בתרשים 3.2 מוצגת הפונקציה:
- ( f(x)=frac{1}{2}x^2-5x+c ) (ה-c תלוי בנקודת חיתוך עם y)
- ומתחתיה הנגזרת שלה: ( f'(x)=x-5 )
בתרשים 3.3 מוצגת הפונקציה:
- ( f(x)=frac{1}{2}x^2-5x+c ) (ה-c תלוי בנקודת חיתוך עם y)
- ומתחתיה פונקציית הנגזרת שלה: ( f'(x)=-x+5 )
ב-2 התרשימים, ציר ה-x של פונקציית הנגזרת זהה לזה של הפונקציה המקורית.
המספרים לצד הנקודות בפונקציה המקורית מציינים את שיפוע הפונקציה באותן נקודות, כפי שהתקבלו מתוך הנגזרת שמתחתיה. שכן, תוצאת הנגזרת בערך-x כלשהו נוקב בשיפוע הפונקציה באותו ערך של x.
תרשים 3.2
לדוגמה, בתרשים 3.3:
- כאשר x=3, תוצאת הנגזרת היא 2 (בנקודה B בנגזרת, ( f'(-3)=-3+5 )) וזה השיפוע של הפונקציה המקורית באותו ערך (נקודה B בפונקציה).
- כאשר x=5, תוצאת הנגזרת היא 0 (נקודה D בנגזרת) וזה השיפוע של הפונקציה המקורית באותו ערך (נקודה D בפונקציה).
- כאשר x=7, תוצאת הנגזרת היא -2 (נקודה F בנגזרת) וזה השיפוע של הפונקציה המקורית באותו ערך (נקודה F בפונקציה).
תרשים 3.3
נגזרת עולה ונגזרת יורדת
הנגזרת בתרשים 3.2 עולה, והמשמעות: השיפועים של הפונקציה הולכים ועולים (עקום קמור).
הנגזרת בתרשים 3.3 יורדת. והמשמעות: השיפועים של הפונקציה הולכים ויורדים (עקום קעור).
שימושי הנגזרת
השימוש העיקרי בנגזרת הוא למצוא את הנקודות על הפונקציה שהשיפוע בהן הוא 0.
נקודות אלו יכולות להיות משני סוגים:
- נקודות קיצון – נקודות קיצון מקסימלי או נקודות קיצון מינימלי.
- נקודות פיתול
הן בתרשים 3.2 והן בתרשים 3.3, כאשר x=5 השיפוע = 0.