התפלגות t — מרווחי סמך ובדיקת השערות כשסטיית התקן אינה ידועה

הפתיחה

כ-660 אלף עסקים בישראל — 99.6% מכלל העסקים — הם עסקים קטנים ובינוניים (הסוכנות לעסקים קטנים, משרד הכלכלה, 2023). ולעסק קטן יש בעיה סטטיסטית מובנית: המדגמים שלו קטנים. 9 לקוחות שענו לסקר, 16 יחידות מקו ייצור, 4 ימי מכירות. בשני הפרקים הקודמים הנחנו שסטיית התקן של האוכלוסייה ידועה — הנחה נוחה ולא מציאותית. בפרק הזה, האחרון בספר, נשמוט אותה: כשסטיית התקן לא ידועה ואומדים אותה מהמדגם עצמו, טבלת ה-z מפנה את מקומה לטבלה חדשה — טבלת t.

מה השתנה — טעות תקן במקום סטיית תקן

במציאות בדרך כלל איננו יודעים את סטיית התקן של ההתפלגות, ואנו אומדים אותה מתוך המדגם. לתוצאת האומדן קוראים טעות תקן (ולא סטיית תקן) — דרך החישוב הוסברה בפרק 4: סוכמים את ריבועי הסטיות מהממוצע, מחלקים ב-(n−1), ומוציאים שורש.

האומדן הזה מוסיף אי-ודאות: לא רק שהממוצע נמדד ממדגם — גם המרחקים נמדדים בסרגל שנאמד בעצמו מאותו מדגם. לכן הגבולות של מרווחי הסמך והקווים האדומים של בדיקת ההשערות מתרחקים מעט מהתוחלת. הסטטיסטיקאים פיתחו טבלה שנותנת את המיקומים המתוקנים — טבלת t.

טבלת t — שני גורמים קובעים את הערך

1. דרגות החופש (ד"ח) — גודל המדגם ששימש לחישוב טעות התקן, פחות 1. מדגם של 10 תצפיות = 9 דרגות חופש.

2. רמת המובהקות (לבדיקת השערות — בד"כ 5% או 10%) או רמת הסמך (למרווחי סמך — בד"כ 95% או 90%).

הערה: עבור מספר דרגות חופש הגדול מ-120 משתמשים בשורת ה-∞ — ושימו לב שהיא זהה לערכי ה-z המוכרים (1.645, 1.960). זה לא מקרה, ונחזור לזה בהמשך.

דוגמה לשליפה מהטבלה: בדיקת השערות עם קו אדום אחד ברמת מובהקות 10%, כשטעות התקן חושבה ממדגם של 20 תצפיות: קו אחד ב-10% ⟸ טור 1; מדגם 20 ⟸ 19 דרגות חופש; טור 1 בשורת 19 ⟸ 1.328 טעויות תקן מימין לתוחלת.

מרווח סמך כשסטיית התקן לא ידועה

דוגמה. גובה תלמידי כיתה ג' בבית ספר מסוים מתפלג נורמלית, עם תוחלת וסטיית תקן לא ידועות. במדגם של 9 תלמידים נמדדו (בס"מ): 126, 139, 136, 132, 128, 136, 135, 127, 138. בנו מרווח סמך לתוחלת ברמת סמך של 90%.

(1) הממוצע: 1,197 ÷ 9 = 133 ס"מ. נסמל את משתנה הבסיס G1 ואת משתנה הממוצע G9.

(2) הערך מטבלת t: מדגם של 9 ⟸ 8 דרגות חופש; רמת סמך 90% ⟸ טור 2 ⟸ 1.86.

(3) טעות התקן של משתנה הבסיס:

השונות: 194 ÷ (9−1) = 24.25, וטעות התקן של משתנה הבסיס היא השורש: 4.92 ס"מ.

(4) טעות התקן של משתנה הממוצע: 4.92 ÷ √9 = 1.64 ס"מ.

(5)–(6) הגבולות:

גבול עליון: 133 + 1.86 × 1.64 = 136.05 ס"מ
גבול תחתון: 133 − 1.86 × 1.64 = 129.95 ס"מ

בהסתברות של 90%, תוחלת התפלגות הגובה נמצאת בין 129.95 ל-136.05 ס"מ.

בדיקת השערות כשסטיית התקן לא ידועה

דוגמה. גובהם של ילדים בני 10 מתפלג נורמלית עם תוחלת 120 ס"מ וסטיית תקן לא ידועה. חוקר טוען שפיתח תרופה המגביהה ילדים, ומציג מדגם של 4 ילדים שטופלו, בגבהים (ס"מ): 129, 132, 125, 134. האם ברמת מובהקות 5% החוקר צודק?

(1) השערת ה-0: התרופה לא מגביהה; התוחלת נשארה 120 ס"מ.
(2) ההשערה הנגדית: התוחלת גדולה מ-120 ⟸ קו אדום אחד מימין לתוחלת.
(3) הערך מטבלת t: מדגם 4 ⟸ 3 דרגות חופש; קו אחד ב-5% ⟸ טור 2 ⟸ 2.353.
(4) הממוצע: 520 ÷ 4 = 130 ס"מ.
(5) טעות התקן של משתנה הבסיס: ריבועי ההפרשים 1, 4, 25, 16; השונות 46 ÷ 3 = 15.33; השורש: 3.92 ס"מ.
(6) טעות התקן של משתנה הממוצע: 3.92 ÷ √4 = 1.96 ס"מ.
(7) הקו האדום: 120 + 2.353 × 1.96 = 124.61 ס"מ. התחום הסביר: עד 124.61; מעליו — התחום החריג.
(8) ההחלטה: הממוצע 130 ס"מ נמצא בתחום החריג ⟸ דוחים את השערת ה-0. החוקר צודק.

ועוד אחת, קצרה. משך חיי עכבר מתפלג נורמלית עם תוחלת 30 יום וסטיית תקן לא ידועה. חוקר טוען שתוסף מזון מאריך חיים. במדגם של 11 עכברים: ממוצע 35 יום, טעות תקן של משתנה הבסיס 3 ימים. מובהקות 10%. הפתרון: קו אחד מימין; 10 דרגות חופש; טור 1 ⟸ 1.372. טעות התקן של הממוצע: 3 ÷ √11 = 0.9. הקו האדום: 30 + 1.372 × 0.9 = 31.23 ימים. הממוצע 35 בתחום החריג ⟸ התוסף מאריך את חיי העכברים.

תהליך העבודה המלא — שמונה צעדים

(1) הגדירו את השערת ה-0 (אין סטייה מהתוחלת המקורית). (2) הגדירו את ההשערה הנגדית וקבעו כמה קווים אדומים ובאיזה צד. (3) שלפו את הערך מטבלת t לפי רמת המובהקות, מספר הקווים ודרגות החופש (גודל המדגם פחות 1). (4) חשבו את ממוצע המדגם. (5) חשבו את טעות התקן של משתנה הבסיס. (6) חלקו בשורש גודל המדגם — טעות התקן של משתנה הממוצע. (7) מקמו את הקווים האדומים: התוחלת המקורית ± הערך מהטבלה × טעות התקן של הממוצע. (8) בדקו באיזה תחום נפל הממוצע: בתחום החריג — דוחים את השערת ה-0; בתחום הסביר — מקבלים אותה.

למרווח סמך התהליך זהה בלי ההשערות: ממוצע, ערך מהטבלה (לפי רמת הסמך), טעות תקן של הבסיס, של הממוצע — והגבולות הם הממוצע ± המכפלה.

השפעת גודל המדגם

הביטו שוב בטבלה: ככל שיורדים בשורות (המדגם גדל), הערכים בכל טור קטנים ומתכנסים לשורת ה-∞ — שהיא בדיוק ערכי ה-z מהפרקים הקודמים. המשמעות: ככל שהמדגם גדל, טעות התקן הופכת אומדן אמין יותר לסטיית התקן באוכלוסייה. בטור 1, למשל, ב-120 דרגות חופש הערך הוא 1.289 — קרוב מאוד ל-1.282 של ה-z. וכשהמדגם קטן, האומדן לא אמין דיו ונדרשים מקדמי ביטחון גדולים — קווים אדומים רחוקים יותר, מרווחי סמך רחבים יותר. הסטטיסטיקה גובה "פרמיית אי-ודאות" על כל תצפית שחסרה לכם.

דוגמאות נוספות

שאלה 1 — הזבל החדש בפרדס. מספר התפוזים על עץ בפרדס א' מתפלג נורמלית עם תוחלת 100 (סטיית תקן לא ידועה). נטען שזבל חדש הגדיל את היבול. במדגם של 9 עצים חושבו ממוצע של 110 תפוזים וטעות תקן של משתנה הבסיס של 3.5 תפוזים. מובהקות 5%. הפתרון: קו אחד מימין; 8 ד"ח; טור 2 ⟸ 1.86. טעות תקן של הממוצע: 3.5 ÷ 3 = 1.167. הקו האדום: 100 + 1.86 × 1.167 = 102.17. הממוצע 110 בתחום החריג ⟸ הזבל יעיל.

שאלה 2 — הגרעינים במלון. מספר הגרעינים במלון מתפלג נורמלית עם תוחלת 200 (סטיית תקן לא ידועה). חוקר טוען שעקב התחממות כדור הארץ המספר השתנה — בלי לדעת לאיזה כיוון. במדגם של 36 מלונים: ממוצע 210, טעות תקן של משתנה הבסיס 54 גרעינים. מובהקות 5%. הפתרון: שני קווים אדומים; 35 ד"ח — אין שורה כזו בטבלה, נשתמש ב-30 ד"ח ⟸ טור 3 ⟸ 2.042. טעות תקן של הממוצע: 54 ÷ 6 = 9. הקווים: 200 ± 2.042 × 9, כלומר 181.62 ו-218.38. הממוצע 210 בתחום הסביר ⟸ מקבלים את השערת ה-0: אין ראיה שמספר הגרעינים השתנה.

שאלה 3 — הטמפרטורה בתל אביב. טמפרטורת יום קיץ בת"א מתפלגת נורמלית. מטאורולוג מדד 9 ימים (מעלות): 26, 30, 32, 27, 30, 28, 35, 29, 33. מרווח סמך ברמת 95%. הפתרון: ממוצע 30; 8 ד"ח; טור 3 ⟸ 2.306. טעות תקן של הבסיס: 2.915; של הממוצע: 0.972. הגבולות: 30 ± 2.306 × 0.972 ⟸ בין 27.76 ל-32.24 מעלות.

שאלה 4 — הביצים בלול. לולן מחפש מרווח סמך (90%) לתוחלת משקל הביצים. במדגם של 16 ביצים (גרמים): 120, 150, 132, 139, 155, 141, 132, 127, 142, 140, 151, 136, 136, 144, 138, 141. הפתרון: ממוצע 139 גרם; 15 ד"ח — אין שורה, נשתמש בשורת 13 שמעליה ⟸ טור 2 ⟸ 1.771. טעות תקן של הבסיס: 8.892; של הממוצע: 2.223. הגבולות: 139 ± 1.771 × 2.223 ⟸ בין 135.1 ל-142.9 גרם.

נספח — הטבלה שהצגנו חלקית

טבלת ה-t שבפרק היא טבלה חלקית — גם בשורות וגם בעמודות — והיא מספיקה לצרכינו. קיימת גם טבלה מלאה.

חוסר בשורות: לא לכל דרגת חופש מוקצית שורה (אחרי 13 ד"ח ההשפעה של כל דרגה נוספת מזערית). כשד"ח שלנו חסרה — ניעזר בשורות הסמוכות. למשל, ל-35 ד"ח ניעזר ב-30 וב-40: תחילה בשורה שמתחת (40), שמניבה גבול קרוב יותר לתוחלת. אם התצפית אינה חורגת ממנו — היא ודאי לא תחרוג גם בגבול של 30 ד"ח. אם היא חורגת — נבחן את 30 ד"ח; אם המסקנה משתנה בין השתיים, נידרש לטבלה המלאה.

חוסר בעמודות: רוב הרמות המקובלות בטבלה. אם דרושה רמה שאינה קיימת — ננסה תחילה מרווח סמך קטן ממנה: אם התצפית לא חורגת בו, היא ודאי לא תחרוג בגדול ממנו. אם תהיה חריגה — נידרש לטבלה המלאה.

מה זה אומר עבורך

בעל עסק קטן: כשאתם מסיקים מסקנות מ-5 לקוחות או מ-9 מכירות — אל תשתמשו ב-1.96 הקסום של הסקרים הגדולים. ב-4 תצפיות, הקו האדום יושב ב-2.353 ו-95% סמך דורש 3.182 טעויות תקן. ההבדל הזה הוא בדיוק ההבדל בין "נראה שיש שיפור" לבין מסקנה שמחזיקה מים.

סטודנט: שלוש שאלות מזהות את הטור: כמה קווים אדומים? איזו רמת מובהקות/סמך? כמה דרגות חופש (n−1)? והטעות הקלאסית: להשתמש בסטיית תקן נתונה כשבעצם חישבתם אותה מהמדגם — אם חישבתם, זו טעות תקן, וזה פרק t.

סיכום

ובזה הושלם ארגז הכלים של הספר: ממשתנים מקריים והתפלגויות, דרך הקירוב הנורמלי, מדגם ואמידה — ועד מרווחי סמך ובדיקת השערות בשני העולמות: כשסטיית התקן ידועה, וכשהיא לא. העולם השני הוא, כמעט תמיד, העולם האמיתי.