עלות הייצור כפונקציה של היקף התפוקה

הצגת עלות הייצור (TC) כפונקציה של היקף הייצור (x): צורת פונקציית העלות היא TC = L * PL + K * PK. נתייחס כדוגמה לפונקציית ייצור מסוג KD ונציב במקום K ו-L את החלופה שלהם בערכים של x, כפי שהוסבר בפרק הקודם, ונקבל את TC כפונקציה של x. נבחין בין TC לטווח הארוך (TCLR) ו-TC לטווח הקצר (TCSR). סימולים: LR ר"ת של Long Run, SR ר"ת של Short Run. כשיש צורך אנו מוסיפים לסימול בטווח הקצר את מספר המכונות במועד א' (לפני השינוי בתפוקה):

\[TC_{SR\,(K=4)}\]

דוגמאות – כללי: 1. בהמשך נציג דוגמאות לחישוב TC בטווח הארוך ובטווח הקצר שיתבססו על פונקציית ייצור מסוג KD. נתוני הדוגמאות יהיו פשוטים במיוחד כדי שנתרכז בכלכלה ולא נשקיע מאמץ במתמטיקה. 2. טכניקת הפתרון בטווח הארוך: I. נתחיל מהקשר הקיים בין K ו-L מקו ההתרחבות. II. נמצא את L כפונקציה של x ואת K כפונקציה של x. III. נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו-K בערכי x. 3. טכניקת הפתרון בטווח הקצר: I. נתחיל בפונקציית הייצור כאשר K הוא נתון קבוע וידוע. II. נבודד את L בפונקציית הייצור, ונציב את החלופה שלו בפונקציית העלות. דוגמה 1 – חישוב TCLR. נתוני הדוגמה: פונקציית הייצור x = L0.5 * K0.5; מחירי השוק PL = 2 ש"ח, PK = 1 ש"ח. הפתרון: 1. קו ההתרחבות בפונקציית KD הוא, ובנתוני הדוגמה:

\[\begin{aligned} &\text{קו ההתרחבות בפונקציה הוא } K = \frac{\beta}{\alpha} * \frac{P_L}{P_K} * L \\[6pt] &K = 2L \;\text{ ו-}\; L = \frac{K}{2}. \end{aligned}\]

2. נציב בפונקציית הייצור 2L במקום K ונקבל:

\[\begin{aligned} &\text{נציב בפונקציית הייצור } 2L \text{ במקום } K \text{ ונקבל: } x = \left(L^{0.5} * (2L)^{0.5} = \right) \sqrt{2}\, L \\[6pt] &\text{נבודד את } L: \quad \boxed{L = \frac{x}{\sqrt{2}}} \end{aligned}\]

נבודד את L ונקבל:

3. נציב בפונקציית הייצור K במקום L ונקבל, נבודד את K ונקבל: K = 2x. נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו-K בערכים של x ונקבל, כלומר TC = 2 * 2 * x. דוגמה 2 – חישוב TCSR. נתוני הדוגמה זהים לדוגמה 1. במועד א' ישנן במפעל 4 מכונות. הפתרון: 1. בזמן הקצר מספר המכונות יישאר קבוע על 4 מכונות, ולפיכך פונקציית הייצור בנתוני הדוגמה היא x = L0.5 * 40.5. נבודד את L ונקבל: L. נציב את החלופה של L בפונקציית העלות ונקבל:

\[\begin{aligned} &\text{נציב את החלופה של } L \text{ בפונקציית העלות ונקבל: } \boxed{TC = \frac{x^2}{4} * 2 + 4 * 1} \\[6pt] &TC = \frac{x^2}{2} + 4. \end{aligned}\]

דוגמה 3 – חישוב TCLR. נתוני הדוגמה: פונקציית הייצור x = L + K (אדיטיבית); מחירי השוק PL = 1 ש"ח, PK = 1 ש"ח. הפתרון: 1. קו ההתרחבות בטווח הארוך של פונקציה זו הוא, ובנתוני הדוגמה:

\[\begin{aligned} &\text{קו ההתרחבות בטווח הארוך של פונקציה זו הוא: } K = \left(\frac{P_L}{P_K}\right)^{1-\alpha} * L \\[6pt] &K = L. \end{aligned}\]

2. נציב בפונקציית הייצור L במקום K ונקבל: x = 2L. נבודד את L ונקבל: L. 3. נציב בפונקציית הייצור K במקום L ונקבל: x = 2K. נבודד את K ונקבל: K = x. נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו-K בערכים של x ואת נתוני השוק שבדוגמה:

ונקבל את TCLR. דוגמה 4 – חישוב TCSR. נתוני הדוגמה זהים לדוגמה 3. נתייחס ל-2 תרחישים לגבי מספר המכונות במועד א' במפעל: I. במועד א' במפעל 4 מכונות. פונקציית הייצור בנתוני הדוגמה היא x = L + 2. נבודד את L ונקבל: L = (x − 2)2. נציב בפונקציית העלות את החלופה של L בערכי x ואת נתוני השוק בדוגמה (K = 4) ונקבל:

\[TC_{SR} = \left((x-2)^2 * 1 + 4 * 1 = \right) x^2 – 4x + 8\]

בטווח הארוך עם 4 מכונות נוכל לייצר 4 יח' תפוקה (K = L = 4 ⇒ x = 4 + 4 = 4). במועד א' החברה מייצרת 4 יח' והעלות היא 8 ש"ח. כאשר מגדילים את התפוקה מ-4 ל-9 יח', אזי בטווח הקצר ברשות המפעל עדיין 4 מכונות, והעלות מגיעה ל-53 ש"ח:

\[\begin{aligned} &\left(TC_{SR(K=4)} = x^2 – 4x + 8\right) \\[6pt] &\text{בטווח הארוך: העלות יורדת ל-40.5 ש"ח } \boxed{TC_{LR} = \frac{x^2}{2}} \end{aligned}\]

בטווח הארוך: העלות יורדת ל-40.5 ש"ח כשמספר המכונות השתנה בהתאם. II. במועד א' במפעל 9 מכונות. פונקציית הייצור בנתוני הדוגמה היא x = L + 3. נבודד את L ונקבל: L = (x − 3)2. נציב בפונקציית העלות את החלופה של L בערכי x ואת נתוני השוק בדוגמה (K = 9) ונקבל:

\[TC_{SR} = \left((x-3)^2 * 1 + 9 * 1 = \right) x^2 – 6x + 18\]

בטווח הארוך עם 9 מכונות נוכל לייצר 6 יח' תפוקה (K = L = 9 ⇒ x = 9 + 9 = 6). במועד א' החברה מייצרת 6 יח' והעלות היא 18 ש"ח. כאשר מגדילים את התפוקה מ-6 יח' ל-10 יח', אזי:

\[58\ \text{ש"ח } \left(TC_{SR(K=9)} = x^2 – 6x + 18 = \right)\]

בטווח הקצר: העלות מגיעה ל-58 ש"ח.

\[\begin{aligned} &\left(TC_{SR(K=9)} = x^2 – \ldots\right) \\[6pt] &\text{העלות יורדת ל-50 ש"ח } \left(TC_{LR} = \frac{x^2}{2} = \right) \end{aligned}\]

בטווח הארוך: מספר המכונות במפעל משתנה, והעלות יורדת ל-50 ש"ח.

גילוי נאות: התוכן באתר אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, מסים או השקעות. החלטות פיננסיות אישיות מומלץ לקבל בליווי בעל מקצוע מוסמך.