הקירוב הנורמלי למשתנה המקרי הבינומי

הקירוב הנורמלי למשתנה המקרי הבינומי

ככל שעולה מספר הניסויים שעליו מתבסס המשתנה הבינומי, התהליכים של חישוב הסתברויות עלולים להתארך מאוד. נמחיש את היקף העבודה באמצעות שאלה שמתייחסת ל-40 ניסויים.

שאלה

גדי ניגש למבחן בחשבון. במבחן 40 שאלות. לכל שאלה מתלוות 5 תשובות אפשריות, שרק אחת מהן נכונה. כדי לעבור את המבחן הוא צריך לענות נכון לפחות על 10 שאלות. אם גדי יענה באופן מקרי על השאלות, מהי ההסתברות שהוא יעבור את המבחן? רקע המשתנה – מספר ההצלחות (התשובות הנכונות) במבחן. ( 41 ערכים) ערכי המשתנה הם 40,39,38, ……….,6,5,4 3,2,1,0 = ( 0.2 תשובה אחת מתוך ה 5)- ההסתברות להצלחה היא = 4( 0.8 תשובות מתוך ה 5) – ההסתברות לכישלון היא

מה עלינו לעשות כדי לפתור את השאלה? כדי לחשב את ההסתברות שגדי יענה נכון לפחות על 10 שאלות אנו צריכים לחשב את ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 10 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 11 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 12 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 13 שאלות, ואת ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 14 שאלות, וכך הלאה עד 40 שאלות. כשנסיים את העבודה הזאת נצטרך לחבר את כל ההסתברויות שחישבנו. זוהי דרך ארוכה מאוד והמתמטיקאים חיפשו קיצור דרך. והם גם מצאו!!

קיצור דרך לחישובי הסתברויות במשתנה מקרי בינומי

כדי להמחיש את קיצור הדרך בנינו את טבלת ההתפלגות של המשתנה הבינומי המתאר את מספר התשובות הנכונות של גדי )חישבנו את ההסתברות לקבלת כל אחד מ-41 הערכים האפשריים של ההתפלגות: מ-0 הצלחות עד ל-40 הצלחות(. לא נציג את טבלת ההתפלגות, אך נציג את תרשים ההתפלגות (תרשים 3.1) תרשים – 3.1 התפלגות מספר ההצלחות במבחן ההסתברות 0 5 10 15 20 25 30 35 מס' ההצלחות 40

הפתעה!!!!!!!!

ההתפלגות בתרשים 3.1 דומה מאוד להתפלגות נורמלית (פעמון). התוחלת וסטיית התקן של הפעמון הן התוחלת וסטיית התקן של המשתנה המקרי תוחלת( [0.2  40 =] 8: מספר הניסויים כפול הסיכוי להצלחה בכל ניסוי). שונות( [0.8  8 =] 6.4: התוחלת כפול הסיכוי לכישלון בכל ניסוי). . סטיית תקן( 6.4 =) 2.53: נוכל לטעון כי: משתנה מקרי בינומי של 40 ניסויים עם הסתברות להצלחה של 0.8 מתפלג (בקירוב) כמו משתנה מקרי נורמלי עם תוחלת 8 וסטיית תקן 2.53

קיצור דרך בחישוב הסתברויות כשקיים דמיון לפעמון

הדמיון של ההתפלגות הבינומית להתפלגות נורמלית, מאפשר לנו, במגבלות שנפרט בהמשך, להתייחס להתפלגות בינומית כאילו היא התפלגות נורמלית, לצורך חישוב ההסתברות. התוצאה המתקבלת היא כמובן רק קירוב, אך בהחלט קירוב סביר. נדגים ע"י המשך פתרון השאלה מה ההסתברות שלגדי תהיינה לפחות 10 הצלחות? תרשים 3.2 0 8 10 מספר הצלחות

תשובה

• הקדמה 2.53 = σ אנו מניחים שההתפלגות הבינומית זהה להתפלגות נורמלית שמאפייניה 8 = µ: ההסתברות היא למעשה כל שטח ההתפלגות שמימין לערך 10
• תקנון הערך 10 כלומר, חישוב המרחק בס"ת בין הערך 10 לתוחלת 8 . התוצאה= 0.79:
• בעזרת טבלת הפעמון הסטנדרטי נמצא את שטח ההתפלגות משמאל לערך 10 התוצאה 0..78:
• השטח שמימין לערך 10 הוא 0.22 הגענו לתשובה: ההסתברות שגדי יעבור את המבחן היא בקירוב 0.22

חישוב ההסתברות לקבלת ערך מסויים כלשהו אין אפשרות להיעזר בעקום נורמלי לחישוב ההסתברות לקבלת ערך מסוים כלשהו, כגון ההסתברות לקבל בדיוק 10 הצלחות. לשם כך עלינו להיעזר במחשבון, בדרך שהצגנו בפרק הקודם: ההסתברות לקבלת הצירוף, כפול מספר הצירופים האפשריים.

מגבלות השימוש בעקום נורמלי

הדימיון בין התפלגות בינומית להתפלגות נורמלית מתקבל כאשר מתקיימים 2 תנאים מצטברים: תנאי – 1 המכפלה של [מספר הניסויים] × [ההסתברות להצלחה בניסוי], גדולה מ 5 – תנאי – 2 המכפלה של [מספר הניסויים] × [ההסתברות לכישלון בניסוי], גדולה מ 5 – בדוגמא שלנו שני התנאים מתקיימים: תנאי [0.2 40 =[ 8 = 1 תנאי ]0.8  40= ] 32 = 2 בד"כ, כאשר מספר הניסויים גדול, וההסתברות להצלחה לא קטנה מדי או גדולה מדי, סביר שיתקיימו 2 התנאים הנ"ל.

שימוש בהתפלגות נורמלית מעניק תוצאה שהיא רק קירוב

מן הראוי לחזור ולהדגיש שכל תוצאה המתקבלת על בסיס שימוש בהתפלגות נורמלית היא רק קירוב אך בהחלטְמסַ פֶּ ק. הערה: בקורסים מתקדמים לומדים לבצע תהליך נוסף הנקרא": תיקון רציפות", שנועד לשפר את הדיוק.

דוגמאות

שאלה 1

בלול תרנגולות מסויים 40%מהביצים הן בגודל 1 והשאר בגודל 2 בתוך תבנית ביצים מסודרות 30 ביצים שנבחרו באופן מקרי מלול זה. א. מהי ההסתברות שיהיו בתבנית בדיוק 15 ביצים בגודל ?1 ב. מהי ההסתברות שיהיו בתבנית לפחות 15 ביצים בגודל ?1 פתרון שאלה 1 הקדמה כל בחירה של ביצה לשם הכנסתה לתבנית מהווה ניסוי. מכיוון ש 40% -מהביצים הן בגודל ,1 ההסתברות להצלחה היא 0.4 וההסתברות לכשלון היא 0.6 אנו מבצעים 30 ניסויים זהים. סעיף א' חישוב ההסתברות לקבל בדיוק 15 הצלחות מהלכי החישוב: .I חישוב מספר הצירופים האפשריים[15←NCR←30] 155,117,520: .II חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד 0.4 15 ⋅0.6 15 = 5.049 ⋅ 10 −10: .III הפתרון 155,117,520 ⋅ 5.049 ⋅ 10 −10 = 0.0783: סעיף ב' .I בדיקת קיום התנאים לדמיון עם התפלגות נורמלית תנאי. 0.4 ⋅ 30 = 12:1 התנאי מתקיים כי. 12 > 5 תנאי. 0.6 ⋅ 30 = 18:2 התנאי מתקיים כי. 18 > 5

.II חישוב התוחלת, השונות וס"ת התוחלת 0.4 ⋅ 30 = 12: השונות 0.6 ⋅ 12 = 7.2: ס"ת 7.2 = 2.683: .III תקנון הערך = 1.1:15 .IV מציאת השטח שמשמאל ל,15 -ע"י חיפוש ציון התקן 1.1 בטבלת ההתפלגות הנורמלית. התוצאה 0.8642 .V מציאת השטח שמימין ל) 15-כי השאלה היא שיהיו לפחות 15 ביצים, כלומר מ 15- ומעלה(1 – 0.8642= 0.1357: לסיכום: ההסתברות שבתבנית יהיו לפחות 15 ביצים בגודל 1 היא (בקירוב).0.1357

שאלה 2

רמי ניגש למבחן שבו יש 10 שאלות. לכל שאלה יש 4 תשובות אפשריות שמהן רמי צריך לבחור את התשובה הנכונה. יש רק תשובה נכונה אחת לכל שאלה: א. אם רמי עונה על השאלות באופן מקרי, מה ההסתברות שהוא יענה נכון בדיוק על 2 שאלות? ב. מהי התוחלת של מספר התשובות הנכונות? מהי השונות? מהי סטיית התקן? ג. האם להתפלגות הבינומית הנ"ל יש דמיון להתפלגות נורמלית? ד. מה ההסתברות שרמי יפתור לכל היותר 2 שאלות? פתרון שאלה 2 הקדמה כל תשובה במבחן מהווה ניסוי שבו: הסיכוי להצלחה הוא 0..25: הסיכוי לכישלון הוא 0..75: מספר הניסויים 10.: סעיף א' צריך לחשב הסתברות לקבלת ערך מסויים. לשם כך, ניעזר במחשבון: מהלכי החישוב: .I חישוב מספר הצירופים האפשריים[2←NCR←10] 45: .II חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד 0.25 2 ⋅0.75 8 = 0.006257: .III הפתרון 45 ⋅ 0.006257 = 0.2816: סעיף ב' חישוב התוחלת 10 ⋅ 0.25 = 2.5: משמעות התוחלת היא שבממוצע רמי יענה נכון על 2.5 שאלות 1 4 (.מהשאלות). חישוב השונות 2.5 ⋅ 0.75 = 1.875: חישוב סטיית התקן 1.875 = 1.369:

סעיף ג' בחינת התנאים לדמיון: תנאי 0.25 ⋅ 10 = 2.5:1 התנאי לא מתקיים כי. 2.5 < 5 תנאי 0.75 ⋅ 10 = 7.5:2 התנאי מתקיים כי. 7.5 > 5 המסקנה: אין דמיון. מספיק שאחד התנאים לא מתקיים כדי שלא ייווצר דמיון. סעיף ד' ההסתברות לפתור לכל היותר 2 שאלות שווה ל: ]ההסתברות לפתור בדיוק 0 שאלות +ההסתברות לפתור בדיוק 1 שאלה +ההסתברות לפתור בדיוק 2 שאלות[. לא נוכל להשתמש בקירוב להתפלגות הנורמלית, כי ראינו בסעיף ג' כי אין דמיון. אבל, במקרה זה, החישוב הרגיל איננו כל כך ארוך. את ההסתברות לפתור בדיוק 2 שאלות כבר חישבנו. התוצאה 0..2816: נחשב את שאר ההסתברויות (בעזרת מחשבון). ההסתברות לפתור בדיוק 1 שאלה: .I חישוב מספר הצירופים האפשריים[1←NCR←10] 10: .II חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד 0.251 ⋅0.759 = 0.01877: .III הפתרון 10 ⋅ 0.01877 = 0.1877: ההסתברות לפתור בדיוק 0 שאלות: .I חישוב מספר הצירופים האפשריים[0←NCR←10] 1: .II חישוב ההסתברות של צירוף אפשרי בודד 0.25 0 ⋅0.7510 = 0.0563: .III הפתרון 1 ⋅ 0.0563 = 0.0563: נסכם את ההסתברויות להצלחה ב 0-שאלות, ב 1-שאלה, וב 2-שאלות: ולכן, ההסתברות שרמי יפתור לכל היותר 2 שאלות היא 0.5256