בדיקת השערות מורכבות במבחן Wald

הבחנה בין השערות פשוטות למורכבות

באחד הפרקים הקודמים למדנו לבדוק השערות באמצעות מבחן.t השערות אלה היו השערות פשוטות, שכן הופיע בהן רק פרמטר אחד. בפרק זה נלמד לבצע בדיקת השערות כאשר מופיע בהן יותר מפרמטר אחד. השערות כאלה הן השערות מורכבות. לבדיקת השערות מורכבות נשתמש במבחן.Wald

בדיקת השערות מורכבות

דוגמה חוקר מעוניין לאמוד את המודל \(Y_i = \alpha + \beta X_i + \gamma Z_i + u_i\) באמצעות מדגם בן 15 תצפיות. לחוקר יש מידע מוקדם כי החותך הוא 5 (\(\alpha = 5\)) וכי שני השיפועים שווים זה לזה (\(\beta = \gamma\)). תחילה אמד החוקר את המודל בתוכנת אקסל. בתרשים 10 מוצגים נתוני המדגם, פקודת האמידה והאומדנים:

\[\hat{\sigma}_{\hat{\alpha}} = 1.938589, \quad \hat{\sigma}_{\hat{\beta}} = 0.163984, \quad \hat{\sigma}_{\hat{\gamma}} = 0.163984\]

בטורים B, A ו-C מפורטים נתוני המדגם בן 15 התצפיות. כאשר לכל תצפית נתון גם הערך של המשתנה המסביר (בטור )C וגם הערך של המשתנים המסבירים (בטורים A ו.)B –
באזור הצבוע מופיעים האומדנים וסטיות התקן שלהם:

תרשים 10 מהשוואת האמידה למידע המוקדם שיש לחוקר מתקבל כי \(\hat\alpha = 6.34\) (ולא 5) וכי \(\hat\beta\) קרוב ל-\(\hat\gamma\) אך לא ממש שווה לו. עם זאת יכול להיות שהתוצאות שהתקבלו הן סטיות סבירות מבחינה סטטיסטית מההשערה. כדי לסתור או לוודא את ההשערה נצטרך לבדוק אותה באמצעים סטטיסטיים מדעיים. ההשערה שאותה רוצה החוקר לבדוק היא (המידע המוקדם): \(H_0:\ \alpha = 5,\ \beta = \gamma\), ואחרת \(H_1\). זוהי השערה מורכבת ונבדוק אותה באמצעות מבחן Wald שיתואר להלן.

מבחן Wald

במסגרת מבחן Wald אנו מבצעים מספר מהלכים שבסופם מתקבלת תוצאה שנקראת: Wald סטטיסטי, שסימולה. Wald stat: את ה Wald -הסטטיסטי משווים למספר מסויים שמתקבל מטבלה, המכונה טבלת.F אם Wald stat קטן ממספר זה לא ניתן לדחות את השערת האפס ואנו מחליטים שהמידע המוקדם נכון. אם Wald stat גדול ממספר זה אנו דוחים את השערת האפס ומחליטים שהמידע המוקדם איננו נכון.

המהלכים לחישוב Wald stat

א. שינוי פני המודל המקורי

\[Y_i = 5 + \beta X_i + \beta Z_i + u_i\]

מציבים במודל המקורי את נתוני השערת האפס. בדוגמה, המודל ישתנה ל-\(Y_i = 5 + \beta X_i + \beta Z_i + u_i\).
מעבירים לאגף שמאל את כל האיברים שאין בהם פרמטרים לאמידה )הערה: הגורם המקרי תמיד נשאר באגף ימין(. בדוגמה, המצב הוא כדלקמן: \(Y_i = 5 + \beta X_i + \beta Z_i + u_i\). 5 הוא מספר, הגורם המקרי תמיד נשאר אין פרמטר לאמידה. באגף ימין. 5 צריך לעבור לאגף שמאל. יש פרמטר לאמידה (\(\beta\)) יש פרמטר לאמידה (\(\beta\)) איבר זה נשאר באגף ימין. איבר זה נשאר באגף ימין. לאחר ההעברה של המספר 5 נקבל \(Y_i – 5 = \beta X_i + \beta Z_i + u_i\).
באגף ימין יש לדאוג שכל פרמטר יופיע פעם אחת בלבד, באמצעות הפיכתו לגורם משותף. בדוגמה, נהפוך את הפרמטר \(\beta\) לגורם משותף, ונקבל \(Y_i – 5 = \beta(X_i + Z_i) + u_i\). המודל שהתקבל מכונה המודל המוגבל (.)Restricted Model במודל המוגבל שבדוגמה המשתנה המוסבר הוא \(Y_i – 5\) והמשתנה המסביר הוא \(X_i + Z_i\). נשים לב שהמשתנה המסביר במודל המוגבל הוא סכום של שני משתנים מוסברים במודל המקורי, וכן שבמודל המוגבל אין חותך. המודל המקורי מכונה המודל הלא-מוגבל ( )Unrestricted Model או המודל החופשי. ב. אמידה של שני המודלים: המודל הלא-מוגבל (המודל המקורי) והמודל המוגבל

את המודל הלא-מוגבל כבר אמדנו (ראו תרשים, 10) אבל יש צורך באמידה המספקת עוד נתונים סטטיסטיים (כמו שעשינו במקרה של.) R 2 לשם כך, יש לסמן אזור של 5 שורות, ולקבל תוצאות כמו בתרשים.11 תרשים 11 כעת נייצר את המשתנים (המוסבר והמסביר) של המודל המוגבל. המשתנה המוסבר הוא \(Y_i – 5\) והוא מופיע בעמודה F בתרשים 12 (יוצרים אותו ע"י הורדת המספר 5 מכל ערכי \(Y_i\) המקוריים המופיעים בעמודה C). המשתנה המסביר הוא \(X_i + Z_i\) והוא מופיע בעמודה E בתרשים 12 (יוצרים אותו ע"י סיכום הערכים של \(X_i\) ושל \(Z_i\) המופיעים בעמודות A ו-B).

שימו לב שהאיבר השלישי בפקודת האמידה (=LINEST)F2: F16, E2: E16,0,1 הוא,0 וזאת כדי לציין שבמודל אין חותך. הערה: תרשים 12 הוא הרחבה של תרשים.11 הוא מכיל הן את האמידה של המודל הלא-מוגבל (כפי שמופיע גם בתרשים 11) והן את האמידה של המודל המוגבל. תרשים 12

חישוב Wald stat ג. לחישוב Wald stat נתבונן באזור של תוצאות האמידה ונשתמש בתוצאות שנמצאות בשורות הרביעית והחמישית בעמודה השניה. התוצאה הנמצאת בשורה הרביעית בעמודה השניה נקראת מספר דרגות החופש וסימולה הוא. DF התוצאה הנמצאת בשורה החמישית בעמודה השניה נקראת סכום ריבועי הסטיות וסימולה הוא. SSE את התוצאות של המודל הלא-מוגבל נסמן ע"י המילה, unrestricted ואת התוצאות של המודל המוגבל נסמן ע"י המילה.restricted נשלוף את התוצאות מתוך תרשים 12: \(SSE_{unrestricted} = 90.09\), \(DF_{unrestricted} = 12\), \(SSE_{restricted} = 93.68\), \(DF_{restricted} = 14\). הנוסחה לחישוב Wald stat היא: \[\text{Wald stat} = \frac{(SSE_{restricted} – SSE_{unrestricted})/(DF_{restricted} – DF_{unrestricted})}{SSE_{unrestricted}/DF_{unrestricted}}\] נציב את נתוני הדוגמה ונקבל:

\[\text{Wald stat} = \frac{(93.68 – 90.09)/(14 – 12)}{90.09/12} = \frac{1.795}{7.5075} = 0.24\]

השוואת Wald stat עם המספר מתוך טבלת F.

נשים לב כי הנוסחה לחישוב Wald stat בנויה משבר שהן במונה שלו והן במכנה שלו מופיעים

שברים. נתבונן במכנים של שברים אלה. בדוגמה: .המכנה של שבר זה הוא.2 • השבר המופיע במונה של Wald stat הוא .המכנה של שבר זה הוא.12 • השבר המופיע במכנה של Wald stat הוא

שני המכנים הנ"ל 2 ו-12 יעזרו לנו לשלוף מספר מתוך טבלת F המופיעה כאן.

טבלת F

המכנה של המונה המכנה של המכנה 2.60 3.00 3.84 מעל 120 נשלוף מתוך הטבלה את המספר המופיע בטור של המכנה של המונה (טור 2) ובשורה של המכנה של המכנה (טור.12) המספר הוא.3.89 מספר זה מכונה הערך הקריטי.

נשווה את Wald stat (בדוגמה 0.24) לערך הקריטי (בדוגמה 3.89). אם Wald stat קטן מהערך הקריטי מקבלים את השערת האפס. אם Wald stat גדול מהערך הקריטי דוחים את השערת האפס. בדוגמה, הערך של Wald stat קטן מהערך הקריטי מהטבלה (\(0.24 < 3.89\)), לפיכך איננו דוחים את השערת האפס, ואנו מחליטים כי המידע המוקדם שיש לחוקר הוא נכון (\(\beta = \gamma\)).

גילוי נאות: התוכן באתר אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, מסים או השקעות. החלטות פיננסיות אישיות מומלץ לקבל בליווי בעל מקצוע מוסמך.