רגרסיה מרובה

הפתיחה

דירת 80 מ"ר בתל-אביב לא שווה אותו דבר כמו דירת 80 מ"ר באילת. ודירת 80 מ"ר עם 4 חדרים בת"א לא שווה כמו 80 מ"ר עם 3 חדרים. מחיר-דירה תלוי בכמה גורמים בו-זמנית. כשאנחנו אומדים רגרסיה עם X אחד, אנחנו מחזיקים "כל השאר קבוע" — אבל "השאר" משתנה במציאות ומשפיע.

רגרסיה מרובה (Multiple Regression) מאפשרת לכלול כמה משתנים-מסבירים בו-זמנית: שטח, מיקום, חדרים — ולאמוד את ההשפעה של כל אחד בהינתן שהאחרים קבועים.

המשוואה

עם שני משתנים מסבירים (X) ו-(Z):

[Y = alpha + beta X + gamma Z + u]

שלושה פרמטרים לאמוד: (alpha), (beta), (gamma).

פרשנות מהותית: (beta) מודד את השפעת (X) על (Y) כאשר (Z) מוחזק קבוע. זה שינוי-גדול מהרגרסיה-הפשוטה: עכשיו אנחנו יכולים להפריד בין "השפעת השטח" לבין "השפעת המיקום".

הדוגמה הישראלית: מחיר-דירה

נניח שאספנו נתונים על 10 דירות (נתוני-המחשה):

נגדיר (Y) = מחיר, (X) = שטח (מ"ר), (Z) = חדרים. (מיקום — בהרחבה ניתן להכניס כ-Dummy variable.)

אמידה בExcel

=LINEST(D2:D11, B2:C11, 1, 1)

שים לב: (B2:C11) — שתי עמודות (שטח + חדרים). פלט 2×3 (שתי שורות, שלושה עמודות: (hatgamma), (hatbeta), (hatalpha)).

אמידה בPython

import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

data = {
    'price': [750, 800, 1400, 1500, 1700, 2200, 2600, 3000, 3400, 3800],
    'area':  [60, 65, 70, 75, 80, 80, 90, 100, 110, 120],
    'rooms': [2, 2.5, 3, 3, 3.5, 4, 4, 4.5, 5, 5]
}
df = pd.DataFrame(data)

X = sm.add_constant(df[['area', 'rooms']])
results = sm.OLS(df['price'], X).fit()
print(results.summary())

אמידה בR

price <- c(750, 800, 1400, 1500, 1700, 2200, 2600, 3000, 3400, 3800)
area  <- c(60, 65, 70, 75, 80, 80, 90, 100, 110, 120)
rooms <- c(2, 2.5, 3, 3, 3.5, 4, 4, 4.5, 5, 5)

model <- lm(price ~ area + rooms)
summary(model)

קריאת הפלט (ערכי-דוגמה)

(hatalpha approx -900), (hatbeta approx 18) (מ"ר → ₪18K), (hatgamma approx 150) (חדר → ₪150K).

[hat Y = -900 + 18 times X + 150 times Z]

דוגמת-חיזוי: דירה בת 80 מ"ר ו-4 חדרים:

[hat Y = -900 + 18 times 80 + 150 times 4 = -900 + 1440 + 600 = 1140 text{ אלפי-₪}]

(בנתוני-הדוגמה שלנו הנתון הוא 2,200 — הדירה בת"א. הפרש גדול = מיקום חסר במודל. זה בדיוק הנקודה.)

מה "בהינתן" אומר בפועל

אם אמדנו (hatbeta = 18) — "כל מ"ר נוסף מוסיף ₪18K כשמספר-החדרים קבוע". זה שונה מ"כל מ"ר נוסף מוסיף ₪X" ברגרסיה-פשוטה — כי ברגרסיה-פשוטה, דירה גדולה יותר בדרך-כלל גם יש לה יותר חדרים, ולכן (hatbeta) הפשוט "ספג" גם את השפעת-החדרים.

זה הכוח של הרגרסיה המרובה: הפרדה בין גורמים שבמציאות קשורים זה לזה.

מה זה אומר עבורכם. כלל-הזהב: אל תאמינו לרגרסיה עם משתנה-אחד כשיש חשד שגורמים אחרים תלויים בו. "כל שנת-לימוד מוסיפה ₪1,100" — אמד רק את (X)=שכלה ובלי לשלוט על ניסיון, גיל, או מקצוע? אולי ה-₪1,100 מייצג גם שנות-ניסיון שקשורות להשכלה. רגרסיה מרובה מאפשרת לאמוד את ה"תוספת-הנקייה" של ההשכלה בהינתן שהאחרים קבועים.

סיכום

רגרסיה מרובה (Y = alpha + beta X + gamma Z + u) מאמדת את השפעת כל משתנה "בהינתן" שהאחרים קבועים. LINEST, statsmodels.OLS ו-lm() מטפלים ברגרסיה-מרובה בדיוק כמו בפשוטה — רק מעבירים כמה עמודות. בפרק הבא: כיצד בודקים השערות על יותר מפרמטר אחד בו-זמנית — מבחן Wald.

פרק זה הוא חינוך פיננסי-כלכלי — הסבר של מנגנונים, לא ייעוץ. נתוני-הדוגמה הם להמחשה בלבד.