הוכחת חוקי הגזירה

אמנם הקדמנו וטענו שהוכחת חוקי הגזירה די מיותרת לכלכלנים, אך עם זאת מצאנו לנכון להמחיש את דרך החשיבה המתמטית בהקשר של חוקי הגזירה.

כדוגמה נתייחס לפונקציה `f(x)=x^2`.

### חישוב שיפוע הפונקציה בערך x כלשהו

נרצה לחשב את השיפוע בנקודה B. הנקודה היא `(X_B , X^2_B)`. הנקודה A קרובה ל-B וערכיה הם `(X_A , X^2_A)`.

ההסבר מלווה בתרשים בהמשך.

### סימולים

– הערך `X_A` הוא הערך הנושק ל- `X_B` מימין או משמאל.
– הנקודה A היא תוצאת הפונקציה בערך `X_A`, כלומר `X^2_A`.
– הנקודה B היא תוצאת הפונקציה בערך `X_B`, כלומר `X^2_B`.
– `Deltay` מוגדר כ- `[f(X_A),f(X_B)]`, כלומר `[X^2_A,X^2_B]`.
– `Deltax` מוגדר כ-`[X_A-X_B]`.

השבר `(Deltay)/(Deltax)` כאשר `X_A=>X_B` מייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה B (במילים: כאשר `X_A` שואף ל-`X_B` ונקודה A מתלכדת עם נקודה B).

נציב במקום `Deltay`, את הביטוי `[X^2_A-X^2_B]` ובמקום `Deltax` את הביטוי `[X_A-X_B]` ונקבל את **משוואה 1**.

**משוואה 1**: `[(X^2_A-X^2_B)/(X_A-X_B)]=(Deltay)/(Deltax)`

נתייחס לאיבר בסוגריים במשוואה 1: כאשר `X_A=>X_B` `X_A` מתלכד עם `X_B` והנקודה A מתלכדת עם B.

אם בעקבות ההתלכדות נציב `X_B` במקום `X_A`, נקבל 0 במונה ו-0 במכנה, ותוצאת השבר היא 0 `[0/0=]`, שמשמעותה: השיפוע בכל נקודה על העקום הוא 0. אנו כמובן יודעים שזה לא נכון.

### התחכום

המתמטיקאים מפרקים את המונה ל- 2 מכפלות:

`(X_A-X_B)(X_A+X_B)=[X^2_A-X^2_B]` ומתקבלת **משוואה 2**.

**משוואה 2**: `((X_A-X_B)(X_A+X_B))/(X_A-X_B)=(Deltay)/(Deltax)`

אם נציב עכשיו `X_B` במקום `X_A` נקבל `2X_B`.

יוצא אפוא שכאשר `f(x)=x^2`

הנגזרת היא: `f'(x)=2x`

תחכומים דומים משמשים בהוכחת שאר חוקי הגזירה.