צורת פונקציית העלות היא: `TC=L*P_L*+K*P_K`        

נתייחס כדוגמא לפונקציית ייצור מסוג KD ונציב במקום K ו- L את החלופה שלהם בערכים של x, כפי שהוסבר בפרק הקודם, ונקבל את TC כפונקציה של x.

נבחין בין TC לטווח הארוך ו-TC לטווח הקצר.

סימולים

`TC_(LR)` – LR ר”ת של Long Run
`TC_(SR)` – SR ר”ת של Short Run

`TC_(SR)` (K=4) – כשיש צורך אנו מוסיפים לסימול בטווח הקצר את מספר המכונות במועד א' (לפני השינוי בתפוקה)

 

דוגמאות – כללי

  1. בהמשך נציג דוגמאות לחישוב TC בטווח הארוך ובטווח הקצר שיתבססו על פונקציית ייצור מסוג KD. נתוני הדוגמאות יהיו פשוטים במיוחד כדי שנתרכז בכלכלה ולא נשקיע מאמץ במתמטיקה.
  2. טכניקת הפתרון בטווח הארוך

    1. נתחיל מהקשר הקיים בין K ו- L מקו ההתרחבות.
    2. נמצא את L כפונקציה של  x ואת K כפונקציה של x.
    3. נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו- K בערכי x.

  3. טכניקת הפתרון בטווח הקצר
    1. נתחיל בפונקציית הייצור כאשר K הוא נתון קבוע וידוע. 
    2. נבודד את L בפונקציית הייצור, ונציב את החלופה שלו בפונקציית העלות.

דוגמא 1 – חישוב TC_LR

נתוני הדוגמא:
פונקציית הייצור: `x=L^0.5*K^0.5`
מחירי השוק:   PL = 2 ש”ח, PK = 1 ש”ח               

 

הפתרון

  1. קו ההתרחבות בפונקציית KD הוא `K=beta/alpha*P_L/P_K*L`, ובנתוני הדוגמא: L2 = K ו- `L=K/2quad,quadK=2L`.
  2. נציב בפונקציית הייצור L2 במקום K ונקבל: `x=(L^0.5*2L^0.5=)sqrt(2)*L`. נבודד את L ונקבל: `L=x/sqrt(2)`
  3. נציב בפונקציית הייצור `K/2` במקום L ונקבל: `x=((K/2)^0.5*K^0.5=)K/sqrt(2)`נבודד את K ונקבל:`TC=(sqrt(2)*2)*x`

דוגמא 2 – חישוב `TC_(SR`
נתוני הדוגמא זהים לדוגמא 1.
במועד א' ישנן במפעל 4 מכונות.

 

הפתרון

  1. בזמן הקצר מספר המכונות יישאר קבוע על 4 מכונות ולפיכך פונקציית הייצור בנתוני הדוגמא היא: `x=L^0.5*4^0.5+2L^0.5` נבודד את L ונקבל: `L=X^2/4`
  2. נציב את החלופה של L בפונקציית העלות ונקבל: `TC=x^2/4*2+4*1`, כלומר, `TC=x^2/2+4` .

 

דוגמא 3 – חישוב TCLR
נתוני הדוגמא:
פונקציית הייצור: `x=sqrt(L)+sqrt(K)`  (אדיטיבית)
מחירי השוק:  PL = 1 ש”ח, PK = 1 ש”ח

 

הפתרון

  1. קו ההתרחבות בטווח הארוך של פונקציה זו הוא: `K=(P_L/P_K)^(1/(1-alpha))*L`, ובנתוני הדוגמא: `L=K` .
  2. נציב בפונקציית הייצור L במקום K ונקבל: `x=root(2)(L)`. נבודד את L ונקבל: `L=x^2/4` .
  3. נציב בפונקציית הייצור K במקום L ונקבל: `x=root(2)(K)` .נבודד את K ונקבל:  `K=x^2/4`.
  4. נציב בפונקציית העלות את החלופות של L ו- K בערכים של x ואת נתוני השוק שבדוגמא ונקבל `TC_(LR)=(x^2/4*1+x^2/4*1=)x^2/2`

 

דוגמא 4 – חישוב
נתוני הדוגמא זהים לדוגמא 3.
נתייחס ל- 2 תרחישים לגבי מספר המכונות במועד א' במפעל:
  1. במועד א' במפעל 4 מכונות.
    פונקציית הייצור בנתוני הדוגמא היא `x=sqrt(L)+2` .
    נבודד את L ונקבל: `L=(x-2)^2` .
    נציב בפונקציית העלות את החלופה של L בערכי x, 4 = K ואת נתוני השוק בדוגמא ונקבל: `TC_(SR)=((x-2)^2*1+4*1=)x^2-4x+8`
    בטווח הארוך עם 4 מכונות נוכל לייצר 4 יח' תפוקה `K=L=4->x=sqrt(4)+sqrt(4)=4` .
    במועד א' החברה מייצרת 4 יח' והעלות היא 8 ש”ח `TC_(LR)=X^2/2`.
    כאשר מגדילים את התפוקה מ- 4 ל- 9 יח', אזי:
    בטווח הקצר: ברשות המפעל עדיין 4 מכונות (המייצרות 9 יחידות תפוקה (X) ), והעלות מגיעה ל- 53 ש”ח `TC_(SR(K=4)=X^2-4x+8`
    בטווח הארוך: העלות יורדת ל- 40.5 ש”ח `TC_(SR)=TC_(LR)=X^2/2` כשמספר המכונות השתנה בהתאם.
  2. במועד א' במפעל 9 מכונות.
    פונקציית הייצור בנתוני הדוגמא היא `x=sqrt(L)+3` . נבודד את L ונקבל:  `L=(x-3)^2`בטווח הארוך עם 9 מכונות נוכל לייצר 6 יח' תפוקה `K=L=9->x=sqrt(9)+sqrt(9)=4` .
    במועד א' החברה מייצרת 6 יח' והעלות היא 18 ש”ח `TC_(LR)=X^2/2`. כאשר מגדילים את התפוקה מ- 6 יח' ל- 10 יח', אזי:
    בטווח הקצר: העלות מגיעה ל- 58 ש”ח `TC_(SR(K=9)=X^2-6x+18`
    בטווח הארוך: מספר המכונות במפעל משתנה, והעלות יורדת ל- 50 ש”ח `TC_(LR)=X^2/2`