יסודות הסטטיסטיקה · פרק 5 מ-6

סטטיסטיקה — ההתפלגות הנורמלית

עקום הפעמון: ההתפלגות שחוזרת שוב ושוב, מגבהים ועד ציוני מבחן

13 דק׳ זמן קריאה

בקצרה

5 דק׳

  • ההתפלגות הנורמלית = עקומת פעמון סימטרית, שבה רוב הערכים קרובים לממוצע
  • כלל 68-95-99.7: כ-68% מהנתונים בטווח סטייה אחת, 95% בשתיים, 99.7% בשלוש
  • תיקנון (ציון Z) מאפשר להשוות בין התפלגויות שונות ולחשב הסתברויות מטבלה אחת

כל ישראלי שכיר חוסך לפנסיה — חובה בחוק. בסוף כל שנה מגיע דו"ח עם מספר בולט אחד: "התשואה השנתית הייתה X%." המנהל מציג, הלקוח מנהן, ואף אחד לא שואל את השאלה שבאמת חשובה: מה הסיכוי שהשנה הבאה תהיה הפסד? "תשואה ממוצעת" לא עונה על זה — היא אפילו לא מנסה. הכלי שכן עונה הוא ההתפלגות הנורמלית, שבפי כולם נקראת "פעמון גאוס". כשתדעו לקרוא אותה, תבינו לא רק סטטיסטיקה — תבינו מה הדו"ח שלכם באמת אומר.

מה היא ההתפלגות הנורמלית

ההתפלגות הנורמלית היא אחת מסוגים רבים של התפלגויות, אך היא מיוחדת: נושאים סטטיסטיים רבים בטבע, בכלכלה ובחיי היומיום מתפלגים בקירוב לצורתה. גבהי אנשים, ציוני בחינות, שגיאות מדידה, תשואות שוק לאורך שנים — כולם נוטים לצורה אחת: פעמון.

מהיסטוגרמה לעקום הנורמלי

כפי שראינו בפרק 2, הביטוי הגרפי של משתנה רציף הוא ההיסטוגרמה.

נתבונן בהיסטוגרמה של גבהי אנשים. כל מלבן מייצג טווח גובה (מחלקה). המלבן הגבוה ביותר נמצא בטווח שסביב הממוצע — שם רוב האנשים. ככל שמתרחקים לצדדים, המלבנים נמוכים יותר.

גובה (ס"מ) צפיפות 140 150 160 170 180 190 היסטוגרמת גבהים (140–190 ס"מ)
היסטוגרמת גבהים — שיא סביב 165–170 ס"מ · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

כאשר מגדילים את המדגם ומצמצמים את רוחב המחלקות ל-5 ס"מ, לאחר מכן ל-2 ס"מ — הקו החיצוני של ההיסטוגרמה הופך לחלק יותר ויותר. כשהמדגם הופך גדול מאוד, הקו החיצוני הופך לקו חלק ורציף לחלוטין:

היסטוגרמה גסה היסטוגרמה עדינה עקום פעמון
כשמחלקות הופכות צרות מאוד, ההיסטוגרמה מתכנסת לעקום פעמון חלק · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

היסטוגרמה רציפה וחלקה זו נקראת "פעמון גאוס" — על שם המתמטיקאי הגרמני קארל פרידריך גאוס (1777–1855) שחקר אותה לעומק. פעמון גאוס הוא הביטוי הגרפי של ההתפלגות הנורמלית, ולכן הוא נקרא גם העקום הנורמלי.

חמשת המאפיינים של ההתפלגות הנורמלית

טעות נפוצה

הנחה שכל דבר מתפלג נורמלית. הכנסות, מחירי דירות ותשואות בורסה הם דוגמאות מוכרות להתפלגויות שאינן נורמליות — הן מוטות לצד אחד. לפני שמפעילים כלים סטטיסטיים שמניחים נורמליות, צריך לבדוק.

נלווה את ההסבר בדוגמה של גובה ילדים בגיל 10:

1. משתנה רציף — ההתפלגות הנורמלית מתארת משתנה רציף, שיכול לקבל כל ערך מספרי: שלמים (140 ס"מ), עם שברים (141.3 ס"מ), חיוביים ושליליים (בדוגמת הגבהים — רק חיוביים, אך הנוסחה מאפשרת שניהם).

2. גובה משקף הסתברות — גובה העקום שמעל כל נקודה על ציר ה-X משקף את הסיכוי לקבל את אותו ערך ביחס לאחרים. ככל שמתרחקים מהמרכז — הסיכוי קטן. המרכז הוא הנקודה הגבוהה ביותר.

3. האמצע הוא התוחלת — הנקודה המרכזית היא הממוצע, ובה ההסתברות הגבוהה ביותר. הסיבה: הפעמון סימטרי. לכל תוצאה מימין לממוצע שתורמת להגדלתו, יש תוצאה מקבילה משמאל במרחק שווה — ושתיהן בעלות אותו סיכוי.

4. סימטריות — ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע. הסיכוי לקבל ערך שגבוה ב-10 מהממוצע — שווה בדיוק לסיכוי לקבל ערך שנמוך ב-10 מהממוצע.

5. הסתברויות ידועות מראש — הכלל המרכזי של ההתפלגות הנורמלית, שבאמצעותו ניתן לחשב הסתברויות ומרחקים.

כלל 68 / 95 / 99.7 — הלב של ההתפלגות הנורמלית

ההסתברויות (= שטחי העקום) משני צידי הממוצע ידועות מראש:

I. טווח של σ± אחת מהממוצע:
השטח מעל הקטע באורך סטיית תקן אחת מהממוצע — הן ימינה והן שמאלה — מסתכם בכ-34% מכל צד.
לכן: השטח בתחום μ ± 1σ הוא 68% מכלל העקום.

σ −1σ μ +1σ 68% כלל 68%: P(μ−σ < X < μ+σ)
68% מהתצפיות נמצאות בתוך σ אחת מהממוצע · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

II. טווח של 2σ± מהממוצע:
השטח מעל הקטע באורך שתי סטיות תקן מהממוצע (ימינה או שמאלה) מסתכם בכ-47.5% מכל צד.
לכן: השטח בתחום μ ± 2σ הוא 95% מכלל העקום.

σ −2σ −1σ μ +1σ +2σ 95% כלל 95%: P(μ−2σ < X < μ+2σ)
95% מהתצפיות נמצאות בתוך 2σ מהממוצע — כלל הבסיס בסטטיסטיקה · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

III. טווח של 3σ± מהממוצע:
השטח מעל הקטע באורך שלוש סטיות תקן מסתכם בכ-49.85% מכל צד.
לכן: השטח בתחום μ ± 3σ הוא 99.7% מכלל העקום. רק 0.3% אינו בתחום זה.

σ −3σ μ +3σ 99.7% כלל 99.7%: P(μ−3σ < X < μ+3σ) 0.15% 0.15%
99.7% בתוך 3σ — רק 0.3% בשוליים. 'אנומליות סטטיסטיות' = מחוץ ל-3σ · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

מה זה אומר בפועל

מכל 1,000 ילדים שנפגוש ברחוב: 680 מהם יהיו בתחום μ ± 1σ. 950 מהם בתחום μ ± 2σ. ו-997 מתוך 1,000 בתחום μ ± 3σ.

רק 3 ילדים מתוך 1,000 יהיו מחוץ לתחום של 3 סטיות תקן מהממוצע.

זהו ה-"הוק" הגדול של ההתפלגות הנורמלית: תוצאה שנמצאת יותר מ-3σ מהממוצע היא אירוע נדיר ביותר. בעולם ההשקעות, שנה "קיצונית" — שנה שתשואות השוק בה חורגות ב-3σ מהממוצע — היא כמעט חד-בדורית.

סימון מרחקים על ציר ה-X

סמל משמעות
μ (מוּ) הממוצע — מרכז הפעמון
σ (סיגמה) סטיית התקן — מידת הפיזור
μ + 1σ נקודה סטיית תקן אחת ימינה מהממוצע
μ − 1σ נקודה סטיית תקן אחת שמאלה מהממוצע
μ ± 1σ שתי הנקודות יחד (טווח)
μ ± Xσ כל X סטיות תקן מהממוצע
σ μ−3σ μ−2σ μ−1σ μ μ+1σ μ+2σ μ+3σ פעמון סטנדרטי: 7 נקודות ציר
ציר ה-σ מסומן ב-7 נקודות — כל נקודה = סטיית תקן אחת מהממוצע · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

פעמונים שונים — אותו חוק

אין "פעמון אחד". לכל מחקר ולכל תופעה — פעמון שונה. שני מאפיינים מגדירים כל פעמון:

1. מיקום — היכן נמצא μ על ציר המספרים.

2. מידת הקמירות — האם הפעמון צר וגבוה, או רחב ונמוך.

דוגמה A: אותה קמירות (σ זהה), מיקומים שונים (μ שונה)

μ=10 μ=40 x 10 20 30 40 50 שני פעמונים: צורה זהה, מיקום שונה
μ קובע היכן מרכז הפעמון; שינוי μ = הזזה לאורך ציר X, ללא שינוי צורה · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

שני הפעמונים מייצגים את אותו פיזור — אותה סטיית תקן — אבל על אוכלוסיות שונות. למשל: גבהי בנים בגיל 10 (μ~135 ס"מ) לעומת גבהי גברים בוגרים (μ~175 ס"מ). אותה "מרחקיות" מהממוצע, מיקום אחר.

דוגמה B: אותו מיקום (μ זהה), קמירות שונה (σ שונה)

σ=1.5 (צר) σ=4 (רחב) x σ קובע את רוחב הפעמון (פיזור)
אותו μ=0 — σ קטן (כחול): גבוה וצר; σ גדול (ענבר): נמוך ורחב · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

פעמון צר וגבוה = סטיית תקן קטנה = רוב הערכים קרובים לממוצע = פיזור נמוך.
פעמון רחב ונמוך = סטיית תקן גדולה = הערכים מפוזרים יותר = פיזור גבוה.

בעולם ההשקעות: תשואות אג"ח ממשלתי מצטיירות כפעמון צר וגבוה — מרבית השנים קרובות לממוצע. תשואות מניות קטנות — פעמון רחב ונמוך. אותה תשואה ממוצעת, מסוכנות שונה לחלוטין.

העקום הנורמלי במדגמים אמיתיים

במדגמים שנבצע בפועל, כמעט תמיד נקבל עקום שרק מזכיר פעמון — לא פעמון חלק ומדויק. ההתפלגות שנקבל נקראת התפלגות המדגם.

הסטטיסטיקה פתרה את הבעיה כך: מתאימים להתפלגות המדגם את העקום הנורמלי המדויק הקרוב אליה ביותר, ועל עקום זה מבצעים את חישובי ההסתברות. ההסתברויות שנתקבל יהיו קירוב — לפעמים טוב יותר, לפעמים פחות — אבל לצרכים מעשיים (הבנת מגמות, קבלת החלטות "בגדול") הקירוב מספיק.

חישוב הסתברויות בעקום נורמלי: ההיגיון הבסיסי

הסתברות = שטח. גובה העקום משקף הסתברות, אבל השטח שמתחת לעקום מעל כל קטע הוא ההסתברות לקבל ערך בטווח אותו קטע. השטח הכולל של כל פעמון = 1 (= 100%).

דוגמה: נניח שגובה קהל חגיגות יום העצמאות מתפלג נורמלית עם μ = 167 ס"מ, σ = 2 ס"מ. מה הסיכוי שאדם שנבחר אקראית גבוה בין 150 ל-170 ס"מ?

ההסתברות המבוקשת היא השטח שמתחת לעקום, בין הנקודות 150 ל-170 על ציר ה-X — חלק מהשטח הכולל שהוא 1.

כיצד מחשבים שטחים כאלה? הפתרון: טבלת ההתפלגות הסטנדרטית.

ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית

מבין אינסוף הפעמונים האפשריים, אחד מיוחד: הפעמון הסטנדרטי — זה שבו:
– μ = 0 (ממוצע = אפס)
– σ = 1 (סטיית תקן = 1)

z -3 -2 -1 0 1 2 3 התפלגות סטנדרטית: N(0,1)
ההתפלגות הסטנדרטית: μ=0, σ=1. ציון z מודד ריחוק מהממוצע בסטיות-תקן · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

ציר ה-X של הפעמון הסטנדרטי הוא ציר של סטיות תקן: נקודה 1 = מרחק סטיית תקן אחת ימינה מהממוצע, נקודה −2 = שתי סטיות תקן שמאלה, וכן הלאה.

תזכורת לתכונות הפעמון:

שאלה 1: מה ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מ-0 בפעמון סטנדרטי?
תשובה: 0.5 (= 50%) — הפעמון סימטרי, חצי השטח משמאל לאפס.

שאלה 2: מה ההסתברות לקבל ערכים גבוהים מ-0 בפעמון סטנדרטי?
תשובה: 0.5 (= 50%) — חצי השטח מימין לאפס.

טבלת ההתפלגות הסטנדרטית

הטבלה מחולקת לשני טורים:

טור 1 — הערך (מבוטא בסטיות תקן): מתחיל ב-3.0− ועולה ב-0.1 עד 3.0+.

טור 2 — ההסתברות: השטח שמשמאל לאותו ערך בפעמון הסטנדרטי.

ציון-z P(Z<z) -3.0 0.0013 -2.0 0.0228 -1.0 0.1587 0.0 0.5000 +1.0 0.8413 +2.0 0.9772 +3.0 0.9987 טבלת-z: שטח שמאל לכל ציון
טבלת ההתפלגות הסטנדרטית — מציינת את שטח (הסתברות) משמאל לכל ציון-z · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.
ערך (בסטיות תקן) הסתברות (שטח משמאל) ערך (בסטיות תקן) הסתברות (שטח משמאל)
−3.0 0.0013 0.0 0.5000
−2.9 0.0019 0.1 0.5398
−2.8 0.0026 0.2 0.5793
−2.7 0.0035 0.3 0.6179
−2.6 0.0047 0.4 0.6554
−2.5 0.0062 0.5 0.6915
−2.4 0.0082 0.6 0.7257
−2.3 0.0107 0.7 0.7580
−2.2 0.0139 0.8 0.7881
−2.1 0.0179 0.9 0.8159
−2.0 0.0228 1.0 0.8413
−1.9 0.0287 1.1 0.8643
−1.8 0.0359 1.2 0.8849
−1.7 0.0446 1.3 0.9032
−1.6 0.0548 1.4 0.9192
−1.5 0.0668 1.5 0.9332
−1.4 0.0808 1.6 0.9452
−1.3 0.0968 1.7 0.9554
−1.2 0.1151 1.8 0.9641
−1.1 0.1357 1.9 0.9713
−1.0 0.1587 2.0 0.9772
−0.9 0.1841 2.1 0.9821
−0.8 0.2119 2.2 0.9861
−0.7 0.2420 2.3 0.9893
−0.6 0.2743 2.4 0.9918
−0.5 0.3085 2.5 0.9938
−0.4 0.3446 2.6 0.9953
−0.3 0.3821 2.7 0.9965
−0.2 0.4207 2.8 0.9974
−0.1 0.4602 2.9 0.9981
3.0 0.9987

כיצד קוראים את הטבלה

דוגמה 1: מה ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מ-1 בפעמון הסטנדרטי?

מחפשים בטבלה את הערך 1.0 → ההסתברות שמשמאלו היא 0.8413.
כלומר: יש סיכוי של 84.13% לקבל ערך נמוך מ-1.

z −1 0 1 2 0.8413 P(Z < 1.0) = 0.8413
שטח משמאל ל-z=1.0 = 0.8413 — 84.13% מהתצפיות נמצאות מתחת לנקודה זו · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

דוגמה 2: מה ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מ-0.5?

מחפשים 0.5 בטבלה → 0.6915.
יש 69.15% סיכוי לקבל ערך נמוך מ-0.5.

שימוש במאורעות משלימים

שאלה: מה ההסתברות לקבל ערכים גבוהים מ-0.5?

הטבלה נותנת תמיד שטח משמאל. כשצריך שטח מימין, משתמשים במאורע המשלים:

P(>0.5) = 1 − P(<0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

z 0 0.5 1 2 0.3085 0.6915 P(Z > 0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085
שטח מימין = 1 פחות שטח שמאל. P(Z>0.5)=1−0.6915=0.3085 · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

מאורעות עם נקודת התחלה ונקודת סוף (טווח)

שאלה: מה ההסתברות לקבל ערכים בין 0 ל-0.5?

P(0 < z < 0.5) = P(z < 0.5) − P(z < 0) = 0.6915 − 0.5000 = \mathbf{0.1915}
z 0 0.5 0.1915 P(0 < Z < 0.5) = 0.6915 − 0.5 = 0.1915
שטח בין שתי נקודות = הפרש בין שטחי-שמאל שלהן · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

שאלה: מה ההסתברות לקבל ערכים בין −1.5 ל-1.5?

P(-1.5 < z < 1.5) = P(z < 1.5) − P(z < -1.5) = 0.9332 − 0.0668 = \mathbf{0.8664}

שאלה: מה ההסתברות לקבל ערכים מחוץ לתחום −1.5 עד 1.5?

דרך א' (מאורע משלים): 1 − 0.8664 = \mathbf{0.1336}

דרך ב' (סימטריה): P(z < -1.5) = 0.0668, ומהסימטריה גם P(z > 1.5) = 0.0668, סה"כ 2 \times 0.0668 = \mathbf{0.1336}

המעבר מכל עקום נורמלי לעקום הסטנדרטי — תיקנון

בעולם האמיתי אין רק פעמון סטנדרטי. לכל תופעה — הפעמון שלה. גבהי ילדים: μ=135, σ=8. תשואות מניה: μ=9.6%, σ=8%.

כיצד משתמשים בטבלה (שמחשבת רק עבור פעמון סטנדרטי) לכל פעמון אחר?

תיקנון (standardization) — פעולת "תרגום" הערכים מהפעמון שלנו לפעמון הסטנדרטי, ואז שאילת הטבלה. הפעולה כוללת שני שלבים בו-זמנית:

  • הזזה — חיסור התוחלת: ממקם את מרכז הפעמון שלנו מעל ה-0. (τוחלת − תוחלת = 0)
  • עיצוב — חלוקה בסטיית התקן: "מותח" או "מכווץ" את הפעמון שלנו לצורת פעמון סטנדרטי.

הנוסחה:

z = \frac{x − \mu}{\sigma}

התוצאה, z, נקראת ציון תקן (Z-score) — כמה סטיות תקן הערך x רחוק מהממוצע.

לב הנוסחה: ציון התקן של התוחלת הוא תמיד 0 (כי μ − μ = 0). ציון התקן של ערך שגבוה בדיוק σ אחת מהממוצע הוא 1. ציון תקן של 2 = שתי סטיות תקן מהממוצע.

μ=170 X~N(170,10) z=(x−μ)/σ μ=0 Z~N(0,1) x / z תיקנון: מ-N(μ,σ) ל-N(0,1)
הסטת 'חוט' עם z=(x−μ)/σ — ממרכזת כל התפלגות נורמלית לסטנדרטית · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

דוגמאות חישוב

דוגמה 1: גבהי תלמידי כיתה י"ב

התפלגות הגובה בכיתה: μ = 170 ס"מ, σ = 10 ס"מ.
שאלה: איזה אחוז מהתלמידים נמוכים מ-180 ס"מ?

שלב 1 — תיקנון:

z = \frac{180 − 170}{10} = \frac{10}{10} = 1

ציון התקן של 180 הוא 1.
פירוש: 180 ס"מ נמצא סטיית תקן אחת ימינה מהממוצע.

שלב 2 — טבלה:
P(z < 1) = 0.8413 → כלומר, 84.13% מהתלמידים נמוכים מ-180 ס"מ.

ערך מקורי ציון תקן
170 (הממוצע) 0
180 1

דוגמה 2: יוסי ותיק ההשקעות שלו

יוסי מחזיק במניות שהרווח השנתי מתפלג נורמלית עם:
– תוחלת: 9.6% (= הרווח הצפוי ממוצע)
– σ = 8% (= פיזור התשואות)

שאלה: מה הסיכוי שיוסי ירוויח השנה?

להרוויח = תשואה > 0%. מחפשים P(תשואה > 0%).

שלב 1 — תיקנון:

z = \frac{0 − 9.6}{8} = \frac{-9.6}{8} = -1.2

ציון התקן של 0% הוא −1.2.
פירוש: שנה עם תשואה 0% נמצאת 1.2 סטיות תקן שמאלה מהממוצע.

ערך מקורי ציון תקן
9.6% (התוחלת) 0
0% −1.2

שלב 2 — טבלה + מאורע משלים:
P(z < −1.2) = 0.1151

P(רווח) = P(z > −1.2) = 1 − 0.1151 = 0.8849

הסיכוי שיוסי ירוויח השנה הוא 88.49%.

μ=-1.2% 0% 9.6% 0.8849 z=−1.2 z=0 x / z P(X>0%) = 0.8849: ייתכן שהתיק יניב תשואה חיובית
שטח מימין ל-0% (ג'ירת-רווח) = 88.49% — כשμ=−1.2%, σ=1% (ריבית שנתית) · מקור: ספרות סטטיסטיקה סטנדרטית · הגרף מיועד להמחשה בלבד ואינו ייעוץ השקעות.

הגשר הפיננסי: הפעמון הוא מד הסיכון

ציון התקן הוא הכלי המרכזי להשוואת סיכונים בעולם ההשקעות. כאשר שואלים "כמה נדירה שנה חריגה?", מתרגמים אותה לציון תקן:

שנה שבה שוק המניות עולה 30% כשהממוצע הוא 8% וסטיית התקן 15% — הציון התקן הוא (30−8)/15 = 1.47. ניתן למצוא בטבלה: P(z < 1.47) ≈ 0.929, כלומר שנה כזו ב-7% מהמקרים — נדיר אבל לא חריג. שנה עם z = 3 — קיצוני ביותר, 0.3% מהמקרים.

עיקרון ברזל: תוחלת חיובית אינה מבטיחה רווח בכל שנה. ה-11.51% שנמצאים משמאל לנקודה z=−1.2 (בדוגמת יוסי) הם ההפסדים האפשריים — ועם σ=8%, הם קרובים מאוד.

מה זה אומר עבורך

בפעם הבאה שתקבלו דו"ח עם "תשואה ממוצעת" — שאלו שתי שאלות נוספות:

1. מה σ? סטיית התקן מספרת כמה "רחוק" מהממוצע התשואות יכולות להיות. תשואה ממוצעת של 8% עם σ=2% — שונה לחלוטין מ-8% עם σ=20%.

2. כמה סטיות תקן מהממוצע עד "אפס"? חישוב ציון התקן של תשואה אפסית נותן הערכה מהירה לסיכוי שנה של הפסד. z=−0.5 = סיכוי של כ-31% להפסד. z=−2 = סיכוי של כ-2.3% להפסד. שניהם "ממוצע חיובי" — אבל פרופיל סיכון שונה לחלוטין.

המידע לעיל הוא כללי בלבד. אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, או השקעות. לייעוץ המותאם לנסיבות האישיות שלך, פנה ליועץ מוסמך.

הידעת?

קארל פרידריך גאוס (1777–1855), שעל שמו נקרא ״פעמון גאוס״, הופיע על שטר של 10 מארק גרמני עד שגרמניה עברה לאירו ב-2002 — ועל השטר הודפס בדיוק עקום ההתפלגות הנורמלית.

שאלות לפרק 5

ענה נכון/לא נכון:

  1. בהתפלגות נורמלית, ההסתברות לקבל ערך במרחק של שלוש סטיות תקן מהממוצע ומעלה נמוכה מאוד. נכון/לא נכון

  2. סך השטח שמתחת לעקום הנורמלי שווה תמיד ל-1. נכון/לא נכון

  3. "הפעמון של גאוס" מתייחס לצורת העקום המתארת את ההתפלגות הנורמלית. נכון/לא נכון

  4. בהתפלגות נורמלית עם ממוצע X וסטיית תקן σ, רוב הערכים נמצאים בין הממוצע לבין הנקודה X + 1σ. נכון/לא נכון

  5. בכל התפלגות נורמלית, הערכים יכולים לקבל כל מספר שבין מינוס אינסוף לאינסוף. נכון/לא נכון

  6. בהתפלגות נורמלית, ההסתברות לקבל ערכים נמוכים מהממוצע היא תמיד 50%. נכון/לא נכון

  7. בהתפלגות נורמלית, מספר גבוה יחסית של ערכים נמצא מסביב לממוצע. נכון/לא נכון

  8. בהתפלגות נורמלית, 95% מהערכים יהיו במרחק של שתי סטיות תקן מהממוצע. נכון/לא נכון

  9. במדינה מסוימת, 60% מהאוכלוסייה נוצרים, 30% מוסלמים ו-10% יהודים. ניתן לתאר את ההתפלגות הזו בצורה נורמלית. נכון/לא נכון

  10. התפלגות הגבהים של בנים בכיתה ו' ושל בנות בכיתה ו' בעלות אותה צורה, אך מיקומן שונה על ציר הערכים. המשמעות: ההסתברות לקבל ערכים הרחוקים עד 10 ס"מ מהממוצע שונה בין בנים לבנות. נכון/לא נכון

  11. התפלגות המשקל של בנים בכיתה ו' מתוארת בעקום צר וגבוה, ושל בנות — בעקום רחב ונמוך. המשמעות: ההסתברות לקבל ערכים הרחוקים עד 5 ק"ג מהממוצע גבוהה יותר אצל הבנות. נכון/לא נכון

  12. המשקל הממוצע של 1,000 גברים מתפלג נורמלית עם ממוצע 70 ק"ג וסטיית תקן 10 ק"ג. בקבוצה זו כ-160 גברים שוקלים מעל 80 ק"ג. נכון/לא נכון

  13. בפירמה מועסקים 1,000 עובדים. מספר ימי ההולדת בכל חודש מתפלג נורמלית: ממוצע 85, סטיית תקן 5. ההסתברות שבחודש מסוים יהיו בין 80 ל-90 ימי הולדת היא 50%. נכון/לא נכון

  14. עובד מרוויח ₪10,000 בחודש, ורק 2.5% מהעובדים בפירמה מרוויחים יותר ממנו. אם השכר מתפלג נורמלית, הממוצע ₪9,000 וסטיית התקן ₪1,000. נכון/לא נכון

לשאלות 15–20: עיין בטבלת ההתפלגות הסטנדרטית שבפרק זה.

  1. זמן ההשפעה של גלולה מסוימת הוא 60 דקות בממוצע עם סטיית תקן 10 דקות. ההסתברות שהגלולה תשפיע בטווח שבין 60 ל-70 דקות היא כ-34%. נכון/לא נכון

  2. כל הערכים בהתפלגות הנורמלית יכולים להיות מוחלפים בערכים "מתוקננים" כדי לקבל התפלגות נורמלית סטנדרטית. נכון/לא נכון

  3. בהתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, הממוצע הוא 1 וסטיית התקן היא 0. נכון/לא נכון

  4. בהתפלגות הסטנדרטית, ההסתברות לקבל ערך בין 0 ל-1.5 היא 0.4332. נכון/לא נכון

  5. בהתפלגות הסטנדרטית, ההסתברות לקבל ערך בין −1.2 ל-0 היא 0.1151. נכון/לא נכון

  6. בהתפלגות הסטנדרטית, ההסתברות לקבל ערך בין 1.1 ל-2.8 היא 0.2363. נכון/לא נכון

נושאים כלכלה ומאקרו (ידע/ספרים)
גילוי נאות: התוכן באתר אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, מסים או השקעות. החלטות פיננסיות אישיות מומלץ לקבל בליווי בעל מקצוע מוסמך.