בין המניות.

לדוגמה:

אם בין צמד מניות S1 ו-S2 השונות המשותפת `Sigma_((1,2)` היא 0.3.
ובין צמד מניות S3 ו-S4 השונות המשותפת `Sigma_((3,4)` היא 0.4.
אי אפשר להסיק שעוצמת הקשר בצמד S1 ו-S2 גדולה מזו של הצמד S3 ו-S4.
בדיוק כפי שאי אפשר לקבוע שרווח של 10$ במניה S1 עדיף על רווח של 8$ במניה S2.
כדי להחליט איזה רווח עדיף, עלינו לקבל מידע נוסף המתייחס למחירי המניות.
השוואה לגבי עוצמת הקשר בין צמדי מניות ניתן לעשות באמצעות כלי סטטיסטי שנקרא: מקדם המתאם, שיוסבר מיד.