בפרק הזה
בקצרה
- מה תלמדו: 4 סוגי משתנים מקריים נפוצים — אחיד, בינומי, גיאומטרי, ונורמלי. טבלאות הסתברות + דוגמאות.
- זמן קריאה: 15 דק'
הערה למדיה: טבלאות-ההסתברות בפרק זה הן גם התוכן וגם ה"מדיה" — אין להחליפן בגרפיקה. הדיאגרמות ([B]) מוסיפות על הטבלאות, לא מחליפות.
Kicker: סטטיסטיקה למתקדמים
תת-כותרת (Hero subtitle): מייקל ג'ורדן סגר 30% מהזריקות שלו. מה הסיכוי שמתוך 10 ניסיונות יצליח בדיוק 3? יש נוסחה לזה — ויש כמה טעויות נפוצות מאוד בדרך אליה.
הפתיחה
מייקל ג'ורדן, בשיא הקריירה, סגר כ-30% מניסיונות הזריקה מהשלוש-נקודות. כשמתחילים לחשב "מה הסיכוי ש-10 ניסיונות יניבו בדיוק 3 סגירות" — מגלים שצריך כלי מדויק. אינטואיציה לא מספיקה.
הכלי הזה נקרא התפלגות בינומית. היא אחת מכמה "צורות" שמשתנים מקריים לובשים שוב ושוב בעולם האמיתי. כל התפלגות מתארת מצב שונה: מספר הצלחות בניסויים חוזרים (בינומית), הממתין לראשונה-שיצליח (גאומטרית), ממוצע שוויוני של כל תוצאה (אחידה), ואת ה"פעמון" המפורסם שתואם כמעט הכל (נורמלית).
הפרק הזה לוקח כל אחת מהן — מגדיר, מחשב תוחלת ושונות, ובונה את הטבלאות שלב אחר שלב.
חלק א' — ההתפלגות הבינומית
התנאים לשימוש
ההתפלגות הבינומית מתאימה כשמתקיימים ארבעה תנאים:
- ניסוי חוזר קבוע: אותו ניסוי מתבצע מספר קבוע של פעמים — n פעמים.
- שתי תוצאות בלבד: לכל ניסוי יש בדיוק שתי תוצאות: "הצלחה" (מה שמעניין אותנו) ו"כישלון".
- עצמאות: תוצאת ניסוי אחד לא משפיעה על הניסוי הבא.
- הסתברות קבועה: ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא p — קבועה, לא משתנה בין הניסויים.
דוגמה: זריקות ג'ורדן. כל זריקה = ניסוי. "הצלחה" = סגירה (p = 0.3). עצמאות — כל זריקה עצמאית. n = מספר הזריקות. ✓ ארבעת התנאים מתקיימים.
בניית טבלת-האפשרויות: n=2 ניסויים
נתחיל בדוגמה פשוטה: n=2 ניסויים, p=0.3 (הסתברות להצלחה).
נסמן: H = הצלחה (Heads, p = 0.3), T = כישלון (Tails, 1−p = 0.7).
כל האפשרויות לסדר-תוצאות:
| סדר-תוצאות | מספר הצלחות |
|---|---|
| HH | 2 |
| HT | 1 |
| TH | 1 |
| TT | 0 |
עכשיו נחשב הסתברות לכל שורה:
| סדר-תוצאות | חישוב | הסתברות |
|---|---|---|
| HH | 0.3 × 0.3 | 0.09 |
| HT | 0.3 × 0.7 | 0.21 |
| TH | 0.7 × 0.3 | 0.21 |
| TT | 0.7 × 0.7 | 0.49 |
| סה"כ | 1.00 |
עכשיו נקבץ לפי מספר ההצלחות — וזו טבלת ההתפלגות של X ("כמה הצלחות"):
| X (מספר הצלחות) | P(X = x) |
|---|---|
| 0 | 0.49 |
| 1 | 0.21 + 0.21 = 0.42 |
| 2 | 0.09 |
| סה"כ | 1.00 |
שימו לב: סכום כל ההסתברויות = 1. תמיד.
בניית טבלת-האפשרויות: n=3 ניסויים
n=3 ניסויים, p=0.3:
| סדר-תוצאות | מספר הצלחות | הסתברות |
|---|---|---|
| HHH | 3 | 0.3×0.3×0.3 = 0.027 |
| HHT | 2 | 0.3×0.3×0.7 = 0.063 |
| HTH | 2 | 0.3×0.7×0.3 = 0.063 |
| THH | 2 | 0.7×0.3×0.3 = 0.063 |
| HTT | 1 | 0.3×0.7×0.7 = 0.147 |
| THT | 1 | 0.7×0.3×0.7 = 0.147 |
| TTH | 1 | 0.7×0.7×0.3 = 0.147 |
| TTT | 0 | 0.7×0.7×0.7 = 0.343 |
| סה"כ | 1.000 |
טבלת ההתפלגות עבור n=3, p=0.3:
| X | P(X = x) | חישוב |
|---|---|---|
| 0 | 0.343 | 1 × 0.343 |
| 1 | 0.441 | 3 × 0.147 |
| 2 | 0.189 | 3 × 0.063 |
| 3 | 0.027 | 1 × 0.027 |
| סה"כ | 1.000 |
שימו לב לתבנית: 1 אפשרות ל-X=0 (כל כישלונות), 3 ל-X=1, 3 ל-X=2, 1 ל-X=3. זה לא מקרה — זה מקדם הבינום.
בניית טבלת-האפשרויות: n=4 ניסויים
n=4 ניסויים, p=0.5 (מטבע הוגן — לדוגמה):
| X | מספר אפשרויות | P(X = x) | חישוב |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.0625 | 1 × 0.5⁴ |
| 1 | 4 | 0.25 | 4 × 0.5⁴ |
| 2 | 6 | 0.375 | 6 × 0.5⁴ |
| 3 | 4 | 0.25 | 4 × 0.5⁴ |
| 4 | 1 | 0.0625 | 1 × 0.5⁴ |
| סה"כ | 16 | 1.0000 |
מספרי-האפשרויות (1, 4, 6, 4, 1) — אלה הם מקדמי הבינום C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3), C(4,4).
מקדם הבינום — NCR
מה מספר הדרכים לבחור k הצלחות מתוך n ניסויים? הסימול הוא ⁿCₖ (נקרא "n choose k"), ומחשבים אותו:
נוסחה: ⁿCₖ = n! / [k! × (n−k)!]
כשn! = n×(n−1)×(n−2)×…×1 ("n עצרת").
טבלת עזר לחישוב NCR:
| n | k | n! | k! | (n−k)! | ⁿCₖ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 6 | 1 | 6 | 1 |
| 3 | 1 | 6 | 1 | 2 | 3 |
| 3 | 2 | 6 | 2 | 1 | 3 |
| 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 |
| 4 | 0 | 24 | 1 | 24 | 1 |
| 4 | 1 | 24 | 1 | 6 | 4 |
| 4 | 2 | 24 | 2 | 2 | 6 |
| 4 | 3 | 24 | 6 | 1 | 4 |
| 4 | 4 | 24 | 24 | 1 | 1 |
שימוש במחשבון: רוב המחשבונים המדעיים מחשבים NCR ישירות — מכניסים n, לוחצים NCR, מכניסים k. זה חוסך הרבה חישוב ידני.
נוסחת ההסתברות הבינומית
כעת יש לנו את הכלי לחשב כל הסתברות ישירות, בלי לרשום את כל האפשרויות:
נוסחה: P(X = k) = ⁿCₖ × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ
כש-X הוא מספר ההצלחות, n מספר הניסויים, p הסתברות הצלחה בניסוי בודד.
דוגמה — ג'ורדן, 10 זריקות, p=0.3:
מה הסיכוי לבדיוק 3 סגירות?
P(X=3) = C(10,3) × 0.3³ × 0.7⁷ = 120 × 0.027 × 0.0824 = 120 × 0.002225 ≈ 0.267
כלומר, כ-26.7% מהפעמים שג'ורדן יזרוק 10 זריקות, הוא יצליח בדיוק 3 פעמים.
זווית ישראלית: ליגת העל. שחקן עם 35% אחוז קליעה (אחוז סביר ומקובל) — מה הסיכוי שמתוך 5 ניסיונות יצליח בדיוק 0 פעמים? P(X=0) = C(5,0) × 0.35⁰ × 0.65⁵ = 1 × 1 × 0.116 ≈ 11.6%. זה קורה, ואז הקהל צועק "הוצא אותו".
תוחלת ושונות — ההתפלגות הבינומית
טבלת עזר לחישוב תוחלת (n=3, p=0.3)
תוחלת (E(X)) — הממוצע המשוקלל של כל הערכים האפשריים:
נוסחה: E(X) = Σ [x · P(X=x)]
| x | P(X=x) | x · P(X=x) |
|---|---|---|
| 0 | 0.343 | 0 |
| 1 | 0.441 | 0.441 |
| 2 | 0.189 | 0.378 |
| 3 | 0.027 | 0.081 |
| סה"כ E(X) | 0.900 |
בדיקה עם הקיצור: E(X) = n × p = 3 × 0.3 = 0.9 ✓
wow — הקיצור המפתיע: E(X) = n × p. תוחלת ה"כמה הצלחות" שווה למספר הניסויים כפול ההסתברות. לא צריך לחשב את כל הטבלה. ג'ורדן, 10 זריקות, p=0.3: E(X) = 3. ממוצע של 3 סגירות לכל 10 ניסיונות — זה בדיוק מה שאומר 30%.
טבלת עזר לחישוב שונות (n=3, p=0.3)
שונות (Var(X)) — מדד הפיזור סביב התוחלת:
נוסחה: Var(X) = Σ [x² · P(X=x)] − [E(X)]²
| x | P(X=x) | x² | x² · P(X=x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.343 | 0 | 0 |
| 1 | 0.441 | 1 | 0.441 |
| 2 | 0.189 | 4 | 0.756 |
| 3 | 0.027 | 9 | 0.243 |
| סה"כ | 1.440 |
Var(X) = 1.440 − (0.9)² = 1.440 − 0.810 = 0.630
קיצור לשונות בינומית: Var(X) = n × p × (1−p) = 3 × 0.3 × 0.7 = 0.63 ✓
סטיית התקן: σ = √Var(X) = √0.63 ≈ 0.794
חלק ב' — ההתפלגות הגאומטרית
מתי משתמשים בה
ההתפלגות הגאומטרית עונה על שאלה שונה מהבינומית: עד כמה ניסויים נמתין עד ההצלחה הראשונה?
תנאים:
1. ניסויים עצמאיים חוזרים עם הסתברות הצלחה קבועה p.
2. X = מספר הניסויים עד ההצלחה הראשונה (כולל הניסוי המצליח).
נוסחה והתפלגות
נוסחה: P(X = k) = (1−p)ᵏ⁻¹ × p
כלומר: k−1 כישלונות לפני ההצלחה הראשונה.
דוגמה: תריס ל-הגרלת "קוסמטיקה" עם p=0.1 (10% סיכוי לזכות). מה הסיכוי שנזכה בניסיון השלישי?
P(X=3) = (0.9)² × 0.1 = 0.81 × 0.1 = 0.081
| k (ניסוי) | P(X = k) |
|---|---|
| 1 | 0.100 |
| 2 | 0.090 |
| 3 | 0.081 |
| 4 | 0.073 |
| 5 | 0.066 |
| 6 | 0.059 |
ההסתברויות יורדות — ממתינים יותר, הסיכוי שבדיוק עכשיו נרוויח הולך וקטן.
תוחלת: E(X) = 1/p. עם p=0.1: E(X) = 10. ממוצע המתנה = 10 ניסיונות.
שונות: Var(X) = (1−p)/p² = 0.9/0.01 = 90
חלק ג' — ההתפלגות האחידה (Discrete)
הגדרה
בהתפלגות אחידה בדידה, כל הערכים האפשריים שווי-הסתברות.
אם X מקבל ערכים 1, 2, …, n — אז:
P(X = k) = 1/n לכל k
דוגמה קלאסית: קובייה הוגנת. n=6, P(X=k) = 1/6 ≈ 0.167 לכל k ∈ {1,2,3,4,5,6}.
| ערך | P(X = k) |
|---|---|
| 1 | 1/6 |
| 2 | 1/6 |
| 3 | 1/6 |
| 4 | 1/6 |
| 5 | 1/6 |
| 6 | 1/6 |
תוחלת: E(X) = (1+n)/2 = (1+6)/2 = 3.5
שונות: Var(X) = (n²−1)/12 = (36−1)/12 = 35/12 ≈ 2.917
חלק ד' — ההתפלגות הנורמלית
הפעמון המפורסם
ההתפלגות הנורמלית היא המודל הסטטיסטי הנפוץ ביותר. גובה אנשים, ציוני בגרות, שגיאות מדידה — הכל "פעמון". זה לא מקרה: משפט הגבול המרכזי (שנלמד בהמשך) אומר שסכום של משתנים מקריים עצמאיים רבים — מכל התפלגות שהיא — מתכנס להתפלגות נורמלית.
הנוסחה
f(x) = (1/(σ√(2π))) × e^(−½ × ((x−μ)/σ)²)
אבל בפרקטיקה לא מחשבים את הנוסחה ישירות. משתמשים בטבלאות z (או בחישוב ממוחשב).
ה-z הסטנדרטי
ממירים כל ערך x לציון z:
z = (x − μ) / σ
z מציין "כמה סטיות תקן מעל/מתחת לממוצע נמצא x".
טבלת המרה לדוגמה:
| x | μ | σ | z = (x−μ)/σ | פירוש |
|---|---|---|---|---|
| 175 | 172 | 6 | 0.50 | חצי סטיית-תקן מעל הממוצע |
| 166 | 172 | 6 | −1.00 | סטיית-תקן אחת מתחת |
| 184 | 172 | 6 | 2.00 | שתי סטיות-תקן מעל |
הטבלה הנורמלית הסטנדרטית (Z~N(0,1)) נותנת את P(Z < z) לכל ערך z. מכיוון שהפעמון סימטרי:
| z | P(Z < z) | פירוש |
|---|---|---|
| −2.00 | 0.0228 | 2.28% מהאוכלוסייה מתחת |
| −1.00 | 0.1587 | 15.87% מתחת |
| 0.00 | 0.5000 | 50% מתחת (=הממוצע) |
| 1.00 | 0.8413 | 84.13% מתחת |
| 1.65 | 0.9500 | 95% מתחת |
| 1.96 | 0.9750 | 97.5% מתחת |
| 2.00 | 0.9772 | 97.72% מתחת |
| 2.58 | 0.9951 | 99.51% מתחת |
הכלל 68-95-99.7: בכל התפלגות נורמלית, כ-68% מהתצפיות נמצאות בטווח μ ± σ, כ-95% ב-μ ± 2σ, וכ-99.7% ב-μ ± 3σ.
| טווח | שיעור האוכלוסייה |
|---|---|
| μ ± σ | ~68% |
| μ ± 2σ | ~95% |
| μ ± 3σ | ~99.7% |
דוגמה ישראלית: ציוני בגרות (פסיכומטרי) מתפלגים בקירוב נורמלי עם ממוצע 500 וסטיית-תקן 100. מי שקיבל 650 נמצא ב-z = (650−500)/100 = 1.5 — כ-93.3% מהנבחנים מתחתיו.
חלק ה' — תוחלת ושונות: כללים כלליים
תוחלת — הגדרה כללית
E(X) = Σ [x · P(X=x)]
טבלת עזר לחישוב — כללי
| x | P(X=x) | x · P(X=x) | x² | x² · P(X=x) |
|---|---|---|---|---|
| x₁ | p₁ | x₁·p₁ | x₁² | x₁²·p₁ |
| x₂ | p₂ | x₂·p₂ | x₂² | x₂²·p₂ |
| … | … | … | … | … |
| סה"כ | 1 | E(X) | E(X²) |
שונות — הגדרה כללית
Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
סטיית התקן:
σ(X) = √Var(X)
סיכום — ארבע ההתפלגויות
| התפלגות | שאלה | תנאי-שימוש | E(X) | Var(X) |
|---|---|---|---|---|
| בינומית | כמה הצלחות ב-n ניסויים? | 4 תנאי בינום | n·p | n·p·(1−p) |
| גאומטרית | כמה ניסויים עד ההצלחה הראשונה? | ניסויים עצמאיים, p קבוע | 1/p | (1−p)/p² |
| אחידה (בדידה) | ערכים שווי-הסתברות | כל ערך — סיכוי שווה | (1+n)/2 | (n²−1)/12 |
| נורמלית | "פעמון" — רציפה | ערכים רציפים, סימטרייה | μ | σ² |
מה זה אומר עבורך
בפעם הבאה שתראו "ממוצע ציון כניסה לאוניברסיטה — 550", שאלו: מה סטיית-התקן? בלי זה אי-אפשר לדעת אם 600 הוא "גבוה בהרבה" או "מעל הממוצע בצעד קטן". ה-z שחישבנו מתרגם כל מספר לשפה אחת: "כמה סטיות-תקן". כשמספר מתורגם ל-z=2 — 97.7% מהאנשים מתחתיו. זה כבר אומר משהו.