בפרק הזה
הפתיחה
בעל-עסק קטן שמחלק תקציב פרסום בין גוגל לפייסבוק יודע דבר שהמתמטיקה תפרמל עכשיו: הוא לא יכול להגדיל את ההשקעה בגוגל בלי להקטין את פייסבוק — שניהם יוצאים מאותו תקציב. ומה שמביא אותו הכי קרוב ליעד — מקסימום-לידים בתקציב נתון — הוא בדיוק הבעיה שהפרק הזה פותר.
משק-בית ישראלי שמחלק הכנסה בין חיסכון לצריכה שוכן באותה מסגרת. מנהל השקעות שמחלק תיק בין מניות לאג"ח — אותה מסגרת. מפעל שמחליט כמה כוח-עבודה וכמה מכונות לתפעל — אותה מסגרת. כולם פותרים אופטימיזציה תחת אילוץ: למצוא את נקודת-הקיצון הטובה ביותר, בגבולות הנתונים.
הוק-wow: כל החלטה כלכלית — כמה לעבוד, כמה לחסוך, כמה להשקיע בכל ערוץ — היא חיפוש אחר נקודת-קיצון תחת אילוץ-תקציב. הפרק הזה הוא ה"מנוע" שמאחורי כל כלי-תכנון פיננסי.
פונקציה של שני משתנים: הגדרה
פונקציה של שני משתנים היא חוק שמקשר לכל זוג ערכי-כניסה (x, y) תוצאה אחת ויחידה z:
z = f(x, y)
x ו-y הם המשתנים הבלתי-תלויים, z הוא המשתנה התלוי.
דוגמה ישראלית ממשית — פדיון ירקן:
ירקן ישראלי מוכר שני סוגי פירות: תפוחים ב-6 ₪ לק"ג ובננות ב-4 ₪ לק"ג. אם מכר x ק"ג תפוחים ו-y ק"ג בננות, הפדיון הוא:
z = f(x, y) = 6x + 4y
עבור x = 10, y = 15:
z = 6·10 + 4·15 = 60 + 60 = 120 ₪.
אימות: 10 ק"ג × 6 ₪ = 60 ₪. 15 ק"ג × 4 ₪ = 60 ₪. סה"כ = 120 ₪. ✓
זו פונקציה לינארית בשני משתנים — ישר הפך למישור במרחב התלת-ממדי.
ייצוג גרפי: ממישור למרחב
בעוד פונקציה y = f(x) מצוירת כגרף דו-ממדי (עקומה), פונקציה z = f(x, y) מצוירת כמשטח (surface) במרחב תלת-ממדי. כל נקודה (x, y) על הרצפה מקנה גובה z — יחד הם בונים צורה תלת-ממדית.
הצורות הנפוצות:
– מישור (פונקציה לינארית): z = ax + by + c.
– פרבולואיד (חזקות-שנייה): z = ax² + by² — כגון כלי-קיבול.
– צורת-אוזן-סוס (saddle): z = x² − y² — יש נקודת-מינימום בכיוון אחד ומקסימום בכיוון שני.
קווי-גובה (מפה טופוגרפית)
כשקשה לצייר משטח תלת-ממדי, משתמשים בקווי-גובה (level curves / contours) — תחבולה שאתם בטח מכירים ממפת-טיולים: הקו מחבר את כל הנקודות שבהן הפונקציה שווה לקבוע נתון.
f(x, y) = c (קבוע)
כל קו מייצג "גובה" אחר. ריכוז קווים = עלייה תלולה. ריווח בין קווים = שטח שטוח.
כלכלית: קווי-גובה של פונקציית-תועלת נקראים עקומות-אדישות (indifference curves) — כל הנקודות על אותו קו מניבות את אותה תועלת. קווי-גובה של פונקציית-ייצור נקראים איזוקוואנטות — כל ההרכבות של כוח-עבודה+מכונות שמייצרות אותה כמות. שניהם כלים מרכזיים בכלכלה מיקרו.
נגזרות חלקיות
רעיון: מחזיקים משתנה אחד קבוע וגוזרים לפי האחר. כאילו שוכחים רגע שיש שני משתנים ועובדים עם אחד בלבד.
נגזרת חלקית לפי x:
∂f/∂x = f_x(x, y) = lim[Δx→0] [f(x+Δx, y) − f(x, y)] / Δx
נגזרת חלקית לפי y:
∂f/∂y = f_y(x, y) = lim[Δy→0] [f(x, y+Δy) − f(x, y)] / Δy
כלל-חישוב: לגזור לפי x — מתייחסים ל-y כקבוע ומשתמשים בכל חוקי-הגזירה הרגילים. ולהיפך.
דוגמה — מפעל-כסאות:
מפעל מייצר כסאות מעץ. עלות הייצור תלויה בכמות הכסאות x ובמספר העובדים y:
C(x, y) = 3x² + 2xy + y²
נגזרת חלקית לפי x (כמה עולה יחידת-ייצור נוספת, כשמספר העובדים קבוע):
∂C/∂x = 6x + 2y
נגזרת חלקית לפי y (כמה עולה עובד נוסף, כשהייצור קבוע):
∂C/∂y = 2x + 2y
פירוש כלכלי: בנקודה x=10, y=5:
∂C/∂x = 6·10 + 2·5 = 70. כלומר: כסא-ייצור נוסף מוסיף 70 יחידות לעלות.
∂C/∂y = 2·10 + 2·5 = 30. עובד נוסף מוסיף 30 יחידות לעלות.
אימות ∂C/∂x: גוזרים 3x² לפי x = 6x; 2xy לפי x = 2y (y קבוע); y² לפי x = 0. סה"כ: 6x + 2y. ✓
נגזרות חלקיות מסדר שני
בדיוק כמו בפרק הנגזרת, אפשר לגזור שוב. יש ארבע נגזרות שנייה:
- f_{xx} = ∂²f/∂x² — גוזרים פעמיים לפי x.
- f_{yy} = ∂²f/∂y² — גוזרים פעמיים לפי y.
- f_{xy} = ∂²f/∂x∂y — גוזרים קודם לפי y, אחר-כך לפי x.
- f_{yx} = ∂²f/∂y∂x — גוזרים קודם לפי x, אחר-כך לפי y.
משפט שוורץ: אם f_xy ו-f_yx רציפות — הן שוות: f_{xy} = f_{yx}. בפועל, ברוב הפונקציות הכלכליות הסדר לא משנה.
דוגמה (המשך מפעל-כסאות):
C(x, y) = 3x² + 2xy + y²
C_{xx} = 6 (עלות-שולית של ייצור עולה בקצב קבוע = 6 לכל יחידת-ייצור נוספת)
C_{yy} = 2
C_{xy} = 2 (כשמוסיפים עובד, עלות-היחידה-הנוספת עולה ב-2)
נקודות-קיצון בשני משתנים
תנאי הכרחי לנקודת-קיצון (נקודה קריטית):
∂f/∂x = 0 ו- ∂f/∂y = 0
מוצאים את הנקודות על-ידי פתרון מערכת-שתי-המשוואות.
מבחן-הנגזרת השנייה: מגדירים את הדטרמיננטה של מטריצת ה-Hessian:
D = f_{xx} · f_{yy} − (f_{xy})²
- D > 0 ו-f_{xx} > 0: מינימום מקומי.
- D > 0 ו-f_{xx} < 0: מקסימום מקומי.
- D < 0: נקודת-אוזן-סוס (saddle point) — לא מקסימום ולא מינימום.
- D = 0: מסקנה לא מוכרחת, נדרשת בדיקה נוספת.
דוגמה — מקסום-רווח:
מפעל מייצר שני מוצרים. פונקציית-הרווח (₪):
π(x, y) = −2x² − y² + 4x + 6y − 1
כאשר x = כמות מוצר א', y = כמות מוצר ב'.
שלב 1 — תנאי ראשון:
∂π/∂x = −4x + 4 = 0 → x = 1
∂π/∂y = −2y + 6 = 0 → y = 3
נקודה קריטית: (1, 3).
שלב 2 — נגזרות שניות:
π_{xx} = −4, π_{yy} = −2, π_{xy} = 0.
D = (−4)(−2) − (0)² = 8 > 0. ו-π_{xx} = −4 < 0 → מקסימום מקומי. ✓
שלב 3 — ערך הרווח המקסימלי:
π(1, 3) = −2·1 − 9 + 4 + 18 − 1 = −2 − 9 + 4 + 18 − 1 = 10 ₪.
אימות חישובי: −2(1)²=−2, −(3)²=−9, 4(1)=4, 6(3)=18, −1=−1. סה"כ: −2−9+4+18−1 = 10. ✓
מה זה אומר עבורכם. בפועל, מנהל שמשתמש ב"מבחן שוליים" — "כמה רווח מביאה היחידה האחרונה של כל מוצר?" — מיישם בדיוק את התנאי הזה. כשהרווח-השולי של מוצר-א' שווה לרווח-השולי של מוצר-ב' (שניהם אפס בנקודת-המקסימום) — הגענו לאופטימום.
פונקציות ייצור ועלות
פונקציית ייצור: Q = f(K, L) — כמות-תפוקה כפונקציה של הון K (מכונות) ועבודה L (עובדים).
נגזרת חלקית של פונקציית-ייצור = תפוקה שולית:
– ∂Q/∂L = תפוקה שולית של עבודה (כמה תפוקה נוספת מביא עובד נוסף).
– ∂Q/∂K = תפוקה שולית של הון (כמה תפוקה נוספת מביאה מכונה נוספת).
חוק-תשואות-שולית-פוחתות: בדרך כלל ∂²Q/∂L² < 0 — כל עובד נוסף מוסיף פחות מהעובד שלפניו (כי יש רק כך-וכך מכונות לחלוק).
דוגמה — פדיון מפעל:
P(x, y) = 100x + 80y − 2x² − 3y² − xy
x = כמות מוצר א', y = כמות מוצר ב'.
∂P/∂x = 100 − 4x − y
∂P/∂y = 80 − 6y − x
לנקודת-קיצון:
100 − 4x − y = 0 … (I)
80 − x − 6y = 0 … (II)
מ-(II): x = 80 − 6y. מציבים ב-(I): 100 − 4(80 − 6y) − y = 0 → 100 − 320 + 24y − y = 0 → 23y = 220 → y = 220/23 ≈ 9.57.
x = 80 − 6·(220/23) = 80 − 1320/23 = (1840−1320)/23 = 520/23 ≈ 22.6.
אימות מעוגל (x=22.6, y=9.57): ∂P/∂x ≈ 100−4·22.6−9.57 = 100−90.4−9.57 ≈ 0. ✓
אופטימיזציה תחת אילוץ: שיטת-לגרנז'
הבעיות הכלכליות-האמיתיות מגיעות עם תקציב: לא "מצא מקסימום" סתם — אלא "מצא מקסימום בהינתן שהוצאות לא עולות על סכום מסוים". זו אופטימיזציה תחת אילוץ.
דוגמה ישראלית — הקצאת-תקציב שיווקי:
חברה ישראלית מחלקת תקציב שיווק של 60,000 ₪ בין גוגל (x ₪) לפייסבוק (y ₪). פונקציית-הכנסות (בהחלטות לידים):
R(x, y) = 5√x · √y
האילוץ: x + y = 60,000.
שיטת-לגרנז': מגדירים פונקציית לגרנז':
Λ(x, y, λ) = f(x, y) − λ·[g(x, y) − c]
כאשר g(x, y) = c הוא האילוץ. λ הוא מכפיל-לגרנז'.
בדוגמה: g(x, y) = x + y, c = 60,000.
Λ = 5√x·√y − λ(x + y − 60,000)
תנאים ראשונים:
∂Λ/∂x = 5·(1/(2√x))·√y − λ = 0 → 5√y / (2√x) = λ … (I)
∂Λ/∂y = 5·√x·(1/(2√y)) − λ = 0 → 5√x / (2√y) = λ … (II)
∂Λ/∂λ = −(x + y − 60,000) = 0 → x + y = 60,000 … (III)
משוואות (I) ו-(II) שוות:
5√y / (2√x) = 5√x / (2√y) → √y / √x = √x / √y → y/x = x/y → y² = x² → y = x (שניהם חיוביים).
מציבים ב-(III): x + x = 60,000 → x = 30,000, y = 30,000.
פירוש: התקציב האופטימלי מחלק שווה בין שני הערוצים. זו תוצאה קלאסית: כשפונקציית-הרווח סמטרית בx וy, ואילוץ-התקציב גם הוא סמטרי — האופטימום שווה. אם הפונקציה הייתה שונה (כשגוגל מניב פי-1.5 יותר), האופטימום היה כבר לא 50-50.
R(30,000, 30,000) = 5√30,000·√30,000 = 5·30,000 = 150,000 ₪ הכנסות. ✓
המכפיל λ ופירושו: מ-(I): λ = 5√30,000 / (2√30,000) = 5/2 = 2.5. פירוש: כל שקל נוסף לתקציב מגדיל את ההכנסות ב-2.5 ₪. זהו ה"שווי הצל" של האילוץ — כמה שווה להשקיע שקל נוסף בפרסום.
קו-התקציב וסל-גורמי-ייצור
קו-התקציב מתאר את כל השילובים של שני גורמים שניתן לרכוש בתקציב B:
p₁·x + p₂·y = B
כאשר p₁, p₂ הם מחירי-הגורמים. ב-2 ממדים, זה ישר עם שיפוע −p₁/p₂.
עקומת-האיזוקוואנט (Q = קבוע) מתארת את כל הרכבות הגורמים שמניבות את אותה תפוקה. האופטימום שבו היצרן פועל הוא נקודת-הנגיעה בין האיזוקוואנט לקו-התקציב — אותה נקודה שמצאנו בשיטת-לגרנז'.
תנאי-האופטימום: בנקודת-האופטימום, שיפוע האיזוקוואנט = שיפוע קו-התקציב.
שיפוע האיזוקוואנט = −(∂Q/∂L)/(∂Q/∂K) = −MR_L/MR_K (יחס תפוקות-שוליות).
שיפוע קו-התקציב = −p_L/p_K.
תנאי: MR_L/MR_K = p_L/p_K, כלומר: MR_L/p_L = MR_K/p_K.
בלשון כלכלית: "תפוקה-שולית לכל שקל" זהה בכל גורם-ייצור. אם גורם אחד מניב יותר לכל שקל — כדאי להמיר לעברו.
סיכום
פונקציה של שני משתנים מתארת מצב שבו תוצאה תלויה בשני גורמים בו-זמנית. נגזרות-חלקיות מודדות את השפעת כל גורם בנפרד, כשהשני קבוע. נקודות-קיצון מוצאות מתנאי ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0, ואמינותן נבדקת במבחן-ה-Hessian. אופטימיזציה-תחת-אילוץ פותרים בשיטת-לגרנז' — ומכפיל-לגרנז' מגלה כמה שווה הקלת-האילוץ בשקל. כל כלי-קבלת-ההחלטות הכלכלי — מתכנון-תקציב ועד תפעול-מפעל — שוכן כאן.
אופטימיזציה תחת אילוץ — שתי דרכים, אותה תשובה
עד כאן פתרנו בעיות קיצון תחת אילוץ בשיטה אחת: כופלי לגראנז' (Lagrange). היא חזקה, היא כללית, והיא עובדת תמיד. אבל לרוב בעיות-האילוץ הכלכליות יש דרך שנייה — ולעיתים קרובות מהירה יותר. נראה את שתיהן על אותה דוגמה בדיוק, כדי שתראו שחור-על-לבן שהן מובילות לאותה נקודה.
בעל מפעל קומקומים מייצר באמצעות פועלים ומכונות. פונקציית הייצור החודשית שלו, כלומר כמה קומקומים יוצאים מהפס בכל הרכב של פועלים ומכונות, היא:
כאשר x מספר הפועלים ו-y מספר המכונות. שכר פועל הוא 4,000 ש"ח לחודש, תפעול מכונה 1,000 ש"ח, ותקציב ההוצאות חסום ב-40,000 ש"ח. האילוץ — כלומר כל ההרכבים שעולים בדיוק 40,000 ש"ח — נכתב כך:
שיטת ההצבה — כשאפשר לבודד משתנה, הבעיה דו-המשתנית מתכווצת לחד-משתנית
הרעיון פשוט ונקי: אם האילוץ מאפשר לבודד משתנה אחד, אנחנו מציבים אותו בתוך פונקציית הייצור — וכל הבעיה הופכת לפונקציה של משתנה אחד, בדיוק כמו בפרק הנגזרת. מבודדים את y מקו התקציב (מחלקים את האילוץ ב-1,000):
וכעת מציבים את החלופה הזו במקום y בתוך פונקציית הייצור:
שימו לב מה קרה: פונקציית הייצור הדו-משתנית הצטמצמה לפונקציה של x בלבד. זו כבר בעיה מוכרת — מציאת קיצון של פרבולה. גוזרים, ומשווים את הנגזרת לאפס:
בודקים שזו אכן נקודת מקסימום בעזרת הנגזרת השנייה:
הנגזרת השנייה שלילית לכל אורך הפונקציה, כלומר השיפועים הולכים וקטנים — הפרבולה קעורה, והנקודה שמצאנו היא מקסימום. כמות הקומקומים בנקודה הזו:
נשאר רק למצוא כמה מכונות. את y מקבלים מקו התקציב — מציבים בו x = 5:
המסקנה: המפעל ממקסם ייצור — ולכן גם רווח, בתקציב נתון — עם 5 פועלים ו-20 מכונות. בנקודה הזו הוא מייצר 2,000 קומקומים, פדיון של 200,000 ש"ח (2,000 כפול 100 ש"ח לקומקום), הוצאות של 40,000 ש"ח, ורווח של 160,000 ש"ח לחודש.
אותה דוגמה בדיוק — בשיטת לגראנז'
עכשיו נפתור את אותה בעיה ממש בכופלי לגראנז', ונראה שהתוצאה זהה. בונים את פונקציית לגראנז':
גוזרים לפי כל משתנה ומשווים לאפס. שתי הנגזרות החלקיות הראשונות:
משווים בין שני הביטויים ל-lambda — שניהם שווים לאותו כופל, ולכן שווים זה לזה:
מציבים את היחס הזה בקו התקציב (בצורתו המקוצרת 4x + y = 40):
בדיוק אותה נקודה: 5 פועלים, 20 מכונות. שתי השיטות מסכימות, כי שתיהן מחפשות את אותו דבר — את ההרכב היחיד שבו אי-אפשר לשפר את הייצור בלי לחרוג מהתקציב.
אז מתי משתמשים במה? כשהאילוץ פשוט ואפשר לבודד ממנו משתנה אחד בקלות — כמו כאן, קו תקציב ישר — שיטת ההצבה לרוב קצרה ומהירה יותר, כי היא מורידה אותך מיד לבעיה חד-משתנית. כשהאילוץ מסובך, או כשיש כמה אילוצים, או כשערך הכופל lambda עצמו מעניין אותך כלכלית (הוא מודד כמה תרוויח מכל שקל נוסף בתקציב) — לגראנז' הוא הכלי.
הפתרון הפינתי — כשהאופטימום יושב על הגבול, לא בפנים
בכל הדוגמאות עד כה הקיצון נמצא "בתוך" התחום: נקודה שבה הנגזרת מתאפסת. אבל בכלכלה יש מקרה חשוב ומאוד מציאותי שבו זה לא קורה — והוא מפיל לא מעט תלמידים, כי לגראנז' לבדו פשוט לא מאתר אותו. נחזור למפעל הקומקומים שנה אחרי.
פונקציית הייצור השתפרה והפכה ללינארית:
שאר הנתונים — שכר, עלות מכונה, מחיר קומקום, תקציב — לא השתנו, ולכן קו התקציב נשאר y = 40 – 4x. מציבים, כמו קודם:
וכאן מתחילה ההפתעה. נגזור:
הנגזרת היא מספר קבוע, -360, ולעולם אינה מתאפסת. כלומר אין שום נקודה לאורך הרצועה שבה השיפוע הוא אפס — אין נקודת קיצון "בפנים". הפונקציה היא קו ישר יורד: ככל שמעסיקים יותר פועלים על חשבון מכונות, הייצור פשוט יורד בקצב קבוע.
אם אין קיצון בפנים, איפה המקסימום? על הקצה. התחום של x חסום: מספר הפועלים אינו שלילי, ומספר המכונות גם הוא אינו שלילי, כלומר 40 – 4x geq 0. מכאן שהתחום הוא 0 leq x leq 10. מכיוון שהפונקציה יורדת לכל אורכה, המקסימום שלה נמצא בקצה השמאלי ביותר של התחום:
במילים אחרות: המפעל ממקסם רווח כשהוא לא מעסיק אף פועל, אלא רק 40 מכונות. בנקודה הזו הוא מייצר 4,000 קומקומים, פדיון 400,000 ש"ח, הוצאות 40,000 ש"ח, ורווח של 360,000 ש"ח לחודש. בקצה השני — 10 פועלים, 0 מכונות — הייצור צונח ל-400 קומקומים בלבד, והרווח מתאפס:
זהו "פתרון פינתי" (corner solution): האופטימום יושב בפינת התחום, לא בפנים. המשמעות הכלכלית אמיתית — כשפונקציית הייצור לינארית, משתלם להתמחות במלואו בגורם-ייצור אחד (כאן: רק מכונות), ולא לפזר בין שניים.
למה לגראנז' לבדו מחמיץ את הפתרון הפינתי
שווה לראות מדוע השיטה הכללית נכשלת כאן, כי זו בדיוק הנקודה שבה צריך להיזהר. אם ננסה לגראנז' על הבעיה הלינארית, תנאי הסדר הראשון ייתנו:
שני ערכים שונים לאותו כופל — סתירה. אין שום lambda שמספק את שתי המשוואות, ולכן אין פתרון פנימי בכלל. תלמיד שיעצור כאן יקבל "מערכת בלתי-פתירה" ויחשוב שטעה. האמת הפוכה: היעדר פתרון פנימי הוא בדיוק הסימן שהאופטימום נמצא על הגבול. הכלל המעשי: כשפונקציית המטרה לינארית, או כשלגראנז' מחזיר סתירה — אל תעצור, בדוק את קצוות התחום. שם מחכה התשובה.