בפרק הזה
בקצרה
8 דק׳
- שלושה מדדי מרכז: שכיח (הנפוץ ביותר), חציון (האמצעי), ממוצע (סכום חלקי כמות)
- סטיית תקן מודדת כמה הנתונים מפוזרים סביב הממוצע — ככל שהיא גדולה, הפיזור רב יותר
- מדד מרכז לבד לא מספיק — חייבים גם מדד פיזור כדי לקבל תמונה אמיתית
מנהלי קרנות בישראל מפרסמים תשואה ממוצעת שנתית — זה המספר שכולם מסתכלים עליו. אבל שתי קרנות יכולות להציג בדיוק אותה תשואה ממוצעת ולהיות שונות לחלוטין. קרן אחת עשויה להיות יציבה — עולה קצת כל שנה, יורדת קצת, מעולם לא קורסת. קרן שנייה עשויה להיות תנודתית — שנה מרהיבה, שנה אסון, ממוצע זהה. הממוצע לא מספר את הסיפור המלא. בשביל זה קיים כלי שנקרא סטיית תקן — מד הסיכון שסוכל בכל דו"ח קרן, ושרוב האנשים מדפדפים עליו בלי לשאול מה הוא אומר. הפרק הזה לומד לשאול.
מדדים — למה הם קיימים
בפרק הקודם ראינו כיצד לארגן נתונים גולמיים בדיאגרמות וטבלאות. אבל לפעמים דרושה תמצות עוד יותר חדה: מספר אחד שיאפיין את כל קבוצת הנתונים. מספר כזה נקרא מדד.
יש שני סוגי מדדים:
מדדי מרכז — מספר שמייצג את הגודל ה"טיפוסי" בקבוצה. שלושה מדדים: שכיח, חציון, ממוצע.
מדדי פיזור — מספר שמייצג כמה הנתונים מפוזרים סביב המרכז. שניים עיקריים: טווח, סטיית תקן.
מדדי המרכז
שכיח
השכיח הוא הערך המופיע הכי הרבה פעמים בסדרת הנתונים.
דוגמה: בכיתה ה' ישנם 10 תלמידים. ציוני המבחן בחשבון (לפי א-ב):
| תלמיד | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ציון | 60 | 70 | 70 | 80 | 70 | 90 | 70 | 60 | 80 | 90 |
מאורגן בטבלת שכיחויות:
| ציון | שכיחות |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 70 | 4 |
| 80 | 2 |
| 90 | 2 |
| סה"כ | 10 |
השכיח הוא 70 — הציון שמופיע הכי הרבה פעמים (4 פעמים). שימו לב: השכיח הוא הערך עצמו (70), לא מספר הפעמים שהופיע.
שכיח עם מספר ילדים: בסקר על 30 עובדים (מפרק 2):
| מס' ילדים | שכיחות |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 10 |
| 3 | 7 |
| 4 | 2 |
השכיח הוא 2 — המספר שמופיע 10 פעמים, יותר מכל ערך אחר.
שכיח במשתנה רציף: כאשר הנתונים הם רציפים (כמו גיל), מחשבים תחילה צפיפות לכל מחלקה (שכיחות יחסית ÷ רוחב). המחלקה עם הצפיפות הגבוהה ביותר היא מחלקת השכיח, והשכיח עצמו הוא הערך המרכזי שלה.
חציון
החציון הוא הערך האמצעי בסדרה שמסודרת בסדר עולה — כזה שמתחתיו ומעליו יש אותו מספר נתונים.
חישוב מיקום החציון: (n + 1) ÷ 2
- בסדרה של 11 ערכים: (11 + 1) ÷ 2 = מקום 6 → החציון הוא הערך השישי בסדרה המוינת.
- בסדרה של 10 ערכים: (10 + 1) ÷ 2 = 5.5 → ממוצע הערכים החמישי והשישי (תלמיד וירטואלי).
דוגמה: גבהי 11 תלמידים (ממוינים בסדר עולה):
0.99, 1.00, 1.01, 1.05, 1.07, 1.08, 1.09, 1.11, 1.12, 1.15, 1.16
החציון הוא 1.08 מ' — הערך השישי, עם 5 ערכים מתחתיו ו-5 מעליו.
מדוע החציון לבדו אינו מספיק
נתבונן בדוגמה שממחישה את מגבלת החציון.
חמישה תלמידים נבחנו בספרות: 67, 68, 70, 70, 72. החציון: מקום (5+1)÷2 = 3, כלומר 70.
כעבור שבוע נוספו שני תלמידים שהיו חולים — שניהם קיבלו 100. הסדרה המעודכנת: 67, 68, 70, 70, 72, 100, 100. החציון: מקום (7+1)÷2 = 4, כלומר עדיין 70.
למרות שנוספו שני ציונים של 100 — החציון לא זז. ההתפלגות השתנתה לחלוטין, אבל החציון עיוור לזה. מכאן שדרוש מדד נוסף שייתן משקל לכל ערך — זה הממוצע.
ממוצע
הממוצע הוא המספר שאם כל הנתונים היו שווים לו, הסכום הכולל היה נשמר. שלוש דרכים לחשבו — לפי אופי הנתונים:
דרך א' — סכום חלקי מספר הנתונים
10 תלמידי כיתה ד' קיבלו ציונים: 90, 80, 70, 90, 80, 70, 80, 70, 70, 70.
סכום הציונים: 770. ממוצע: 770 ÷ 10 = 77.
דרך ב' — תרומת כל פרט לממוצע (שכיחות יחסית × ערך)
כל תלמיד תורם לממוצע לפי שני גורמים: ציונו ומשקלו (חלקו היחסי בקבוצה). בכיתה של 10 תלמידים, משקל כל אחד הוא 1/10 = 10%.
| ציון | שכיחות | משקל (שכיחות יחסית) | תרומה לממוצע |
|---|---|---|---|
| 70 | 5 | 50% | 35 |
| 80 | 3 | 30% | 24 |
| 90 | 2 | 20% | 18 |
| סה"כ | 10 | 100% | 77 |
דרך ג' — קבוצות בעלות ערך שונה ומשקל שונה
דוגמת מניות משה:
משה רכש מניות בשלוש חברות: בנק הפועלים, בנק לאומי, ובזק. הרווח הממוצע למניה הוא:
| חברה | רווח לאחר שנה | ערך כספי (₪) | שכיחות יחסית | תרומה לממוצע |
|---|---|---|---|---|
| בנק הפועלים | 10% (= 0.72 ₪) | 72 | 37.5% | 3.75% |
| בנק לאומי | 15% (= 0.69 ₪) | 60 | 31.25% | 4.69% |
| בזק | 8% (= 0.48 ₪) | 60 | 31.25% | 2.50% |
| סה"כ | — | 192 | 100% | 10.94% |
ממוצע הרווח על ההשקעה: 10.94%.
ניתן לאמת בדרך נוספת: הרווח הממוצע למניה הוא 1.05 ₪. יש 20 מניות. סך הרווח: 21 ₪ (= 20 × 1.05). רווח של 21 ₪ על השקעה של 192 ₪ הוא 10.94% — בדיוק כפי שקיבלנו.
הערה על המשקל: המשקל המתאים הוא ערך כספי (192 ₪), לא מספר מניות (20). מניות בנק הפועלים עולות יותר מבזק — לכן השפעתן על הממוצע גדולה יותר.
מדוע מדדי המרכז אינם מספיקים
נתבונן בשלושה מדגמים — אפשר לחשוב עליהם כציוני תלמידים:
שימוש בממוצע כשהנתונים מוטים לצד אחד. אם 9 עובדים מרוויחים 10,000 ₪ ואחד מרוויח 100,000 ₪ — הממוצע יהיה 19,000 ₪, מספר שלא מייצג אף אחד. במקרים כאלה החציון (10,000 ₪) אמין יותר.
- מדגם א': 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7
- מדגם ב': 4, 4, 7, 7, 7, 10, 10
- מדגם ג': 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8
לשלושתם: שכיח = 7, חציון = 7, ממוצע = 7. אבל ברור שהם שונים.
מדגם א' אינו מפוזר — כל הנתונים במקום אחד. מדגם ב' מפוזר ביותר — יש ערכים רחוקים מהמרכז. מדגם ג' מפוזר בינונית — ערכים קרובים למרכז.
השוני הוא בפיזור. לתיאור מלא של התפלגות דרושים גם מדדי פיזור.
מדדי הפיזור
טווח
הטווח = ערך מקסימלי − ערך מינימלי.
עבור מדגמינו:
– מדגם א': טווח = 7 − 7 = 0 (חסר פיזור לחלוטין)
– מדגם ב': טווח = 10 − 4 = 6 (פיזור גדול)
– מדגם ג': טווח = 8 − 6 = 2 (פיזור קטן)
אך הטווח לבדו אינו מדד פיזור מספק. נתבונן בשני מדגמים:
- מדגם א': 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- מדגם ב': 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 9
לשניהם טווח = 9 − 1 = 8. אבל מדגם א' מפוזר בין 1 ל-9 באופן אחיד, בעוד מדגם ב' מרוכז ב-5 — הערכים 1 ו-9 הם יוצאי דופן בלבד.
הטווח אינו מבחין בין שני המצבים האלה. לכן פיתחו הסטטיסטיקאים כלי מדויק יותר — סטיית התקן.
סטיית התקן (σ)
סטיית התקן — מסומנת באות היוונית σ (סיגמה) — מודדת כמה הנתונים מפוזרים בממוצע סביב המרכז.
כיצד מחשבים σ
שלב 1: חישוב הממוצע.
שלב 2: לכל ערך — חישוב ההפרש מהממוצע, ואז ריבוע ההפרש (כדי לאפס מינוסים).
שלב 3: ממוצע ריבועי ההפרשים.
שלב 4: שורש ריבועי של הממוצע שקיבלנו — זה σ.
חישוב לדוגמה: מדגם א' (1 עד 9)
הממוצע: (1+2+3+4+5+6+7+8+9) ÷ 9 = 5
| ערך | ממוצע | הפרש | ריבוע הפרש |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | −4 | 16 |
| 2 | 5 | −3 | 9 |
| 3 | 5 | −2 | 4 |
| 4 | 5 | −1 | 1 |
| 5 | 5 | 0 | 0 |
| 6 | 5 | 1 | 1 |
| 7 | 5 | 2 | 4 |
| 8 | 5 | 3 | 9 |
| 9 | 5 | 4 | 16 |
ממוצע ריבועי ההפרשים: (16+9+4+1+0+1+4+9+16) ÷ 9 = 6.67
σ = √6.67 = 2.582
חישוב לדוגמה: מדגם ב' (1, 5×7, 9)
הממוצע: (1×11.11%) + (5×77.78%) + (9×11.11%) = 5
| ערך | שכיחות יחסית | הפרש מממוצע | ריבוע הפרש | תרומה לפיזור |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 11.11% | −4 | 16 | 1.78 |
| 5 | 77.78% | 0 | 0 | 0.00 |
| 9 | 11.11% | 4 | 16 | 1.78 |
| סה"כ | 100% | 3.56 |
σ = √3.56 = 1.886
מסקנה: מדגם א' (σ=2.582) מפוזר יותר ממדגם ב' (σ=1.886) — בדיוק כפי שהאינטואיציה אמרה. החישוב אמת את ההרגשה.
סטיית התקן כמדד לסיכון — קבלת החלטות
ממוצע מול חציון — השכר בישראל
הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה מפרסמת גם שכר ממוצע וגם שכר חציוני. השכר החציוני נמוך משמעותית מהממוצע — כי מעט מאוד משתכרים גבוה מושכים את הממוצע למעלה. זו בדיוק הסיבה שחשוב להכיר את שני המדדים.
דוגמת מכבי: יציבות נגד פוטנציאל
הרקע: מועדון מכבי שולח נציג לטורניר "מלך הסלים". כל שחקן זורק 10 פעמים מחצי המגרש, ב-5 סיבובי אימון. הזוכה קולע הכי הרבה — ומאמנו מקבל פרס של מיליון ₪.
מהאימונים עלו שחקן 3 ושחקן 4 — שניהם עם ממוצע 5 סלים לסיבוב. שחקן 3 יציב: מעולם לא קלע פחות מ-4 ויותר מ-6. שחקן 4 תנודתי: בסיבוב אחד 8, בסיבוב אחר 1.
שאלה: מי לשלוח?
תלוי ב-σ ובהקשר:
אם אשתקד הזוכה קלע 4 סלים: עדיף שחקן 3. בגלל יציבותו, הוא לעולם לא קולע פחות מ-4 — ניצחון כמעט מובטח.
אם יש מתחרה שתמיד קולע 7 מתוך 10: עדיף שחקן 4. שחקן 3 לעולם לא יעבור 6 — הפסד ודאי. שחקן 4 יכול "לתפוס יד טובה" ולנצח. הסיכוי נמוך, אבל קיים.
הלקח: σ גבוה = פוטנציאל לשיאים, אבל גם לתקלות. σ נמוך = יציבות, אבל גם תקרה. ההחלטה תלויה בהקשר — ובמה מסוכן יותר: הפסד ודאי בגלל תקרה נמוכה, או אי-ודאות.
הוק-wow: דוגמת משה — שתי מניות, אותה תשואה, מסקנה אחרת לחלוטין
הרקע: ה-1 ביולי. למשה יש 1,000 ₪ שצריכים לשמש לפירעון חוב ב-1 באוגוסט. הוא רוצה להשקיע אותם חודש בינתיים. אפשרות א: מניות בנק א'. אפשרות ב: מניות בנק ב'.
הוא בחן את הביצועים בחצי השנה האחרונה (ינואר–יוני):
| חודש | בנק א' | בנק ב' |
|---|---|---|
| ינואר | 5% | 3% |
| פברואר | 1% | −2% |
| מרץ | −6% | 5% |
| אפריל | 10% | −3% |
| מאי | −7% | 8% |
| יוני | +3% | −5% |
| ממוצע | 1% | 1% |
שתי המניות: אותה תשואה ממוצעת חודשית, 1% בדיוק. אז מה ההבדל?
חישוב σ לבנק א' (ממוצע = 1%):
| ערך | ממוצע | הפרש | ריבוע הפרש |
|---|---|---|---|
| 5% | 1% | 4 | 16 |
| 1% | 1% | 0 | 0 |
| −6% | 1% | −7 | 49 |
| 10% | 1% | 9 | 81 |
| −7% | 1% | −8 | 64 |
| +3% | 1% | 2 | 4 |
ממוצע ריבועי ההפרשים: (16+0+49+81+64+4) ÷ 6 = 35.67
σ(בנק א') = √35.67 ≈ 5.97
חישוב σ לבנק ב' (ממוצע = 1%):
| ערך | ממוצע | הפרש | ריבוע הפרש |
|---|---|---|---|
| 3% | 1% | 2 | 4 |
| −2% | 1% | −3 | 9 |
| 5% | 1% | 4 | 16 |
| −3% | 1% | −4 | 16 |
| 8% | 1% | 7 | 49 |
| −5% | 1% | −6 | 36 |
ממוצע ריבועי ההפרשים: (4+9+16+16+49+36) ÷ 6 = 21.67
σ(בנק ב') = √21.67 = 4.655
מסקנה: σ של בנק א' גדול יותר (5.97 > 4.655) — כלומר בנק א' תנודתי יותר, מסוכן יותר. עבור משה, שצריך 1,000 ₪ ודאיים בעוד חודש, הסיכון אינו אופציה. הוא יבחר בבנק ב'.
הגשר לעולם הפיננסי: σ = מד הסיכון
בתורת המימון, מניה עם פיזור רווח גדול נקראת "מניה בעלת תנודתיות גבוהה" והיא נחשבת מסוכנת יותר להשקעה — במיוחד לטווח קצר.
הסיבה: ממוצע גבוה עם σ גבוה אומר שיש סיכוי ממשי לתוצאות קיצוניות — גם מעולות וגם גרועות. הממוצע "מבטיח" בממוצע, לא בפועל.
שני נכסים פיננסיים עם ממוצע זהה ו-σ שונה: הנכס עם σ קטן יותר מועדף — אותה תשואה, פחות סיכון.
זאת משמעות היחס "תשואה מותאמת-סיכון" שמופיע בדו"חות קרנות. כשרואים שתי קרנות עם תשואה ממוצעת דומה — הכלי להחלטה הוא σ.
מה זה אומר עבורך
בדו"ח הפנסיה הרבעוני, או בדף נתוני קרן נאמנות, מופיע לפעמים "סטיית תקן שנתית". זה σ. הנה מה לעשות איתו:
השווה בין שתי קרנות:
– שתי קרנות עם תשואה ממוצעת דומה? בדוק את σ. הקרן עם σ קטן יותר יציבה יותר.
– אם אחת מציגה תשואה גבוהה יותר אבל σ גבוה בהרבה — ייתכן שהתוספת בתשואה פשוט לא מצדיקה את הסיכון.
הקשר להשקעה:
– ממש קרוב לפרישה → σ נמוך עדיף. תנודתיות גדולה ממש לפני הוצאת הכסף עלולה לפגוע.
– זמן ארוך עד שנגע בכסף → σ גבוה יותר מתקבל, כי שנים רעות מקוזזות בשנים טובות.
מידע כללי בלבד. אינו ייעוץ פיננסי. לייעוץ המותאם לנסיבותיך פנה ליועץ מוסמך.
שאלות לפרק 3
ענה נכון/לא נכון:
-
נתונה סדרת המספרים: 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 20, 26. החציון של הנתונים הוא 9. נכון/לא נכון
-
ממוצע הוא מדד טוב יותר מחציון ומשכיח כי הוא לוקח בחשבון את כל הנתונים בסדרה ולא רק אחד מהם. נכון/לא נכון
-
כאשר יש מדגם עם 49 תצפיות, החציון יהיה התצפית ה-26. נכון/לא נכון
-
100 סטודנטים עשו מבחן בקורס "מבוא לסטטיסטיקה". 50 מהם קיבלו 100, 25 קיבלו 80, ו-25 הנותרים קיבלו 60. הציון הממוצע של הכיתה הוא 80. נכון/לא נכון
-
חוקר בדק הרגלי צפייה בטלוויזיה של ילדים. מתוך 100 ילדים: 10 — אפס מכשירים, 20 — מכשיר אחד, 50 — שני מכשירים, 20 — שלושה מכשירים. השכיח הוא 50. נכון/לא נכון
-
סטיית תקן היא מדד לפיזור התפלגות של מספרים. נכון/לא נכון
-
ככל שסטיית התקן גדולה יותר, הפיזור של הסדרה נמוך יותר. נכון/לא נכון
-
סטיית תקן לא יכולה להיות מספר שלילי. נכון/לא נכון
-
לפניך נתונים על 2 השקעות:
| השקעה 1 | השקעה 2 | |
|---|---|---|
| רווח ממוצע לשנה | 10% | 10% |
| סטיית תקן | 2.4 | 5.3 |
במקרה זה, סביר כי תעדיף את השקעה 1 כי היא פחות מסוכנת. נכון/לא נכון
-
מדד הוא מספר שמתמצת תכונה של התפלגות. נכון/לא נכון
-
המרכז (שכיח, חציון, ממוצע) מספיק לתיאור מושלם של התפלגות. נכון/לא נכון
-
סטיית תקן היא מדד הפיזור המקובל להערכת פיזור של התפלגות. נכון/לא נכון
-
סטיית התקן משמשת ככלי בתהליכי קבלת החלטות. נכון/לא נכון
הספר הוא חומר לימוד כללי. הדוגמאות הפיננסיות (מניות, תנודתיות, תשואה) מוצגות למטרות הדגמה בלבד. אין באמור ייעוץ להשקעה, ייעוץ פיננסי, או המלצה על נכס כלשהו. לייעוץ המותאם לנסיבות האישיות שלך פנה ליועץ מוסמך.