משתנים מקריים נפוצים

התפלגות בינומית (או: משתנה מקרי בינומי)

התפלגות בינומית היא התפלגות של משתנה מקרי בינומי. נבחין בין 2 סוגים של משתנים מקריים בינומיים.

1. משתנה מקרי בינומי ראשוני.

2. משתנה מקרי בינומי.

משתנה מקרי בינומי ראשוני

משתנה מקרי בינומי ראשוני הוא משתנה שיכול לקבל רק 2 ערכים. לדוגמה:

• הטלת מטבע הערכים האפשריים: עץ או פלי.
• זריקה לסל הערכים האפשריים: קליעה או פספוס.
• מיון ביצים הערכים האפשריים: סוג א' או סוג אחר. בהמשך נקרא למשתנה מקרי בינומי ראשוני – ניסוי. בכל ניסוי, את אחד הערכים נכנה הצלחה ונסמלו 1.: ואת הערך האחר נכנה כשלון ונסמלו 0.: אין משמעות איזה מהם מכנים הצלחה, אך כדאי לבחור באופן הגיוני. למשל, בזריקות לסל -קליעה תחשב הצלחה, והחטאה תחשב כשלון. במיון ביצים – ביצה סוג א' תחשב הצלחה, וביצה מסוג נמוך יותר תחשב כשלון.

משתנה מקרי בינומי

משתנה מקרי בינומי הוא משתנה המבוסס על סדרת ניסויים זהים, כאשר התוצאה של כל ניסוי יכולה להיות הצלחה או כשלון, וההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא זהה )ואז, גם ההסתברות לכשלון בכל ניסוי היא זהה(. דוגמאות:

• מספר ההצלחות בסדרה של 4 זריקות מטבע (הצלחה = עץ). המשתנה יכול לקבל 5 ערכים 4.,3,2,1,0:
• מספר ההצלחות בסדרה של 10 זריקות לסל (הצלחה = קליעה לסל) המשתנה יכול לקבל 11 ערכים 10…. 2,1,0:
• מספר ההצלחות במיון תבנית של 30 ביצים (הצלחה = ביצה סוג א') המשתנה יכול לקבל 31 ערכים 30…. 2,1,0: משתנה מקרי בינומי הינו משתנה מקרי בדיד כי הוא מקבל רק ערכים שלמים )מ 0-עד מספר הניסויים(.

פרידה ממשתנה מקרי בינומי ראשוני

בספרות לא קיים המונח משתנה מקרי בינומי ראשוני. המצאנו אותו רק לצורך ההסבר. משתנה זה הינו למעשה משתנה מקרי בינומי שיש בו ניסוי אחד בלבד.

התפלגות של משתנה מקרי בינומי

ההתפלגות משקפת את ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה. נתחיל בדוגמה פשוטה שבה המשתנה הוא: מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות )אין הבדל בין זריקת 2 המטבעות יחד או ברצף(.הצלחה מוגדרת כקבלת "עץ" בזריקה. קבלה של "פלי" מוגדרת ככשלון. המשתנה המקרי יכול לקבל 3 ערכים: הערך של המשתנה המקרי הבינומי המקרה (מספר ההצלחות) לא התקבל אף "עץ" 0 (בשתי הזריקות התקבל "פלי") 1 באחת הזריקות התקבל "עץ" ובזריקה האחרת התקבל "פלי" 2 בשתי הזריקות התקבל "פלי" ההסתברות להצלחה היא, 1 וההסתברות לכשלון היא. 1 לפני שנסביר כיצד אנו מחשבים את ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה נציג את התוצאה הסופית של התפלגות המשתנה המקרי בשתי הדרכים המקובלות:

• טבלת ההתפלגות (טבלה 2.1)
• תרשים ההתפלגות (תרשים 2.2) תרשים – 2.2 תרשים ההתפלגות טבלה – 2.1 טבלת ההתפלגות הסתברות 1 ההסתברות ערכי המשתנה (מספר ההצלחות) 1 סה"כ ערכי 0 המשתנה (מספר ההצלחות)

טכניקת חישוב ההתפלגות (ההסבר מלווה בדוגמא של זריקת 2 מטבעות) חישוב ההתפלגות נעשה ב-3 מהלכים:

• הכנת טבלה שבה מפורטות כל הצרופים האפשריים בזריקת 2 קוביות שנקרא לה בקיצור: טבלת האפשרויות.
• חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות בטבלה.
• חישוב ההסתברות לקבל כל ערך במשתנה (על בסיס טבלת האפשרויות) והצגתה בטבלת ההתפלגות. זהירות: אל תתבלבלו בין טבלת האפשריות לבין טבלת ההתפלגות. כל אפשרות היא למעשה צירוף אפשרי כלשהו של הצלחות וכשלונות (אחדים ואפסים). א. הכנת טבלת האפשרויות טבלה 2.3 נקראת: טבלת האפשרויות. הטבלה מפרטת את כל הצירופים האפשריים שיכולים להתקבל בזריקת 2 מטבעות – 1(.מסמל הצלחה – 0, מסמל כשלון) טבלה – 2.3 טבלת האפשרויות סה"כ הצלחות הצרופים האפשריים בכל אפשרות האפשרויות מטבע שנייה מטבע ראשונה 2 1 1 אפשרות א' 1 0 1 אפשרות ב' 1 1 0 אפשרות ג' 0 0 0 אפשרות ד' הסבר לטבלה 2.3 כללי: בזריקת 2 מטבעות ישנם רק 4 צירופים אפשריים. אפשרות א' -קבלת הצלחה ( 1) במטבע הראשון והצלחה ( 1) במטבע השני. אפשרות ב' -קבלת הצלחה ( 1) במטבע הראשון וכשלון ( 0) במטבע השני. אפשרות ג' -קבלת כשלון ( 0) במטבע הראשון והצלחה ( 1) במטבע השני. אפשרות ד' -קבלת כשלון ( 0) במטבע הראשון וכשלון ( 0) במטבע השני. (נסביר בהמשך איך ניתן לחשב מראש את מספר הצירופים האפשריים).

טורְ 4 מַרכֵ ז את מספר ההצלחות בכל אחת מ-4 האפשרויות. 2 הצלחות מתקבלות רק באפשרות א'. 1 הצלחה (הצלחה אחת) מתקבלת באפשרות ב' ובאפשרות ג'. 0 הצלחות מתקבלות רק באפשרות ד'. ב. חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מ-4 האפשרויות ההסתברות לקבלת אפשרות כלשהי, מושפעת מהסתברות לקבלת הצלחה ולקבלת כשלון בכל ניסוי. בדוגמא שלנו, ההסתברות היא ½ הן להצלחה והן לכישלון. נוסיף לטבלה טור חמישי שבו תחושב ההסתברות לכל אפשרות. טבלה 2.4 הסתברות סה"כ הצלחות הצרופים האפשריים האפשרויות של האפשרות בכל אפשרות מטבע שנייה מטבע ראשונה ¼ =½ ½  2 1 1 אפשרות א' ¼ =½ ½  1 0 1 אפשרות ב' ¼ =½ ½  1 1 0 אפשרות ג' ¼ =½ ½  0 0 0 אפשרות ד' 1 סה"כ נסביר את חישוב ההסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות כפי שמפורטות בטור 5 מקרא אפשרות א' ) 1( 1),1 בזריקה ראשונה, ו-1 בזריקה שנייה(.

• 1 הצלחה ההסתברות לקבלת 1 במטבע הראשונה היא ½.
• 0 כישלון ההסתברות לקבלת 1 במטבע השנייה היא ½. ההסתברות לקבלת האפשרות ( 1),1 היא ¼ (מכפלה של ½.)½  אפשרות ב' )(0,1 ההסתברות לקבלת 1 במטבע הראשונה היא ½. ההסתברות לקבלת 0 במטבע השנייה היא ½. ההסתברות לקבלת האפשרות ( 0),1 היא ¼ (מכפלה של ½.)½ 

אפשרות ג' )(1,0 ההסתברות לקבלת 0 במטבע הראשונה היא ½. ההסתברות לקבלת 1 במטבע השנייה היא ½. ההסתברות לקבלת האפשרות ( 0),1 היא ¼ (מכפלה של ½.)½  אפשרות ד' )(0,0 ההסתברות לקבלת 0 במטבע הראשונה היא ½. ההסתברות לקבלת 0 במטבע השנייה היא ½. ההסתברות לקבלת האפשרות ( 0),0 היא ¼ (מכפלה של ½.)½  ג. ההסתברות לקבלת כל אחד מערכי המשתנה כאמור ערכי המשתנה הם מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות. הערכים האפשריים הם 2.,1,0: כדי לקבל את ההסתברות של כל ערך, עלינו לספור כמה אפשרויות בטבלה 2 מניבות אותו ערך (הערך מוצג בטור 4 בטבלה). ההסתברות לקבלת כל אחד מהערכים היא מכפלה של שני נתונים: .I הסתברות לקבלת כל אחת מהאפשרויות שמניבות את אותו ערך .II מספר האפשרויות שמניבות את אותו ערך ההסתברות לקבלת כל אחד מהערכים נמחיש זאת לגבי כל אחד מהערכים של ההתפלגות, כפי שמוצג בטבלה 2 0.I הצלחות אנו מקבלים 0 הצלחות רק באפשרות ד' (צרוף של 0),0 הסיכוי של אפשרות ד' להתקבל היא ¼ (טור 5) 1.II הצלחה (הצלחה אחת) אנו מקבלים 1 הצלחה גם באפשרות ב' וגם באפשרות ג'. הסיכוי של אפשרות ב' להתקבל הוא ¼. הסיכוי של אפשרות ג' להתקבל הוא ¼. לאור זאת הסיכוי לקבלת 1 הצלחה הוא ½ (=1)/4  2

2.III הצלחות אנו מקבלים 2 הצלחות רק באפשרות א' (צרוף של 1),1 הסיכוי לקבלת אפשרות זו הוא ¼.

סה"כ ההסתברויות של ההתפלגות מסתכם ב 1-

מהניתוח שלעיל נובעת טבלת ההתפלגות: טבלה 2.5 ערכי המשתנה ההסתברות (מספר ההצלחות) 1 סה"כ

המשותף לכל האפשרויות המניבות את אותו ערך (טבלה 2.3) כל האפשרויות המתייחסות לאותו ערך (למשל הצלחה אחת), הן בעלות אותה הסתברות להופיע. וההסבר: בכל אחת מאפשרויות אלו, יש אותו מספר הצלחות ואותו מספר כישלונות. טבלה 2.3 אינה ממחישה זאת היות שבה לכל אחת מהאפשרויות יש אותה הסתברות להופיע, כתוצאה מכך שבכל זריקה ההסתברות להצלחה = להסתברות לכישלון. אך טבלאות 2.6 ו 2.13-בהמשך, ימחישו לכם זאת היטב.

משמעות ההסתברות שמתלווה לכל ערך של המשתנה

אם נזרוק 2 מטבעות הרבה מאוד פעמים, למשל מליון פעמים ( 1,000,000 פעמים) אזי, סביר שהערכים של המשתנה המקרי יתפלגו כדלקמן: בכ 1 4 -מהזריקות יהיו 0 הצלחות(.כ 250,000-פעמים) בכ 1 2 -מהזריקות יהיו 1 הצלחות(.כ 500,000-פעמים) בכ 1 4 -מהזריקות יהיו 2 הצלחות(.כ 250,000-פעמים) אילו, באופן תאורטי, היתה לנו אפשרות לזרוק את הקוביות אינסוף פעמים אז: בדיוק ב 1 4 -מהזריקות יהיו 0 הצלחות. בדיוק ב 1 2 -מהזריקות יהיו 1 הצלחות. בדיוק ב 1 4 -מהזריקות יהיו 2 הצלחות. טבלת ההתפלגות מתייחסת למקרה התאורטי של אוכלוסיה אינסופית.

חישוב מספר הצירופים האפשריים בסדרת ניסויים כלשהי

את מספר הצירופים האפשריים ניתן לחשב עפ"י הנוסחא הבאה: מספר הניסויים a מספר הערכים שהניסוי יכול לקבל n n בחזקת a דוגמאות .I בסבב של 3 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא.(23=) 8 .II בסבב בן 10 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא.(210 =) 1,024 .III בזריקת 2 קוביות, מספר האפשרויות הוא.(62=) 36 .IV בזריקת 4 קוביות, מספר האפשרויות הוא.(64=) 1,296

דוגמא עם מטבעות לא הוגנים (מזויפים)

נניח עכשיו ששתי המטבעות מזויפים וההסתברות לקבלת הצלחה בכל זריקה היא 0.8 ( 80)%וההסתברות לכישלון הוא.(20%) 0.2 הכנת טבלת האפשרויות וחישוב ההסתברויות (טבלה 2.6) טבלת אפשרויות –טורים 1-4 חישוב ההסתברויות –טור 5 טבלה 2.6 הסתברות סה"כ הצלחות הצרופים האפשריים האפשרויות של האפשרות בכל אפשרות מטבע ראשונה מטבע שנייה (0.80.8=) 0.64 2 1 1 אפשרות א' (0.80.2=) 0.16 1 0 1 אפשרות ב' (0.20.8=) 0.16 1 1 0 אפשרות ג' (0.20.2=) 0.04 0 0 0 אפשרות ד' 1.00 סה"כ הצגת ההתפלגות בטבלה ובתרשים תרשים:2.8 תרשים ההתפלגות טבלה: 2.7 טבלת ההתפלגות הסתברות 1 הסתברות ערך )(4% (100%) 1.00 סה"כ ערכי 0 2 המשתנה 1 0 הסבר לטבלה 2.7 ותרשים 2.8 ההתפלגות משקפת את חישוב ההסתברויות בטבלה 2.6 טור 5 ההסתברות ל-0 הצלחות מתקבלת מאפשרות ד'. ההסתברות ל-1 הצלחה מתקבלת מאפשרויות ב ו -ג'0.32 ). ההסתברות ל-2 הצלחות מתקבלת מאפשרות א'.

חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות הוגנים)

חישוב התוחלת את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.9 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.9 מתבססת על טבלה טבלה 2.9 התרומה לתוחלת ערך המשתנה ההסתברות  (מס' ההצלחות באפשרות) חישוב סטיית התקן את סטיית התקן ניתן לחשב באמצעות חישוב השונות, שאותה נחשב במסגרת טבלה 2.10 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.10 הפער התרומה לשונות הסתברות הפער מהתוחלת התוחלת הערך  האפשרות בריבוע סטיית התקן היא השורש של השונות 0.5 = 0.707:

חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות מזוייפים)

חישוב התוחלת את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.11 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.11 מתבססת על טבלה 2.7 טבלה 2.11 התרומה לתוחלת ערך המשתנה ההסתברות  (מס' ההצלחות באפשרות) חישוב סטיית התקן את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.12 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.12 הפער התרומה לשונות הסתברות הפער מהתוחלת התוחלת הערך  האפשרות בריבוע סטיית התקן היא השורש של השונות 0.32 = 0.566:

הפתעה לטובה – חישוב תוחלת וסטיית תקן ברגע

הסטטיסטיקאים גילו שניתן בקלות רבה לחשב תוחלת וסטיית תקן של משתנה מקרי בינומי. תוחלת = מספר הניסויים כפול ההסתברות להצלחה בכל ניסוי. שונות= התוחלת כפול ההסתברות לכישלון בכל ניסוי. סטיית תקן = תונוש דוגמאות

• המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות הוגנים. מספר ההסתברות להצלחה הניסויים ההסתברות התוחלת לכשלון סטיית התקן 0.5 = 0.707: זכרו את דרך החישוב הפשוטה הזו, עוד נשתמש בה בהמשך.
• המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות לא הוגנים עם הסתברות להצלחה 0.8 מספר ההסתברות הניסויים להצלחה ההסתברות התוחלת לכשלון סטיית התקן 0.32 = 0.566:
• המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות הוגנים. מספר ההסתברות הניסויים להצלחה ההסתברות התוחלת לכשלון סטיית התקן 2.5 = 1.58:
• המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות לא הוגנים, שבהם: ההסתברות ל( 1 -הצלחה) = 0.9 ההסתברות ל( 0 -כשלון) = 0.1 מספר ההסתברות הניסויים להצלחה ההסתברות התוחלת לכשלון סטיית התקן 0.9 = 0.949:

מעקב אחר משתנה מקרי בינומי המבוסס על 3 ניסיונות

המשתנה: מספר ההצלחות של מייקל ג'ורדן בסבב של 3 זריקות לסל מקו העונשין. ערכי המשתנה 3.,2,1,0: ההסתברות להצלחה( 0.9: מבוסס על ניסיון העבר). ההסתברות לכישלון( 0.1: מבוסס על ניסיון העבר). מספר האפשרויות( 2 = ) 8: א. הצבת טבלת האפשרויות. טבלה 2.13 טורים 1-5 1 מציין הצלחה. 0 מציין כישלון. טבלה: 2.13 טבלת האפשרויות הצרופים האפשריים מספר ההצלחות זריקה זריקה זריקה האפשרויות ראשונה שנייה שלישית 3 1 1 1 אפשרות א' 2 0 1 1 אפשרות ב' 2 1 0 1 אפשרות ג' 1 0 0 1 אפשרות ד' 2 1 1 0 אפשרות ה' 1 0 1 0 אפשרות ו' 1 1 0 0 אפשרות ז' 0 0 0 0 אפשרות ח' ב. חישוב ההסתברות להתרחשות של כל אפשרות (טור 6) בטור 6 מפורטת דרך חישוב ההסתברות להתרחשות כל אחת מהאפשרויות ההסתברות להתרחשות של אפשרות א' היא הגבוהה ביותר ( 0.729) וההסתברות להתרחשות אפשרות ח' היא הנמוכה ביותר (.0.001) טבלה 2.14 הצרופים האפשריים הסתברות מספר האפשרות ההצלחות זריקה זריקה זריקה האפשרויות שלישית שנייה ראשונה (0.9×0.9×0.9=) 0.729 3 1 1 1 אפשרות א' (0.9×0.9×0.1=) 0.081 2 0 1 1 אפשרות ב' (0.9×0.1×0.9=) 0.081 2 1 0 1 אפשרות ג' (0.9×0.1×0.1=) 0.009 1 0 0 1 אפשרות ד' (0.9×0.9×0.1=) 0.081 2 1 1 0 אפשרות ה' (0.1×0.9×0.1=) 0.009 1 0 1 0 אפשרות ו' (0.1×0.1×0.9=) 0.009 1 1 0 0 אפשרות ז' (0.1×0.1×0.1=) 0.001 0 0 0 0 אפשרות ח' ג. הכנת טבלת ההתפלגות (טבלה 2.15) טבלה 2.13 משמשת טבלת עזר להכנת טבלת ההתפלגות (טבלה 2.15) הערך 0 טבלה – 2.15 טבלת ההתפלגות ערך 0 נמצא רק באפשרות ח'. ערך המשתנה ההצלחות( ההסתברות )מספר לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא 0.001 0.027 1 הערך 1 0.243 2 ערך 1 נמצא ב 3 -אפשרויות: ד', ו' ו -ז'. ההסתברות של כל אפשרות היא 0.009 1.000 סה"כ לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא: הערך 2 ערך 2 נמצא ב-3 אפשרויות: ב', ג' ו -ה'. ההסתברות של כל אפשרות היא 0.081 לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא: ערך 3 ערך 3 נמצא רק באפשרות א'. לפיכך, ההסתברות לקבלת הערך היא:

הכנת טבלת אפשרויות בלי להתבלבל

בפעמים הראשונות שמכינים וממלאים טבלת אפשרויות ניתן בקלות להתבלבל בסדר המילוי. קיימת דרך פשוטה למילוי הטבלאות. נסביר אותה לגבי 3 סוגי של טבלאות. טבלה המתייחסת ל-2 ניסיונות, טבלה המתייחסת ל-3 ניסיונות וטבלה המתייחסת ל 4 – ניסיונות. את אותו הגיון יש להפעיל בטבלאות המתייחסות ליותר ניסיונות.

• טבלה המתייחסת ל 2 -ניסיונות (טבלה 2.6) בטבלה זו ישנן 4 שורות, שורה לכל אפשרות ו-2 טורים, טור לכל ניסוי (טורים 2 ו 3) – האפשרות הראשונה היא )( 1),1 מוקף באליפסה(. האפשרות האחרונה היא (.0),0 נתייחס לטורים טור -2 הערך מתחלף (מ-1 ל 0) -לאחר 1 2 מהאפשרויות (לאחר 2 שורות). טור -3 הערך מתחלף לסירוגין בכל 1 4 מהאפשרויות (בכל שורה). טבלה 2.6 הסתברות סה"כ מטבע מטבע האפשרות הצלחות שני ראשון האפשרויות באפשרות (0.8×0.8=) 0.64 2 1 1 אפשרות א' (0.8×0.2=) 0.16 1 0 1 אפשרות ב' (0.8×0.2=) 0.16 1 1 0 אפשרות ג' (0.2×0.2=) 0.04 0 0 0 אפשרות ד' 1.00 סה"כ
• טבלה המתייחסת ל-3 ניסיונות (טבלה 2.14) בטבלה זו ישנן 8 שורות (שורה לכל אפשרות) ו-3 טורים, טור לכל ניסוי (טורים 3,2 ו 4) – האפשרות הראשונה היא )( 1),1,1 מוקף באליפסה(. האפשרות האחרונה היא (.0),0,0 נתייחס לטורים טור – 2 הערך מתחלף לאחר 1 2 מהאפשרויות (לאחר 4 שורות). טור – 3 הערך מתחלף לסירוגין כל 1 4 מהאפשרות (כל 2 שורות). טור – 4 הערך מתחלף לסירוגין כל 1 8 מהאפשרויות (כל שורה). טבלה 2.14 הצרופים האפשריים הסתברות מספר האפשרויות האפשרות ההצלחות זריקה זריקה זריקה שלישית שנייה ראשונה (0.9×0.9×0.9=) 0.729 3 1 1 1 אפשרות א' (0.9×0.9×0.1=) 0.081 2 0 1 1 אפשרות ב' (0.9×0.1×0.9=) 0.081 2 1 0 1 אפשרות ג' (0.9×0.1×0.1=) 0.009 1 0 0 1 אפשרות ד' (0.9×0.9×0.1=) 0.081 2 1 1 0 אפשרות ה' (0.1×0.9×0.1=) 0.009 1 0 1 0 אפשרות ו' (0.1×0.1×0.9=) 0.009 1 1 0 0 אפשרות ז' (0.1×0.1×0.1=) 0.001 0 0 0 0 אפשרות ח'
• טבלה המתייחסת ל 4 -ניסיונות בטבלה זו ישנן 16 אפשרויות ו-4 טורים. האפשרות הראשונה היא (.1),1,1,1 האפשרות אחרונה מסתיימת ב (.0),0,0,0 נתייחס לטורים טור – 2 הערך מתחלף לאחר 1 2 מהאפשרויות (לאחר 8 שורות). טור – 3 הערך מתחלף לסירוגין כל 1 4 מהאפשרויות (כל 4 שורות). טור – 4 הערך מתחלף לסירוגין כל 1 8 מהאפשרויות (כל 2 שורות). טור – 5 הערך מתחלף לסירוגין כל 1 16 מהאפשרויות (כל שורה). טבלה 2.16 מספר זריקה זריקה זריקה זריקה הסתברות האפשרות האפשרות ההצלחות רביעית שלישית שנייה ראשונה (0.90.90.90.9=) 0.6561 4 1 1 1 1 אפשרות א' (0.90.90.90.1=) 0.0729 3 0 1 1 1 אפשרות ב' (0.90.90.10.9=) 0.0729 3 1 0 1 1 אפשרות ג' (0.90.90.10.1=) 0.0081 2 0 0 1 1 אפשרות ד' (0.90.10.90.9=) 0.0729 3 1 1 0 1 אפשרות ה' (0.90.10.90.1=) 0.0081 2 0 1 0 1 אפשרות ו' (0.90.10.10.9=) 0.0081 2 1 0 0 1 אפשרות ז' (0.90.10.10.1=) 0.0009 1 0 0 0 1 אפשרות ח' (0.10.90.90.9=) 0.0729 3 1 1 1 0 אפשרות ט' (0.10.90.90.1=) 0.0081 2 0 1 1 0 אפשרות י' (0.10.90.10.9=) 0.0081 2 1 0 1 0 אפשרות י"א (0.10.90.10.1=) 0.0009 1 0 0 1 0 אפשרות י"ב (0.10.10.90.9=) 0.0081 2 1 1 0 0 אפשרות י"ג (0.10.10.90.1=) 0.0009 1 0 1 0 0 אפשרות י"ד (0.10.10.10.9=) 0.0009 1 1 0 0 0 אפשרות ט"ו (0.10.10.10.1=) 0.0001 0 0 0 0 0 אפשרות ט"ז העיקרון בכל הטבלאות הסימן מתחלף כדקלמן: בטור האחרון -כל שורה. בטור שלפניו -כל 2 שורות. בטור שלפניו -כל 4 שורות. בטור שלפניו -כל 8 שורות. בטור שלפניו -כל 16 שורות. וכך הלאה, בכפולות של 2

קיצור דרך: שימוש במחשבון

כאשר מספר הניסויים הולך וגדל, הכנת טבלת האפשרויות הופכת להיות משימה לא פשוטה. ב 5 -ניסויים מספר האפשרויות מגיע ל(25=) 32 – ב 10 -ניסויים מספר האפשרויות מגיע ל(210=) 1,024 – למזלנו המחשבון בא לעזרתנו ומציג לנו בלחיצת מקש כמה צירופים אפשריים ישנם לקבלת כל אחד מהערכים של המשתנה המקרי. לשם כך יש להזין למחשבון 2 נתונים: (1 מספר הניסיונות שאנו מבצעים (2 מספר ההצלחות (באיזה ערך של המשתנה המקרי אנו מעוניינים) דוגמא 1 נתייחס לדוגמא שבה מייקל ג'ורדן זורק 3 פעמים לסל. כזכור ישנן 8 צרופים אפשריים והערכים האפשריים הם 3,2,1,0 הפעלת המחשבון (החץ בטור 2 מסמן את סדר ההקשות במחשבון) טבלה 2.17 התוצאה הפעולה במחשבון המטרה (מספר הצרופים האפשריים) הערך המבוקש מקש מס' הניסויים 1 חישוב מספר הצרופים 0 NCR 3 האפשריים לערך 0 חישוב מספר הצרופים 3 1 NCR 3 האפשריים לערך 1 חישוב מספר הצרופים 3 2 NCR 3 האפשריים לערך 2 1 חישוב מספר הצרופים 3 NCR 3 האפשריים לערך 3 סה"כ 8

חישוב ההסתברות לקבלת כל אחד מהצירופים האפשריים. בליווי טבלה 2.18

כזכור, אצל מייקל ג'ורדן ההסתברות להצלחה היא 0.9 וההסתברות לכישלון 0.1 – לאור זאת: ההסתברות שתתקבל אפשרות (צירוף) עם 3 הצלחות היא.[0.93= ] 0.729: יש רק אפשרות (צירוף) אחת כזו (טבלה 2.18 טור 3) ההסתברות שתתקבל אפשרות עם 2 הצלחות היא.[(0.9(2  0.1))1 = ] 0.081: יש 3 אפשרויות כאלו. ההסתברות שתתקבל אפשרות עם 1 הצלחה היא.[(0.9(1  0.2))2= ] 0.009: יש 3 אפשרויות כאלו. ההסתברות שתתקבל אפשרות עם 0 הצלחות היא.[(0.13)= ] 0.001: יש רק אפשרות אחת כזו.

הכנת טבלת ההתפלגות 2.18

טבלה 2.18 אופן החישוב הסתברות ערך מספר האפשרויות ההסתברות לאפשרות אחת דוגמא 2 המשתנה – מספר ההצלחות של מייקל ג'ורדן בסבב של 10 זריקות לסל. המשתנה יכול לקבל 11 ערכים ( 10),9,8,7,6,5,4,3,2,1,0 וקיימות 1,024 אפשרויות הפעלת המחשבון – מוצגת בטבלה 2.19 חישבנו להמחשה רק את האפשרויות המניבות את הערכים 2 ו,4 -ורק להן נתייחס גם בהמשך. טבלה 2.19 התוצאה הפעולה המטרה הערך מס' הניסויים מקש חישוב מספר הצרופים 0 NCR 10 האפשריים לערך 0 חישוב מספר הצרופים 1 NCR 10 האפשריים לערך 1 חישוב מספר הצרופים 45 2 NCR 10 האפשריים לערך 2 חישוב מספר הצרופים 3 NCR 10 האפשריים לערך 3 חישוב מספר הצרופים 210 4 NCR 10 האפשריים לערך 4 וכך הלאה הפניה לנספח בהמשך הספר נשתמש בשיטת כתיבה נפוצה של שברים עשרוניים. לדוגמא, במקום 0.0000000081 נכתוב. 8.1 ⋅ 10 −9 השיטה מתוארת בנספח המופיע בסוף הפרק. חישוב ההסתברות לקבל כל אחת מהצירופים האפשריים (אנו מתייחסים לצירופים המניבים את הערכים 2 ו4) – ההסתברות לקבלת צירוף אפשרי שיש בו 2 הצלחות היא(0.9 (2 ⋅ 0.1))8 = 8.1 ⋅ 10 −9: ההסתברות לקבלת צירוף אפשרי שיש בו 4 הצלחות היא(0.9(4 ⋅ 0.1))6 = 6.561 ⋅ 10 −7: הכנת טבלת ההתפלגות (טבלה 2.20) מילאנו את הטבלה רק בערכים 2 ו 4. – טבלה 2.20 אופן החישוב הסתברות ערך מספר הצירופים ההסתברות המשתנה לקבלת הערך האפשריים לצירוף אחד

דוגמאות לשאלות שכיחות ביחס למשתנה מקרי בינומי, בליווי פתרונות

שאלות 1-3 מתייחסות למשתנה: מספר ההצלחות של מייקל ג'ורדן בסבב של 10 זריקות לסל שאלה:1 מה ההסתברות שמייקל ג'ורדן יקלע רק 2 סלים? פתרון: מבוקשת ההסתברות שמייקל יקלע בדיוק 2 סלים. והיא: מספר האפשרויות (מטבלה 2.19 שורה 3) והתוצאה 45 ⋅ (0.9(2 ⋅ 0.1))8 = 3.645 ⋅ 10 −7: התוצאה שקיבלנו היא שבר עשרוני בכיתוב מקוצר. הכיתוב המקוצר מוסבר בנספח 1 שאלה:2 מה ההסתברות שמייקל יקלע לפחות 8 סלים? פתרון: ההסתברות לקליעה של לפחות 5 סלים היא סכום ההסתברויות לקבלת כל אחד מהערכים 9,8: ו –.10 יש לחשב את מספר הצירופים האפשריים לכל ערך: התוצאה הפעולה המטרה חישוב מספר הצרופים 45 8 NCR 10 האפשריים לערך 8 חישוב מספר הצרופים 10 9 NCR 10 האפשריים לערך 9 חישוב מספר הצרופים 1 1 NCR 10 האפשריים לערך 10 ההסתברות לקבלת צירוף שנותן את הערך 8 היא 0.004304: נכפיל במספר הצירופים האפשריים לקבלת הערך 8 ונקבל 45 ⋅ (0.9(8 ⋅ 0.1))2 =0.1937: ההסתברות לקבלת צירוף שנותן את הערך 9 היא 0.038742: נכפיל במספר הצירופים האפשריים לקבלת הערך 9 ונקבל 10 ⋅ (0.9(9 ⋅ 0.1))1 =0.3874: ההסתברות לקבלת הצירוף (יש רק 1) שנותן את הערך 10 היא(0.910) = 0.38868: נחבר את ההסתברויות 0.1937 + 0.3874 + 0.3487 = 0.9298: ההסתברות שמייקל ג'ורדן יקלע לפחות 8 סלים מתוך 10 זריקות היא 0.9298 שאלה:3 מה ההסתברות שמייקל יקלע לכל היותר 7 סלים? פתרון: עלינו לסכם את ההסתברויות לקבלת הערכים 6,5,4,3, 2,1,0 ו 7 – החישוב הוא ארוך: נצטרך לחשב את מספר הצרופים האפשריים לקבלת כל ערך, להכפיל אותו בהסתברות לקבלת כל צירוף כזה. מכיוון שיש 8 ערכים נצטרך לבצע 8 חישובי הסתברויות. בסוף, נצטרך לסכום את כל 8 ההסתברויות. במקרה הזה יש חישוב יותר פשוט: מכיוון שחישבנו כבר (בשאלה 2) את ההסתברות לקבלת הערכים 8 עד,10 ואנחנו רואים שבשאלה הזאת אנחנו צריכים לחשב את ההסתברות לקבלת כל האחרים ( 0 עד, 7) ואנחנו יודעים שההסתברות הכוללת היא,1 נבצע את החיסור הבא: ההסתברות לקבלת ההסתברות לקבלת ההסתברות הערכים 8 עד 10 הערכים 0 עד 7 הכוללת (משאלה 2) (כל הערכים חוץ מ-8 עד 10)

התפלגות גאומטרית (או: משתנה מקרי גאומטרי)

המחשה: כדורסלן זורק לסל שוב ושוב עד שהוא מצליח לקלוע, ואז מפסיק. נגדיר משתנה מקרי: מספר הפעמים שהכדורסלן זרק לסל )הפעמים שבהם החטיא +הפעם האחרונה שבה קלע(. זהו משתנה מקרי בדיד כי הוא מקבל רק ערכים שלמים (מ 1-ומעלה). נתון, שההסתברות שלו לקלוע בזריקה בודדת היא 0.9 ומכאן, ההסתברות להחטאה היא

• ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 1 היא ההסתברות שהכדורסלן יקלע כבר בזריקה הראשונה ( 0 החטאות). ההסתברות לכך היא 0.9
• ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 2 מתקבלת ממכפלה של:
• ההסתברות להחטאה אחת –.0.1
• ההסתברות לקליעה –.0.9 והתוצאה) 0.09:
• ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך 3 מתקבלת ממכפלה של:
• ההסתברות להחטיא את 2 הזריקות הראשונות ברצף –.( 0.1 ⋅ 0.1 =) 0.01
• ההסתברות לקליעה אחת –.0.9 והתוצאה) 0.009:
• ההסתברות שהמשתנה המקרי יקבל את הערך k מתקבלת ממכפלה של:
• ההסתברות להחטיא את k –1 הזריקות הראשונות ברצף (שהיא, ) 0.1 k -1
• ההסתברות שיקלע בזריקה ה-k-ית (שהיא 0.9) k -1 והתוצאה⋅ 0.9 = ) 0.9: משתנה שמתפלג באופן כזה נקרא משתנה מקרי גאומטרי.

באופן כללי: אם ההסתברות להצלחה בנסיון יחיד היא ( P וההסתברות לכשלון, 1)-P אז ההסתברות לקבלת ערך k היא. (1-P)k-1  P בדוגמה שלנו k, מסמל את מספר הזריקות לסל. טבלת ההתפלגות בדוגמה זו היא: טבלה 2.21 5 4 3 2 1 הערך )(k 0.00009 0.0009 0.009 0.09 0.9 ההסתברות )(P הטבלה היא אינסופית.

חישוב התוחלת שלל משתנה מקרי גאומטרי

את התוחלת ניתן לחשב בשני מהלכים: מהלך -1 הכפלת כל ערך בהסתברות לקבלתו. מהלך -2 סכום המכפלות הנ"ל. אך היות והערכים מגיעים לאינסוף, לא נוכל לעולם להשלים את מהלך 1 למזלנו, מתמטיקאים מצאו דרך קצרה ופשוטה לחשב את הסכום האינסופי הזה. והיא 1: חלקי ההסתברות להצליח בזריקה בודדת. . בדוגמה שלנו התוחלת היא= 1:

חישוב השונות של משתנה מקרי גאומטרי

גם עבור השונות נשתמש בנוסחה קצרה ופשוטה שהמתמטיקאים פיתחו והיא: ההסתברות להחטיא (= 1 פחות ההסתברות להצליח), חלקי ריבוע ההסתברות להצליח. בדוגמה שלנו: השונות היא 2 =  0.123457: . סטית התקן (=שורש השונות) היא( 0.123457 =) 0.3514:

התפלגות אחידה (או: משתנה מקרי אחיד)

התפלגות אחידה היא התפלגות שבה קיים סיכוי זהה לקבל את כל אחד מערכי המשתנה המקרי. דוגמאות דוגמה – 1 מתייחסת להטלת קובייה נגדיר משתנה מקרי שהוא: המספר המתקבל בזריקת קובייה. המשתנה המקרי הזה יכול . לקבל 6 ערכים (= 6 תוצאות אפשריות). הסיכוי לקבל כל ערך הוא היות וערכי המשתנה המקרי הם מספרים שלמים (מ 1 עד 6) זוהי התפלגות בדידה )משתנה מקרי בדיד(.במקרים רבים הערכים בהתפלגות אחידה הם גם מספרים עוקבים. טבלת ההתפלגות של המשתנה המקרי הנ"ל מוצגת בטבלה:2.22 טבלה 2.22 6 5 4 3 2 1 הערך )(X ההסתברות )(P דוגמה – 2 מתייחסת ל 8-שחיינים בעלי אותה רמה 8 שחיינים בעלי אותה רמת שחייה מתחרים ביניהם. החולצות שלהם ממוספרות מ 1 עד 8 המשתנה המקרי בדוגמה זו יהיה: מספר החולצה המנצחת. המשתנה המקרי יכול לקבל את הערכים 8,7,6,5,4,3,2,1 ההסתברות לקבל כל ערך היא זהה, כי הם בעלי אותה רמה. טבלת ההתפלגות של המשתנה המקרי הנ"ל מוצגת בטבלה:2.23 טבלה 2.23 8 7 6 5 4 3 2 1 הערך )(X ההסתברות )(P דוגמה – 3 מתייחסת לסביבון מסובבים סביבון שעליו מופיעים המספרים ( 10,9,8,7 במקום האותיות נ', ג', ה', פ'). נגדיר משתנה מקרי שהוא המספר המתקבל שהסביבון נופל. קיימת הסתברות שווה לקבל כל אחד מ 4 ערכי ההתפלגות שהיא. 1 טבלת ההתפלגות מוצגת בטבלה:2.24 טבלה 2.24 10 9 8 7 הערך )(X ההסתברות )(P

חישוב התוחלת של משתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה

נחשב את התוחלת של כל אחד מהמשתנים המקריים בשלוש הדוגמאות שהצגנו לעיל, בעזרת טבלת התפלגות של כל משתנה מקרי: החישוב נעשה ב 2 מהלכים: מהלך -1 אנו כופלים כל ערך בהסתברות לקבלתו. מהלך -2 מסכמים את התוצאות שהתקבלו במהלך 1 תוצאת הסיכום היא התוחלת. חישוב התוחלת של כל אחד מהמשתנים הנ"ל מוצג בטבלה:2.25 טבלה 2.25 צורת החישוב התוחלת המשתנה המקרי = ⋅1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + ⋅ 4 + ⋅ 5 + ⋅ 6 3.5 תוצאת הקובייה = ⋅1 + ⋅ 2 + ⋅ 3 + ⋅ 4 + ⋅ 5 + ⋅ 6 + ⋅ 7 + ⋅ 8 4.5 השחיין המנצח = ⋅ 7 + ⋅ 8 + ⋅ 9 + ⋅10 8.5 תוצאת הסביבון

חישוב התוחלת בדרך פשוטה וקצרה (בהתפלגות אחידה ובדידה)

נלמד נוסחה קלה לחשב את התוחלת כאשר מדובר במשתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה: התוחלת היא הממוצע של 2 הערכים בקצוות. הערך הנמוך ביותר והערך הגבוה ביותר. בדוגמת הקוביה= 3.5: בדוגמת השחיינים= 4.5: בדוגמת הסביבון= 8.5:

חישוב סטיית התקן של משתנה מקרי בדיד שהתפלגותו אחידה

סטיית התקן היא שורש השונות. לכן, נחשב תחילה את השונות. חישוב השונות נעשה בשני מהלכים: מהלך -1 מעלים בחזקה את הפער שבין כל ערך לתוחלת, וכופלים את התוצאה בהסתברות לקבלת הערך. מהלך -2 מסכמים את התוצאות שהתקבלו במהלך 1 התוצאה היא השונות. חישוב השונות בכל אחד מהמשתנים הנ"ל מוצג בטבלה 2.28 טבלה 2.26 סטיית המשתנה צורת החישוב השונות התקן המקרי 11 6 6 6 11 תוצאת 2 = 1.708 1 1 1 2 הקובייה 8 8 8 8 השחיין 5.25 = 2.291 5.25 המנצח 1 1 1 1 תוצאת 1.25 = 1.118 1.25 הסביבון

נוסחה מקוצרת לחישוב השונות

מעלים בריבוע את מספר הערכים האפשריים של המשתנה המקרי, מפחיתים,1 ואת -n מספר הערכים של n2 − 1 המשתנה המקרי התוצאה מחלקים ב:12- נפעיל את הנוסחה עבור 3 המקרים הנ"ל: = =2 בדוגמת הקוביה: = בדוגמת השחיינים= 5.25: = בדוגמת הסביבון= 1.25: כדי למצוא את סטיית התקן יש להוציא שורש לשונות.

התפלגות אחידהְורצִ יפָ ה

עד כה עסקנו במשתנה מקרי אחיד בדיד, כלומר במשתנה מקרי שמקבל ערכים שלמים ושההסתברות לקבלת כל ערך זהה. קיים גם משתנה מקרי רציף בעל התפלגות אחידה. כדי להמחיש את הדבר נתבונן בדוגמא הבאה: האוטובוס מרחובות לתל-אביב יוצא מהתחנה המרכזית ברחובות כל 10 דקות בדיוק. נגדיר משתנה מקרי -הזמן שהנוסע ממתין עד שהאוטובוס יוצא. מכיוון שהנוסעים אינם מתכננים את מועד הגעתם לתחנה, ההסתברות שהנוסע יגיע שנייה לפני יציאת האוטובוס זהה להסתברות שהוא יגיע 10 דקות לפני הנסיעה או בכל זמן אחר לפני היציאה, ולפיכך ההתפלגות היא אחידה. אבל המשתנה המקרי יכול לקבל כל ערך שנמצא ברצף המספרים שבין 0 ל( 10-למשל 4.253478), ולא רק ערכים שלמים, ולכן המשתנה המקרי הוא רציף. את ההתפלגות בדוגמה הנ"ל ניתן להציג במתכונת המוצגת בתרשים =( 2.27 היסטוגרמה). ציר ה X-משמש להצגת זמן ההמתנה האפשרי עד לנסיעה. גובה המלבן נקרא צפיפות. הצפיפות נקבעת כך ששטח המלבן יסתכם ב 10  x =( 1 דקות). בדוגמה שלנו הצפיפות היא 0.1 הצפיפות תרשים 2.27 0 10 הזמן עד יציאת האוטובוס (בדקות) תזכורת: השטח של כל ההתפלגות שווה ( 1 או 100)% המשמעות ששטח ההתפלגות שווה 1 באה לציין שבוודאות נקבל אחד מערכי ההתפלגות. בדוגמת ההמתנה לאוטובוס שיוצא מרחובות, אין אפשרות שנוסע כלשהו ימתין יותר מ 10 דקות ופחות מ 0 דקות.

מהי ההסתברות שנוסע ימתין יותר מ 5-דקות?

ההסתברות מיוצגת ע"י שטח ההסטוגרמה (=המלבן) שנמצא בין 5 ל 10 דקות. שטח זה שווה ל. 5 ⋅ 0.1 = 0.5 -ההסתברות שנוסע ימתין יותר מ 5-דקות היא 50% הצפיפות תרשים 2.28 0 5 10 ערך המשתנה

מהי ההסתברות שנוסע ימתין בין 3 ל 5-דקות?

ההסתברות מיוצגת בשטח המלבן שבין הדקות 3 ו 5 -גודל השטח הוא, 2 ⋅ 0.1 = 0.2 דהיינו 20%מכלל השטח (ששווה ל 1)- תרשים 2.29 הצפיפות 0 3 5 10 ערך המשתנה

מהי ההסתברות שנוסע ימתין לכל היותר 8 דקות

ההסתברות מיוצגת בשטח המלבן עד לדקה ה 8 -גודל השטח הוא. 8 ⋅ 0.1 = 0.8 דהיינו, ההסתברות היא 80% תרשים 2.30 הצפיפות 0 8 10 ערך המשתנה

מהי ההסתברות שנוסע ימתין לפחות 8 דקות

ההסתברות מיוצגת בשטח המלבן שבין הדקה ה-8 לדקה ה,10 -דהיינו 20% הצפיפות תרשים 2.31 0 8 10 ערך המשתנה

חישוב תוחלת של משתנה מקרי רציף שהתפלגותו אחידה

התוחלת היא ממוצע 2 הערכים הקיצוניים. . בדוגמה שלנו הערכים הקיצוניים הם 0 ו 10-והממוצע הוא =  5 לכן, התוחלת היא 5

חישוב סטיית תקן של משתנה מקרי רציף שהתפלגותו אחידה

סטיית התקן היא שורש השונות. לפיכך, נחשב תחילה את השונות. נוסחת השונות היא: ריבוע ההפרש בין 2 הערכים הקיצוניים חלקי 12 בדוגמה שלנו, . = = השונות היא=  8.333: (סטיית התקן = שונות ). סטיית התקן היא 8.333 = 2.887:

התפלגות נורמלית (או: משתנה מקרי נורמלי)

משתנה מקרי נורמלי הוא משתנה מקרי רציף, שכן הוא יכול לקבל רצף של ערכים. הנושא נלמד בספר "סטטיסטיקה למתחילים".בספר זה נרענן את המונחים העיקריים.

1. שמות וסימולים

.I להתפלגות נורמלית אנו קוראים גם פעמון )מכיוון שגרף ההתפלגות הוא בצורת פעמון(. .II סימול ההתפלגות הנורמלית. N(µ, σ): מקרא – μ: תוחלת – σ.סטיית תקן (ס"ת). לדוגמה התפלגות בעלת תוחלת 10 וס"ת 3 תסומל N.(10, 3): התוחלת נמצאת בדיוק במרכז של הפעמון. ככל שסטיית התקן קטנה יותר הפעמון צר וגבוה.

• µ + Zσ.III ערך הנמצא במרחק Z ס"ת מעל התוחלת.
• µ − Zσערך הנמצא במרחק Z ס"ת מתחת לתוחלת.

2. שטחים מציינים הסתברות

.I כל שטח הפעמון מסתכם ב-1 או 100% .II שטח ההתפלגות הכלוא בתחום כלשהו מציין את ההסתברות לקבלת ערך כלשהו באותו תחום.

3. תכונות משותפות לכל הפעמונים

ערכים בפעמונים שונים שמרחקם בס"ת מהתוחלת שווה, גם השטחים הכלואים משמאלם שווים. דוגמאות: בתרשים 2.32 מתוארות שתי התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה )בתרשים השמאלי סטיית התקן קטנה יותר( ב-2 הפעמונים שבתרשים, מסתכם השטח הכלוא משמאל לערכים [) ]µ + 1σשטחים αו- (βב 84.13%( 0.8413 -משטח הפעמון). ב-2 הפעמונים בתרשים,2.33 השטח הכלוא משמאל לערכים [( ]µ − 1σשטחים αו)β – מסתכם ב 30.85%( 0.3085 -משטח הפעמון). תרשים 2.32 1 ס"ת 1 ס"ת בתרשים 2.33 מתוארות שתי התפלגויות נורמליות בעלות סטיית תקן שונה )בתרשים השמאלי סטיית התקן קטנה יותר(. ב-2 הפעמונים שבתרשים, מסתכם השטח הכלוא משמאל לערכים ][µ − 1σ (שטחים ' αו )β' -ב 30.85%( 0.3085 -משטח הפעמון). תרשים 2.33 1 ס"ת ס"תα' 

4. תכונות הנובעות מהסימטריות של הפעמון

השטח הכלוא בתחום שבין התוחלת לכמות כלשהי של ס"ת מעליה (מימין), שווה לשטח הכלוא בתחום שבין התוחלת לאותה כמות של ס"ת מתחתיה (משמאל). במילים אחרות, השטח שבין μל [µ + 1σ[ -שווה לשטח בתחום שבין μל. ]µ − 1σ] – כל אחד מהשטחים מהווה 43.13%מההתפלגות.

• נקודות ציון חשובות (בליווי איור 2.34) 40%משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל 1.28 -ס"ת מכל צד שלה. מכאן, שהשטח בתחום שבין [ ]µ − 1.28σלבין [ ]µ + 1.28σמהווה 80%משטח הפעמון. 45%משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל 1.64 -ס"ת מכל צד. מכאן, שהשטח בתחום שבין [ ]µ − 1.64σלבין [ ]µ + 1.64σמהווה 90%משטח הפעמון. 47.5%משטח ההתפלגות כלוא בתחום שבין התוחלת ל 1.96 -ס"ת מכל צד. מכאן, שהשטח בתחום שבין [ ]µ − 1.96σלבין [ ]µ + 1.96σמהווה 95%משטח הפעמון. איור 2.34

6. פעמון סטנדרטי

פעמון סטנדרטי הוא פעמון שהפרמטרים שלו הם 1=σ,0=μסימולו (. N0), 1 בפעמון סטנדרטי כל 1 יח' ערך על ציר ה-x שווה ל-1 ס"ת. כלומר 1=σ[: יח']. הערך 2 מרוחק 2 ס"ת מהתוחלת (מצד ימין) והערך -3 מרוחק 3 ס"ת לתוחלת (מצד שמאל). אם לדוגמה במדינה א' הטמפרטורה מתפלגת בצורת פעמון סטנדרטי ( N0), 1 כפי שמוצג בתרשים 2.35 אזי 10 מרוחקת 1 ס"ת מהתוחלת ו-30 מרוחקת 3 ס"ת מהתוחלת. בפעמון סטנדרטי לא צריך לחשב את המרחק בס"ת של ערך כלשהו מהתוחלת (לתקנן), שכן הערך עצמו נוקב במרחק שלו בס"ת מהתוחלת. תרשים – 2.35 התפלגות הטמפרטורה במדינה א' -3ᵒ -2ᵒ -1ᵒ 0 1ᵒ 2ᵒ 3ᵒ מעלות

7. טבלת הפעמון הסטנדרטי

הטבלה נוקבת בשטח הכלוא משמאל לכל ערך בפעמון הסטנדרטי. כאמור כל ערך נוקב במרחק שלו מהתוחלת. טבלה – 2.36 ההסתברויות לקבל ערכים קטנים מ X-בפעמון נורמלי סטנדרטי הסתברות X הסתברות X בנספח א' שבסוף הפרק מופיעה טבלה מורחבת הכוללת גם ערכים של X עם שני מקומות מימין • לנקודה העשרונית, כאשר הספרה שבשורת הכותרת העליונה הינה הספרה השניה מימין לנקודה העשרונית )לדוגמא, המספר 0.0018 אשר מופיע בשורה השנייה בעמודה השנייה מציין את השטח אשר נמצא משמאל לערך. (Z=-2.91

ִ.8 תְקנוּן

תקנון היא הפעולה שבאמצעותה מחשבים בפעמון לא סטנדרטי את המרחק בס"ת של ערך X−µ =. Z כאשר Z הוא הערך כלשהו מהתוחלת. התקנון נעשה באמצעות הנוסחה: לאחר התקנון (נקרא ציון התקן), ו X-הוא הערך שאותו מתקננים. דוגמה . בהתפלגות שבה 10=μו 2=σ -ציון התקן של הערך 14 הוא=  2: . ציון התקן של הערך 2 הוא=  -4: פרשנות הערך 14 נמצא במרחק של 2 ס"ת מעל התוחלת. הערך 2 נמצא במרחק של 4 ס"ת מתחת לתוחלת. תרשים 2.37

9. חישוב שטחים הכלואים משמאל לערך כלשהו בפעמון לא סטנדרטי

החישוב מתבצע ב-2 שלבים: .I מחשבים את ציון התקן של הערך. .II מוצאים את השטח הכלוא משמאל לציון התקן בעזרת טבלת הפעמון הסטנדרטי.

10. חישוב שטחים הכלואים בתחום כלשהו

חישוב השטח הכלוא בתחום כלשהו נעשה באמצעות פעולת חיסור. אנו מוצאים את השטח הכלוא עד לקצה הימני של התחום ומחסירים ממנו את השטח הכלוא עד תחילת התחום. לדוגמה, נחשב את השטח שבין [ ]µ + 1σל: [µ + 2σ] – השטח עד 0.9772 = µ + 2σ השטח עד – 0.8413 = µ + 1σ = 0.1359 השטח ביניהם תרשים 2.38

נספח א' – טבלה מורחבת עבור התפלגות נורמלית

Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

נספח ב' – כתיבת שבר עשרוני בכיתוב מקוצר

ניתן לכתוב שבר עשרוני בקיצור, באמצעות שימוש באיבר שהוא עשר בחזקת מספר שלילי כלשהו. כדוגמת 10 −3 או. 10 −6 ל-10 בחזקה שלילית נקרא איבר הקיצור. חישוב החזקה של איבר הקיצור. נתייחס לשבר 0.003265 .I מציבים נקודה מימין לספרה הראשונה שאינה 0 ומוחקים את האפסים (.0.003).265 .II מספר האפסים שמחקנו היא החזקה השלילית באיבר. 10 −3. הצגת השבר בקיצור הקיצור: מוצג כמכפלה של המספר שהתקבל לאחר מחיקת האפסים באיבר הקיצור. . 3.265 ⋅ 10 דהיינו: דוגמאות לכתיבה מקוצרת מעבר מכיתוב מקוצר למלא (לדוגמה ) 3.265 ⋅ 10

• מוסיפים לפני הספרה הראשונה אפסים כמספר החזקה באיבר הקיצור.
• מעבירים את הנקודה מימין ל-0 האחרון ומוחקים את איבר הקיצור. 0.003265 ⋅ 10

ההסבר המתמטי

המעבר מכיתוב מלא לקיצור (מ0.003265) – .I בפעולת הקיצור אנו מכפילים את השבר בו זמנית ב.(1=) 103 ⋅ 10 −3 – .II ההכפלה ב-103 גורמת לשינוי מ 0.003265 -ל.( 0.003265 ⋅ 10 =) 0.003.265 – והתוצאה הסופית 3.265 ⋅ 10 −3: המעבר מכיתוב מקוצר למלא. לדוגמה מ 2.156 ⋅ 10-3 – .I בפעולת המעבר לכיתוב מלא אנו גם מכפילים את השבר בו זמנית ב. 103 ⋅ 10 −3 – שלב. 2.156 ⋅ 10-3  ⋅ 103 ⋅ 10 −3: I שלב סופי 0.002156: