בפרק הזה
בקצרה
- מה תלמדו: כשמספר הניסויים גדל, הבינומי מתנהג כמו נורמלי. קירוב שחוסך חישוב מייגע.
- זמן קריאה: 8 דק'
הפתיחה
בפרק הקודם חישבנו הסתברויות בינומיות לn=2, 3, 4 ניסויים. עם 10 ניסויים זה כבר עמל ידני ממשי. עם 50 — כמעט בלתי אפשרי. ועם 500 — אי-אפשר בכלל בלי מחשב.
הפתרון הוא קירוב: כשהסתברות הצלחה p אינה קיצונית מדי, ומספר הניסויים n גדול מספיק — ההתפלגות הבינומית נראית כמעט בדיוק כמו התפלגות נורמלית. אפשר להחליף אחת בשנייה, ולחשב בשניות מה שאחרת דורש שעות.
מתי הקירוב מדויק מספיק
הקירוב הנורמלי לבינומי טוב כשמתקיימים שני תנאים בו-זמנית:
| תנאי | ניסוח | פירוש |
|---|---|---|
| n·p ≥ 5 | מספר ההצלחות הצפוי ≥ 5 | מספיק "הצלחות" למבנה הפעמון |
| n·(1−p) ≥ 5 | מספר הכישלונות הצפוי ≥ 5 | מספיק "כישלונות" |
מדוע שני התנאים? כי אם p=0.01 ו-n=10, מצד אחד n·p=0.1<5 — ואז ההתפלגות הבינומית מאוד מוטה שמאלה (כמעט כולן כישלונות), ולפעמון הסימטרי אין מה לעשות שם.
טבלת בדיקה:
| n | p | n·p | n·(1−p) | הקירוב מתאים? |
|---|---|---|---|---|
| 100 | 0.3 | 30 | 70 | כן |
| 100 | 0.05 | 5 | 95 | גבולי (5 = בדיוק הסף) |
| 50 | 0.02 | 1 | 49 | לא |
| 20 | 0.5 | 10 | 10 | כן |
| 10 | 0.4 | 4 | 6 | לא (n·p < 5) |
הפרמטרים של הפעמון
כשתנאי-הקירוב מתקיימים, X~B(n,p) מוחלף ב-X~N(μ, σ²) כאשר:
μ = n·p (התוחלת — זהה לבינומי)
σ² = n·p·(1−p) (השונות — זהה לבינומי)
σ = √(n·p·(1−p))
ואז ממירים לz: z = (x − μ) / σ, ומחפשים בטבלת z.
דוגמה — בקרת איכות במפעל
מפעל ישראלי מייצר נורות חשמל. ידוע שאחוז הפגמים הוא 5% (p=0.05). בודקים מדגם של n=200 נורות. מה הסיכוי שייתפסו לפחות 15 פגומות?
שלב 1 — בדיקת תנאים:
| תנאי | חישוב | מתקיים? |
|---|---|---|
| n·p ≥ 5 | 200×0.05 = 10 | כן |
| n·(1−p) ≥ 5 | 200×0.95 = 190 | כן |
שלב 2 — פרמטרים:
| פרמטר | חישוב | ערך |
|---|---|---|
| μ | n·p = 200×0.05 | 10 |
| σ² | n·p·(1−p) = 200×0.05×0.95 | 9.5 |
| σ | √9.5 | ≈ 3.08 |
שלב 3 — ממירים ל-z:
z = (15 − 10) / 3.08 = 5 / 3.08 ≈ 1.62
שלב 4 — מחפשים בטבלת z:
P(Z < 1.62) ≈ 0.9474
P(X ≥ 15) = 1 − P(X < 15) = 1 − 0.9474 = 0.0526
כ-5.3% מהמדגמים יכלו 15+ פגומות. אם בפועל מצאנו 17 — כדאי לעצור את הקו.
השוואה ויזואלית: בינומי מול נורמלי
מה זה אומר עבורך
מפקחי איכות, מנהלי ייצור, אנליסטים שמסתכלים על שיעורי-כשל — הקירוב הנורמלי הוא הכלי המעשי שלהם. לא צריך לחשב C(200,15). צריך לדעת שני מספרים (μ, σ) ולהסתכל בטבלה. הכוח הוא בפשטות — בתנאי שתנאי-הקירוב מתקיימים.
סיכום
| שלב | מה עושים |
|---|---|
| 1 | בדקו: n·p ≥ 5 וגם n·(1−p) ≥ 5 |
| 2 | חשבו μ = n·p, σ = √(n·p·(1−p)) |
| 3 | המירו ל-z: z = (x−μ)/σ |
| 4 | חפשו P(Z < z) בטבלת z |
| 5 | התאימו לשאלה (P >, P <, P בין…) |
אם אחד מהתנאים לא מתקיים — הקירוב לא מהימן. חשבו בינומי ישירות, או השתמשו בתוכנה.