מהי נגזרת ראשונה? הסבר ודוגמאות למתחילים

הנגזרת הראשונה היא כלי בחשבון הדיפרנציאלי שמאפשר לנו להבין את "קצב השינוי" של פונקציה בנקודה מסוימת. אפשר לחשוב עליה כעל מהירות השינוי של הפונקציה. אם נסתכל על גרף של פונקציה, הנגזרת הראשונה בנקודה כלשהי היא השיפוע של הקו המשיק לגרף באותה נקודה.

נגזרת היא פונקציה ככל פונקציה וגם ממנה אשר להפיק נגזרת. כאשר מפיקים נגזרת מנגזרת, מכנים את האחת נגזרת ראשונה ואת האחרונה נגזרת שנייה. שרשרת הפונקציות וסימולן הוא כדלקמן:

• פונקציה מקורית: `f(x)`
• נגזרת ראשונה: `f'(x)`
• נגזרת שנייה: `f"(x)`

המשמעות של הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה נותנת ביטוי למגמת השינויים שחלים בשיפוע פונקציית המקור. כאשר הנגזרת השנייה חיובית, שיפועי פונקציית המקור הולכים וגדלים. קצב הגידול בשיפועים הוא בהתאם לתוצאה המתקבלת. אם התוצאה היא 2, אזי השיפוע גדל ב-2 עם כל צעד נוסף.

למה משמשת הנגזרת הראשונה?

1. למדוד את קצב השינוי
   הנגזרת הראשונה מספרת לנו כמה הפונקציה "עולה" או "יורדת" בכל נקודה. אם הנגזרת חיובית, הפונקציה עולה בנקודה. אם היא שלילית, הפונקציה יורדת.
2. למצוא נקודות מקסימום ומינימום
   כאשר הנגזרת הראשונה מתאפסת בנקודה מסוימת, כלומר הערך שלה הוא אפס, זה יכול לרמוז שהגענו לנקודת קיצון – מקסימום (שיא) או מינימום (שפל) באותה נקודה. כדי לדעת אם זו נקודת מקסימום או מינימום, נשתמש בנגזרת השנייה.
   
3. לזהות מתי הפונקציה קבועה או משתנה בקצב קבוע
   אם הנגזרת הראשונה שווה לאפס לאורך תחום מסוים, זה אומר שהפונקציה קבועה שם. אם היא קבועה בערך מסוים (למשל 5), זה אומר שהפונקציה עולה בקצב קבוע של 5.
   
4. קצב שינוי משתנה – פונקציה ריבועית

   במקרה של פונקציה ריבועית כמו \( y = x^2 \), קצב השינוי (כלומר, השיפוע) תלוי בערך של \( x \): ככל ש-\( x \) גדול יותר, השיפוע גדל. פונקציות כאלו מדגימות שינוי בקצב עולה או יורד.

ניעזר בדוגמאות – דוגמה בליווי תרשים 3.4

• פונקציה מקורית: `f(x)=x^2`
• נגזרת ראשונה: `f'(x)=2x`
• נגזרת שנייה: `f"(x)=2`

המשמעות: כאשר `f"(x)=2`, שיפוע הפונקציה המקורית גדל ב-2 יחידות בכל פסיעה.

• כאשר x=0, השיפוע הוא 0.
• כאשר x=1, השיפוע הוא 2.
• כאשר x=2, השיפוע הוא 4.
• כאשר x=3, השיפוע הוא 6.

גם בתחום שבו הפונקציה יורדת (שיפוע שלילי), השיפועים גדלים ב-2 מפסיעה לפסיעה. למשל:

• כאשר x=3, השיפוע הוא -6.
• כאשר x=-2, השיפוע הוא -4.
• כאשר x=-1, השיפוע הוא -2.
• כאשר x=0, השיפוע הוא 0.

דוגמה בליווי תרשים 3.5

• פונקציה מקורית: `f(x)=-x^2`
• נגזרת ראשונה: `f'(x)=-2x`
• נגזרת שנייה: `f"(x)=-2`

המשמעות: שיפועי הפונקציה המקורית קטנים ב-2 בכל פסיעה.

המידע המתקבל מהנגזרת השנייה – הרחבה

כאשר הנגזרת השנייה חיובית בערך x כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קמורה באותו ערך x. כמו כן, כאשר הנגזרת השנייה חיובית לאורכו של קטע כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קמורה באותו קטע.

כאשר הנגזרת השנייה שלילית בערך x כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קעורה באותו ערך x. כמו כן, כאשר הנגזרת השנייה שלילית לאורך קטע כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קעורה באותו קטע.

השימוש המעשי בנגזרת השנייה

רקע

בעזרת הנגזרת השנייה אנו יכולים לקבוע גם ללא שימוש בתרשימים, לאיזה סוגי עקומים משתייכת נקודה ששיפועה 0. יש לכך חשיבות רבה. אם היא משתייכת לעקום קמור, הנקודה אמורה להיות נקודת מינימום. אם היא משתייכת לעקום קעור, הנקודה אמורה להיות נקודת מקסימום. אם היא נמצאת בתווך של 2 סוגי עקומים, היא נקודת פיתול. את הנקודה שבה השיפוע 0 נכנה נקודת ה-0.

בדיקת ההשתייכות, והמסקנות

אם הנגזרת השנייה חיובית ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת ה-0 משני צידיה, נקודת ה-0 משתייכת לעקום קמור ומהווה לפיכך נקודת מינימום. אם הנגזרת השנייה שלילית ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת ה-0, נקודת ה-0 משתייכת לעקום קעור ומהווה לפיכך נקודת מקסימום. אם הנגזרת השנייה בנקודה סמוכה אחת חיובית ובשנייה שלילית, נקודת ה-0 נמצאת בין 2 סוגי עקומים ומהווה לפיכך נקודת פיתול.

דוגמאות להמחשה

רק באמצעות דוגמאות ניתן לעכל בהדרגה את התרומה של הנגזרת השנייה.

דוגמה 1

1. הדוגמה מתייחסת לפונקציה מקורית שצורתה `f(x)=x^2-6x`.
2. נניח שאת התוואי שלה אנו לא יודעים.
3. באמצעות הנגזרת הראשונה אנו יכולים לוודא אם ישנן בתוואי הפונקציה נקודות שבהן השיפוע = 0 והיכן (באיזה ערכים של x הן נמצאות). צורת הנגזרת היא: `f'(x)=2x-6`. שיפוע 0 מתקבל רק כאשר x=3. כלומר, כאשר 0=2x-6 והתוצאה 3=x. והמשמעות, כאשר x=3 השיפוע של תוואי הפונקציה הוא 0.
4. היות ואנו לא מכירים את תוואי הפונקציה, אנו לא יודעים אם מדובר בנקודת מקסימום או נקודת מינימום או נקודת פיתול.
5. כדי לוודא איזה מ-3 האפשרויות היא הנכונה עלינו למצוא את הנגזרת השנייה. צורת הנגזרת השנייה היא `f"(x)=2`. מתוך התוצאה אנו לומדים שהנגזרת השנייה חיובית (2) לכל אורך הפונקציה המקורית, שמשמעותה, השיפועים בפונקציה המקורית עולים ב-2 עם כל פסיעה. ברור מכאן, שגם ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת האפס, הנגזרת השנייה חיובית ושווה ל-2.

נניח שהנקודות הסמוכות מתייחסות לערכי x של 2.9 ו-3.1. ב-2 הערכים הללו הנגזרת השנייה חיובית ולפיכך נקודת ה-0 היא נקודת קיצון מינימלית.

דוגמה 2

הפונקציה המקורית: `f(x)=4+5x`
נגזרת ראשונה: `f'(x)=5`

בדוגמה זו אין בפונקציה נקודה שבה השיפוע 0. אנו כמובן יודעים שמדובר בפונקציה שמייצגת קו ישר ששיפועו 5 לכל אורכו ולפיכך אין בו נקודה ששיפועה 0.

דוגמה 3

• הפונקציה המקורית: `f(x)=-3x^2-2x`
• נגזרת ראשונה: `f'(x)=-6x-2`
• נגזרת שנייה: `f"(x)=-6`

מתוך התוצאה אנו למדים שהנגזרת השנייה שלילית לכל אורך הפונקציה המקורית, שמשמעותה, השיפועים בפונקציה המקורית יורדים ב-6 עם כל פסיעה. ברור מכאן, שגם ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת האפס, הנגזרת השנייה שלילית ומכאן שמדובר בנקודת קיצון מקסימלית.

**כללי גזירה נוספים**

במקרים רבים, הפונקציה שאנחנו רוצים לגזור מורכבת מפעולות שונות בין כמה פונקציות – כמו כפל, חילוק או הרכבה של פונקציות. עבור מקרים אלו קיימים כללי גזירה מיוחדים, מעבר לכלל החזקה הבסיסי.

1. **כלל המכפלה**

כאשר יש לנו פונקציה שהיא מכפלה של שתי פונקציות אחרות, \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \), נשתמש בכלל המכפלה כדי לגזור אותה. כלל המכפלה אומר:

\( f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \)

כלומר, נגזרת של מכפלת שתי פונקציות היא סכום של שתי המכפלות: נגזרת הפונקציה הראשונה כפול הפונקציה השנייה, ועוד הפונקציה הראשונה כפול נגזרת הפונקציה השנייה.

**דוגמה:**

נניח ש- \( f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \). כדי למצוא את \( f'(x) \), נשתמש בכלל המכפלה:

– נבחר \( u(x) = x^2 \) ו- \( v(x) = \sin(x) \).
– נגזור כל פונקציה בנפרד: \( u'(x) = 2x \) ו- \( v'(x) = \cos(x) \).

נציב לפי כלל המכפלה:

\( f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x) \)

2. **כלל המנה**

כאשר יש לנו פונקציה שהיא מנה של שתי פונקציות, \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \), נשתמש בכלל המנה כדי לגזור אותה. כלל המנה אומר:

\( f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} \)

כאן, נגזרת של מנה של שתי פונקציות היא הפרש של מכפלות הנגזרות (בדומה לכלל המכפלה), חלקי הריבוע של הפונקציה במכנה.

**דוגמה:**

נניח ש- \( f(x) = \frac{x^2}{\cos(x)} \). נשתמש בכלל המנה:

– נבחר \( u(x) = x^2 \) ו- \( v(x) = \cos(x) \).
– נגזור כל פונקציה בנפרד: \( u'(x) = 2x \) ו- \( v'(x) = -\sin(x) \).

נציב לפי כלל המנה:

\( f'(x) = \frac{2x \cdot \cos(x) – x^2 \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{2x \cdot \cos(x) + x^2 \cdot \sin(x)}{\cos^2(x)} \)

3. **כלל השרשרת**

כאשר יש לנו פונקציה מורכבת שהיא הרכבה של פונקציות, כלומר \( f(x) = g(h(x)) \), נשתמש בכלל השרשרת כדי לגזור אותה. כלל השרשרת אומר:

\( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)

כלומר, נגזור את הפונקציה החיצונית \( g \) בהתאם לערך הפנימי \( h \), ואז נכפיל בנגזרת הפונקציה הפנימית.

**דוגמה:**

נניח ש- \( f(x) = \sin(x^2) \). כדי למצוא את \( f'(x) \), נשתמש בכלל השרשרת:

– נבחר \( g(x) = \sin(x) \) ו- \( h(x) = x^2 \).
– נגזור כל פונקציה בנפרד: \( g'(x) = \cos(x) \) ו- \( h'(x) = 2x \).

נציב לפי כלל השרשרת:

\( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cdot \cos(x^2) \)