חישוב רווח סמך לפרמטר
נסביר על חישוב רווח סמך לפרמטר ובאותו אופן ניתן לחשב רווח סמך גם ל- .
אנו מעוניינים לגלות את האמיתי, אך אנו יכולים רק לאמוד אותו ולקבל את האומדן, .
אנחנו מעוניינים להגדיר את תחום המספרים שבו אנו צופים שיהיה האמיתי. תחום זה יהיה סימטרי סביב , כלומר יהיה בדיוק באמצע התחום.
ככל שנגדיל את התחום כך רמת הבטחון שלנו ש- האמיתי נמצא בתחום תגדל.
מקובל לחשב רווחי סמך ברמת בטחון של 95%.
כדי לחשב רווח סמך ל- יש צורך בשני נתונים מטבלת האמידה (שחושבה ע"י אקסל או ע"י כל תוכנה מתאימה אחרת).
- הפרמטר הנאמד –
- סטיית התקן של הפרמטר הנאמד –
חישוב קל של רווח הסמך (תוך ויתור מסויים על הדיוק)
כדי לחשב את רווח הסמך באופן מהיר ופשוט (אך לא כל כך מדוייק) משתמשים בנוסחה הבאה:
הסבר: כדי לחשב את הגבול התחתון של רווח הסמך, יש להכפיל את סטיית התקן ב- 2, ולהפחית את התוצאה מ- . כדי לחשב את הגבול העליון של רווח הסמך, יש להכפיל את סטיית התקן ב- 2, ולהוסיף את התוצאה ל- .
דוגמא
באמידה התקבל כי , ו- .
הגבול התחתון של רווח הסמך יהיה:
הגבול העליון של רווח הסמך יהיה:
לסיכום: לפי התוצאות של האמידה ניתן לקבוע ברמת בטחון של 95% ש- האמיתי נמצא בתחום שבין 3.3 לבין 5.7.
דוגמא נוספת
אם בדוגמת החצילים נקבל באמצעות חישוב באקסל ש:
אזי בהסתברות של 95%, האמיתי נמצא בין 2.84 ק"ג ו – 3.16 ק"ג.
חישוב מדוייק של רווח הסמך (תוך שימוש בטבלה t)
כדי לחשב את רווח הסמך באופן יותר מדוייק עלינו להכפיל את סטיית התקן במקום ב- 2 במספר אחר שנסמנו ב- t.
הנוסחא לרווח הסמך תהיה:
כיצד יודעים מהו t?
t מתקבל מטבלת t והוא משתנה לפי גודל המדגם.
| ערך ה-t | מספר דרגות החופש |
|---|---|
| 12.709 | 1 |
| 4.303 | 2 |
| 3.182 | 3 |
| 2.776 | 4 |
| 2.571 | 5 |
| 2.447 | 6 |
| 2.365 | 7 |
| 2.306 | 8 |
| 2.262 | 9 |
| 2.228 | 10 |
| 2.201 | 11 |
| 2.179 | 12 |
| 2.160 | 13 |
| 2.145 | 14 |
| 2.131 | 15 |
| 2.120 | 16 |
| 2.110 | 17 |
| 2.101 | 18 |
| 2.093 | 19 |
| 2.086 | 20 |
| 2.080 | 21 |
| 2.074 | 22 |
| 2.069 | 23 |
| 2.064 | 24 |
| 2.060 | 25 |
| 2.056 | 26 |
| 2.052 | 27 |
| 2.048 | 28 |
| 2.045 | 29 |
| 2.042 | 30 |
| 1.960 | יותר מ-30 |
בטבלת t 2 טורים:
טור 1 – מספר דרגות החופש (בקיצור: ד"ח).
טור 2 – ערך ה- t.
לכל דרגת חופש (טור 1) מתאים ערך t שונה (טור 2).
מספר דרגות החופש הוא הפער בין מספר התצפיות במדגם (סימול: n) לבין מספר הפרמטרים במודל (סימון: k).
בדוגמת החצילים, המודל מבוסס על קו ישר שמכיל 2 פרמטרים: ו- ,
ובמדגם יש 21 תצפיות. לפיכך, מספר דרגות החופש הוא .
ערך ה- t המתאים ל- 19 ד"ח הוא 2.093.
אם קיבלנו בדוגמת החצילים באמצעות חישוב באקסל ש:
הגבול התחתון של רווח הסמך יהיה:
הגבול העליון של רווח הסמך יהיה:
לסיכום: לפי התוצאות של האמידה ניתן לקבוע ברמת בטחון של 95% ש- האמיתי נמצא בתחום שבין 2.83256 לבין 3.16744.
רווח הסמך של בשיטה המדוייקת יותר (שימוש ב- t) הוא בין 2.83256ק"ג לבין 3.16744ק"ג, לעומת רווח הסמך שקיבלנו בדרך הראשונה (הכפלה ב- 2), שהוא בין 2.84ק"ג לבין 3.16ק"ג. ההבדל איננו גדול.
בדיקת מובהקות באמצעות רווח סמך
פעמים רבות ישאלו אותנו: "האם האומד שקיבלנו הוא מובהק?"
משמעות השאלה היא: "האם יתכן (בסבירות מספקת) ש- האמיתי הוא 0?"
אם התשובה לשאלה זו היא "כן" (כלומר, יתכן ש- ), אז המודל שלנו לא נכון.
הסבר: המודל שלנו הוא , כאשר מייצגת את מידת ההשפעה של X על Y. אם , אז X כלל לא משפיע על Y, ו-X איננו משתנה מסביר. במקרה כזה מומלץ למצוא משתנה מסביר אחר.
כיצד נענה על שאלה זו באמצעות רווח הסמך?
אם המספר 0 נמצא בתוך רווח הסמך של , הרי שיתכן ש-, והאומד איננו מובהק.
אם המספר 0 לא נמצא בתוך רווח הסמך של , האומד מובהק.
דוגמא
באמידה התקבל כי , ו-.
האם האומד מובהק?
פתרון
נחשב את רווח הסמך בדרך הפשוטה יותר:
הגבול התחתון של רווח הסמך יהיה:
הגבול העליון של רווח הסמך יהיה:
רווח הסמך הוא בין לבין 2.9. המספר 0 נמצא בתחום של רווח הסמך ולכן האומד איננו מובהק.