מדגם ואמידה: איך לומדים על אוכלוסייה שלמה מחלק קטן

בקצרה

מה תלמדו: למה 500 נשאלים מספיקים כדי לייצג 8 מיליון בוחרים — ממוצע המדגם וטעות התקן.
זמן קריאה: 12 דק'

הפתיחה

בכל סקר בחירות שתראו בחדשות הישראליות מופיעה שורה קטנה בתחתית: "הסקר נערך על 500 משיבים". חמישה מאות איש מייצגים שמונה מיליון בוחרים? איך זה בכלל אפשרי?

התשובה נמצאת בשני מושגים שפרק זה עוסק בהם: ממוצע המדגם (x̄) וטעות התקן (σ/√n). ביניהם הם מסבירים בדיוק למה 500 "מספיקים" — ולמה 5,000 כמעט לא משפרים את התמונה.

שני זוגות מושגים שחייב להבדיל ביניהם

הבלבול הנפוץ ביותר בסטטיסטיקה — ובסקרי דעת קהל — הוא בין שני הזוגות הבאים:

זוג ראשון: תוחלת מול ממוצע

מושג	סימול	מה זה?
תוחלת	μ	הממוצע ה"אמיתי" של כל האוכלוסייה — לא ידוע בדרך כלל
ממוצע מדגם	x̄	הממוצע שחישבנו מהמדגם — מה שיש לנו

μ הוא מה שאנחנו רוצים לדעת. x̄ הוא מה שאנחנו יכולים לחשב. x̄ הוא אומדן של μ.

זוג שני: סטיית תקן מול טעות תקן

מושג	סימול	מה זה?
סטיית תקן	σ	הפיזור של פרטי האוכלוסייה סביב μ
טעות תקן	SE = σ/√n	הפיזור של ממוצעי מדגמים סביב μ

ההבדל הוא קריטי: σ מתארת כמה אנשים בודדים משתנים. SE מתארת כמה ממוצעי מדגמים משתנים. מדגם גדול — ממוצעיו פחות מפוזרים.

טעות התקן — הנוסחה

SE = σ / √n

טבלת השפעת גודל-מדגם (σ=10):

n (גודל מדגם)	√n	SE = 10/√n
25	5	2.00
100	10	1.00
400	20	0.50
900	30	0.33
2,500	50	0.20
10,000	100	0.10

מה רואים? מ-25 ל-100 נבדקים (פי 4) — טעות התקן מחצין. מ-100 ל-400 (פי 4 נוסף) — מחצין שוב. אבל מ-400 ל-10,000 (פי 25!) — SE יורדת מ-0.5 ל-0.1. תשואה פוחתת. הגדלת המדגם עוזרת — אבל בשלב מסוים עוזרת הרבה פחות.

SE = sigma/sqrt(n): הכפלת n ב-4 מקטינה SE ב-2 בלבד. עקומת שורש (תשואה פוחתת) · ספרות סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

משפט הגבול המרכזי (CLT)

משפט הגבול המרכזי הוא אחד הרעיונות היפים ביותר בסטטיסטיקה. הוא אומר:

אם לוקחים מדגמים גדולים מספיק מכל אוכלוסייה (לא משנה מה ההתפלגות שלה) — ממוצע המדגם מתפלג נורמלית סביב μ, עם טעות תקן σ/√n.

ה"גדול מספיק" בפרקטיקה: n ≥ 30 בדרך כלל מספיק.

המשמעות: אפילו אם פרטי האוכלוסייה מתפלגים בצורה מוזרה (מוטה, קדומה, לא סימטרית) — ממוצעי מדגמים עוקבים אחרי הפעמון. זה מה שמאפשר לנו להסיק מסקנות על μ מתוך x̄.

הקשר: אוכלוסייה → מדגם → אומדן

שלב	מה קורה
1	יש אוכלוסייה עם פרמטרים אמיתיים: μ, σ (לא ידועים)
2	בוחרים מדגם אקראי של n נבדקים
3	מחשבים x̄ (ממוצע המדגם)
4	x̄ הוא אומדן של μ; SE = σ/√n מודד את דיוקו

למה 500 "מספיקים"?

חזרנו לשאלת הפתיחה. נניח שרוצים לאמוד את אחוז התמיכה בסגנון x̄ עם SE ≤ 2% (±2 נקודות אחוז). σ בסקר דעת קהל ≈ 0.5 (המקסימום בסקר בינארי).

SE = σ/√n ≤ 0.02 → √n ≥ 0.5/0.02 = 25 → n ≥ 625

כלומר: כ-600 נבדקים מספיקים כדי לקבל שגיאה של 2% — לא משנה אם האוכלוסייה 100,000 או 8,000,000. גודל האוכלוסייה כמעט ולא משפיע (כל עוד הוא גדול בהרבה מהמדגם). זה המשפט המפתיע שמאחורי כל סקר.

שני סוגי אומדנים

אומדן נקודתי: מספר יחיד — x̄ עצמו. "33% תומכים במפלגה X." פשוט, אבל לא מספר את הטווח האפשרי.

אומדן קטעי (מרווח סמך): טווח ערכים שעם מידה מסוימת של ביטחון מכיל את μ. "33% ± 3%." הפרק הבא עוסק בדיוק בזה.

למה מחלקים ב-(n−1) ולא ב-n — ההטיה שמתקנים

סקר בחירות בישראל דוגם בדרך כלל כ-500 עד 600 אנשים, ומתיימר לומר משהו על מיליוני מצביעים. זה בדיוק המצב שאנחנו עומדים בו בפרק הזה: התוחלת וסטיית התקן של האוכלוסייה אינן ידועות, ואנחנו מנסים לאמוד אותן מתוך מדגם קטן. את התוחלת אומדים בעזרת הממוצע של המדגם. את סטיית התקן אומדים בעזרת הפיזור של המדגם — אבל כאן מסתתרת מלכודת עדינה שאי אפשר להתעלם ממנה.

כשמחשבים את הפיזור של המדגם, מודדים את הפער של כל ערך מן הממוצע של המדגם — לא מן התוחלת האמיתית, שאותה איננו יודעים. והממוצע של המדגם יושב, מעצם הגדרתו, בדיוק במרכז הנתונים שלו. לכן הפערים הנמדדים ממנו קטנים, באופן שיטתי, מן הפערים שהיו מתקבלים אילו מדדנו מן התוחלת האמיתית. התוצאה: אם נחלק את סכום ריבועי-הפערים ב- $n$ (גודל המדגם), נקבל אומדן שנוטה כלפי מטה — מספר קטן מדי בממוצע. זו הטיה (הטעיה שיטתית, לא אקראית).

התיקון פשוט ומדויק: מחלקים ב- $n-1$ במקום ב- $n$ . ההסבר האינטואיטיבי הוא "דרגות החופש": ברגע שחישבנו את הממוצע, הפערים כבר אינם חופשיים לגמרי — סכומם חייב להתאפס. הנתון האחרון נכבל על-ידי כל הקודמים. נשארו רק $n-1$ פיסות מידע עצמאיות על הפיזור, ולכן מחלקים בהן. החלוקה ב- $n-1$ מגדילה מעט את האומדן — בדיוק כדי לבטל את ההטיה שלמטה.

דוגמה פתורה — אומדן סטיית התקן מ-60 זריקות קובייה

נחזור לקובייה ההוגנת. כשהמשתנה ידוע לנו במלואו (כל ערך בהסתברות $tfrac{1}{6}$ ), אפשר לחשב את הפיזור האמיתי שלו: השונות היא $tfrac{35}{12}$ , וסטיית התקן האמיתית היא $sqrt{tfrac{35}{12}} = 1.708$ . עכשיו נעמיד פנים שאיננו יודעים זאת, ונאמוד את הפיזור מתוך מדגם של 60 זריקות. אלה התוצאות:

הערך שהתקבל	השכיחות (כמה פעמים)
1	11
2	7
3	10
4	8
5	11
6	13
סה"כ	60

קודם כול נחשב את הממוצע של המדגם, שישמש אומדן לתוחלת:

bar{x} = frac{1cdot 11 + 2cdot 7 + 3cdot 10 + 4cdot 8 + 5cdot 11 + 6cdot 13}{60} = frac{220}{60} = 3tfrac{2}{3}

כעת נבנה טבלה שמראה, עבור כל ערך, את הפער מן הממוצע, את הפער בריבוע, ואת תרומתו הכוללת (פער בריבוע כפול השכיחות):

הערך	הפער מהממוצע	הפער בריבוע	השכיחות	תרומה (פער² × שכיחות)
1	−2.667	7.111	11	78.22
2	−1.667	2.778	7	19.44
3	−0.667	0.444	10	4.44
4	0.333	0.111	8	0.89
5	1.333	1.778	11	19.56
6	2.333	5.444	13	70.78
סכום התרומות				193.33

הסכום המדויק הוא $tfrac{1740}{9} = 193.33$ . לפני שנמשיך, שווה לעצור על נקודה אחת שמסבירה את כל העניין: אם נסכום את הפערים עצמם (לפני ההעלאה בריבוע), משוקללים בשכיחות, נקבל בדיוק אפס.

sum f_i,(x_i – bar{x}) = sum f_i x_i – bar{x}sum f_i = 220 – frac{220}{60}cdot 60 = 0

זה לא צירוף-מקרים אלא תכונה מתמטית: הפערים מן הממוצע תמיד מתאזנים לאפס. וזו בדיוק האזיקה שדיברנו עליה — ברגע שמכירים את חמשת הפערים הראשונים, הששי נקבע מאליו כדי שהסכום יתאפס. נשארו רק חמש פיסות מידע עצמאיות, או באופן כללי $n-1$ . לכן זה גם המספר שבו מחלקים. עכשיו מגיע הצעד המכריע: מכיוון שאיננו רוצים את הפיזור של המדגם לעצמו, אלא אומדן לפיזור של כל האוכלוסייה, מחלקים ב- $n-1 = 59$ — ולא ב-60:

s^2 = frac{sum f_i,(x_i – bar{x})^2}{n-1} = frac{193.33}{59} = 3.2768

s = sqrt{3.2768} = 1.8102

קיבלנו אומדן של $1.8102$ לסטיית התקן — קרוב מאוד לערך האמיתי $1.708$ שאותו (לצורך התרגיל) הסתרנו מעצמנו. כדי לראות את ההטיה במו עינינו, נשווה למה שהיינו מקבלים אילו חילקנו ב-60 במקום ב-59:

frac{193.33}{60} = 3.2222 quadRightarrowquad sqrt{3.2222} = 1.7951

שני האומדנים קרובים, אבל לא זהים — והחלוקה ב- $n-1$ דוחפת את התוצאה כלפי מעלה, אל הכיוון הנכון. ככל שהמדגם גדול יותר, ההפרש בין $n$ ל- $n-1$ מצטמצם, וההטיה נעלמת ממילא: אילו לקחנו מדגם בגודל 600 במקום 60, האומדן היה מתקרב עוד יותר ל- $1.708$ . התיקון חשוב בעיקר במדגמים הקטנים — בדיוק אלה שבהם הוא נחוץ.

מסטיית התקן הנאמדת אל תקן השגיאה של הממוצע

חשוב לא להתבלבל בין שני גדלים שנשמעים דומה. $s = 1.8102$ הוא האומדן שלנו לסטיית התקן של משתנה הבסיס — של זריקה בודדת אחת. אבל את התוחלת לא אמדנו מזריקה בודדת אלא מן הממוצע של 60 זריקות, ולממוצע יש פיזור קטן בהרבה: כפי שלמדנו, סטיית התקן של הממוצע מתקבלת מחלוקת סטיית התקן של משתנה הבסיס בשורש גודל המדגם.

text{SE} = frac{s}{sqrt{n}} = frac{1.8102}{sqrt{60}} = 0.2337

הגודל הזה — $0.2337$ — נקרא תקן השגיאה של הממוצע (standard error), והוא המודד עד כמה הממוצע שלנו עשוי לנדוד סביב התוחלת האמיתית. שימו לב להפרדה: $s$ מודד את פיזור הפרטים, ו- $s/sqrt{n}$ מודד את פיזור הממוצע. שני אלה יחד — אומדן הפיזור שמבוסס על מדגם, מתוקן ב- $n-1$ , ומחולק בשורש גודל המדגם — הם בדיוק התשתית של המבחנים שנבנה בפרקים הבאים, כשסטיית התקן של האוכלוסייה אינה נתונה לנו מראש.

סיכום

מושג	סימול	שייך ל	ידוע/לא ידוע
תוחלת	μ	אוכלוסייה	לא ידוע
ממוצע מדגם	x̄	מדגם	ידוע — מחושב
סטיית תקן	σ	אוכלוסייה	לרוב לא ידוע
טעות תקן	σ/√n	מדגם (של ממוצעים)	מחושב

הנוסחה הבסיסית של הפרק: SE = σ/√n. מגדיל n פי 4 → SE מחצין. מגדיל n פי 9 → SE משלישין. תשואה פוחתת — ועם 500 נבדקים כבר יש לנו הרבה.

מדגם ואמידה