דרכים למציאת המכפיל בעזרת המתמטיקה

דרך א' – סדרה הנדסית

• בשלב א' (שלב הפתיחה) ההוצאה המצרפית הראשונית היא E₀.
• בשלב ב' ההוצאה המצרפית גדלה בעוד c*E₀.
• בשלב ג' ההוצאה המצרפית גדלה בעוד c²*E₀.
• בשלב ד' ההוצאה המצרפית גדלה בעוד c³*E₀.
• וכך בכל שלב נוסף, ההוצאה המצרפית גדלה בסכום ההוצאה המצרפית שהווספה בשלב הקודם, כפול c.

סיכום כל הסכומים בשלבים השונים יוצר סדרה שצורתה: E₀ + c*E₀ + c²*E₀ + c³*E₀ + …. + c^∞*E₀

סדרת האיברים בתוך הסוגריים מכונה סדרה הנדסית, אין סופית.

מאפייניה של סדרה הנדסית אין סופית הם:

1. האיבר הראשון הוא מספר a כלשהו בחזקת 1 (a¹=a) וכל איבר נוסף מבוסס על אותו a, אך החזקה עולה ב-1 בצורה הבאה: a¹ + a² + a³ + … + a^∞
2. כאשר a קטן מ-1 סכום הסדרה ההנדסית היא: 1/(1-a). סכום הסדרה שלנו הוא: E₀ * [1/(1-c)]

נסמל את סכום הסדרה ב- E_F כלומר E_F = E₀ * [1/(1-c)]

אם נעביר את E₀ לצד שמאל, נקבל שהיחס E_F/E₀ (שהוא המכפיל) שווה ל- 1/(1-c)

דרך ב' – מפגש הפונקציות

כזכור, המשק מתמקם במקום המפגש של פונקציית קו 45° ופונקציית עקומת ההוצאות הצרפיות.

במקום המפגש מתקיים שוויון בתוצאות של 2 הפונקציות.

תוצאת פונקציית קו 45° היא: EF = YF

תוצאת פונקציית ההוצאות המצרפיות היא: E_F = E₀ + c*Y_F

לפיכך: Y_F = E₀ + c*E_F

כשנשנה את סדר האיברים נקבל: Y_F/E₀ = 1/(1-c)

נציב E_F במקום Y_F, כלומר (Y_F = E_F) ונקבל: E_F/E₀ = 1/(1-c), הוא המכפיל, שווה ל- 1/(1-c)

דרך ג' – באמצעות נגזרת

הקדמה

כל שינוי ב-E₀ גורם לתזוזה של נקודת המפגש בין פונקציית קו 45° לפונקציית ההוצאות המצרפיות (להלן 2 הפונקציות).

כדי לחשב את השפעת השינוי ב-E₀ על Y, עלינו להציג את Y כפונקציה של E₀.

את Y כפונקציה של E₀ קל לבנות לאור השיוויון שקיים בתוצאות 2 הפונקציות בנקודת המפגש שלהן.

צורת פונקציית קו 45° היא: E = Y

צורת פונקציית ההוצאות המצרפיות היא: E = E₀ + c*Y

בנקודת המפגש מתקיים השיוויון: Y = E₀ + c*Y

כאשר נשנה את סדר האיברים נקבל: Y = E₀/(1-c)

אם נהפוך את E₀ מנתון קבוע למשתנה נקבל את Y כפונקציה של E₀. תוצאת הנגזרת של הפונקציה היא: f'(y) = 1/(1-c)

הנגזרת מציינת את מספר היחידות המתווספות ל- Y בגין כל תוספת של 1 יחידה ב-E₀ וזוהי בדיוק הגדרת המכפיל.

הפונקציה Y = E₀/(1-c), כאשר 0.6=C מוצגת בתרשים 800.

הערה: בדר"כ כאשר הופכים נתון קבוע למשתנה מוחקים בסימול את הסימן 0 מימינו.

כלומר E₀ הופך ל- E. אנו לא נוהגים כך כאן ומשאירים את ה- 0 כדי להדגיש שהמשתנה מתייחס רק להוצאה המצרפית שקיימת בתפוקה 0.

הצגה גרפית של המכפיל

נציג את המכפיל באמצעות 2 תרשימים, 900 ו- 901. בתרשים 900 מתוות 2 עקומות של הוצאות מצרפיות שבהן C = 0.6.

באחת E₀=2, ובשנייה E₀=3.

כאשר E₀=2, Y=5 (2 * המכפיל). המכפיל = 1/(1-0.6)

כאשר E₀=3, Y=7.5 (2 * המכפיל). המכפיל = 1/(1-0.6)

כל תוספת של 1 ש"ח ל-E₀, מוסיפה 2.5 ש"ח ל- Y (לתמ"ג).

בתרשים 901 משורטטת הפונקציה: Y = 1/(1-c)E₀ שבה y הוא פונקציה של E₀ (E₀ הוא משתנה).

כאשר C=0.6, כל תוספת של 1 ש"ח ב-E₀ תורמת לגידול של 2.5 ש"ח ב- y.

תרשים 900

הפונקציות:

1. E = 2 + Cy
2. E = 3 + Cy
3. E = y

תרשים 901

הפונקציה Y = 1/(1-c)E₀ כאשר C = 0.6