המתמטיקאי הדגול לופיטל מצא כלל פשוט לחישוב הגבול של פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות `[f(x)=g(x)/(h(x))]` והוא כדלקמן:
כאשר לאחר ההצבה של ערך ה- x בנקודת הפיצול, התוצאה המתקבלת היא: `[oo/oo]` או `[0/0]` (תוצאות הכלולות בטבלה 3), אפשר לגזור את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד ולהציב את ערך ה- x בנקודת הפיצול, כלומר:
כאשר `f(x)=g(x)/(h(x)`,
אזי `limg(x)/(h(x))=lim(g'(x))/(h'(x)`.
אם לאחר פעולת הגזירה התוצאה המתקבלת היא עדיין `[oo/oo]` או `[0/0]`, ממשיכים לגזור שוב ושוב את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד, עד שמתקבלת תוצאה רצויה, כלומר תוצאה סופית כלשהי, או אחת מהתוצאות המפורטות בטבלאות 1 ו-2.
סימול כלל לופיטל
כאשר מפעילים את כלל לופיטל, מקובל לכתוב את האות L מתחת לסימן השיוויון שלפני המילה Lim.
`limg(x)/(h(x))=lim(g'(x))/(h'(x)`
דוגמה 5 (זהה לדוגמה 3 מהדף הקודם)
`lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)`
כאשר מציבים `x=oo` מקבלים `[oo/oo]`. לאור זאת אפשר להשתמש בכלל לופיטל.
ההצגה המתמטית במלואה תיראה כך:
| `-gt` וגוזרים שוב | `-gt` גוזרים שוב | `-gt` גוזרים | `-gt` |
| `lim_(Lquadx->oo)30/(24x)=30/oo=0` | `=lim_(Lquadx->oo)(30x+4)/(12x^2)=[oo/oo]` | `=lim_(Lquadx->oo)(15x^2+4x)/(4x^3)=[oo/oo]` | `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=[oo/oo]` |
כלומר: `lim_(x->oo)(5x^3+2x^2-1)/(x^4+5)=0`
דוגמה 6 (זהה לדוגמה 4 מעמוד קודם)
`lim_(x->1)(x^2+2x-3)/(2x^2-2)=[0/0]=lim_(Lquadx->1)(2x+2)/(4x)=4/4=1`
קיבלנו את אותה התוצאה שהתקבלה בדוגמה 4.
המגבלות בכלל לופיטל
כאשר התוצאה המתקבלת בסוף היא `oo` או `(-oo)` , הגבול שגוי ועלינו לחשב את הגבול בדרכים אחרות, כגון שינוי פני הפונקציה.
הסבר מדוע 5 התוצאות המתקבלות בטבלה 3 אינן מוגדרות
- `[oo-oo]` אינו בהכרח 0
וההסבר: כאשר אנו מדברים על אינסוף (∞) אזי מתכוונים למידה שגודלה הוא מעבר ליכולת הדמיון שלנו.
מבחינתנו, אינסוף יכול להתבטא ב:1 שנת אור =∞ , וגם ב-100 שנות אור =∞.
אבל הפער ביניהם הוא 99 שנות אור שמבטא עבורנו גם אינסוף (∞).
לפיכך [∞–∞] יכול להיות ∞ בעצמו. - `[oo/oo]` אינו בהכרח 1
מאותן סיבות ש-[∞–∞] אינו 0. ה-∞ שבמונה יכול להיות פי ∞ מה-∞ שבמכנה. - `[0/0]` אינו בהכרח 1
וההסבר: ה-0 במונה וה-0 במכנה מייצגים גבולות של פונקציות משנה וייתכן שכל אחד מהן הוא טיפה יותר מ-0 או טיפה פחות מ-0. אם ה-0 של המונה הוא טיפה גדול מ-0 אזי תוצאת השבר היא ∞. - `oo^0` אינו בהכרח 1
וההסבר: הן-0 והן ה-∞ הם גבול של פונקציות משנה וייתכן שה-0 הוא טיפה גדול או טיפה קטן מ-0.
אם הוא טיפה גדול מ-0 אז (0+)∞ יכול להיות גם ∞. - `1^oo` אינו בהכרח 1
וההסבר: ה-1 הוא גבול ויכול להיות טיפה גדול או טיפה קטן מ-1.
אם הוא טיפה גדול מ-1 אזי ∞(+1) יכול להיות גם ∞ .
