הפונקציה

פונקציה – הקשר בין נתון לתוצאה

כאשר תוצאה מושפעת מגודלו של נתון כלשהו, אזי אנו אומרים, באופן טבעי, שקיים קשר בין הנתון לתוצאה.

לדוגמה: אברהמי קיבל הלוואה מהבנק בתנאים הבאים: סכום הריבית יעמוד על 10% מסכום ההלוואה + 100 ש"ח. סכום הריבית, שהוא התוצאה, מושפע מסכום ההלוואה שאברהמי ייקח, שהוא הנתון.

הטבלה הבאה מציגה מה תהיה התוצאה (סכום הריבית שאברהמי ישלם), ב-4 אפשרויות לגבי סכום ההלוואה:

בדוגמה זו סכום ההלוואה (הנתון) יכול להיות כל סכום הגדול מאפס ולאו דווקא סכומים עגולים. לדוגמה 1,011.26 ש"ח או 2,329.06 ש"ח. בשפת המתמטיקה אומרים, שהנתון יכול לקבל כל ערך.

כאשר קיים קשר בין קבוצת נתונים לקבוצת תוצאות, אנו אומרים שהתוצאות הן פונקציה של הנתונים. פונקציה היא מעין מכונה. מצד אחד מזינים לתוכה נתון (חומר גלם) ומצד שני מתקבלת תוצאה (מוצר). בדוגמה שלנו נאמר שסכום הריבית הוא פונקציה של סכום ההלוואה.

רישום פונקציה בשפת הסימנים

1. באופן כללי, מקובל לציין את התוצאה באות y ואת הנתון באות x.
2. במקום לכתוב באריכות ש-y היא פונקציה של x מסמנים בקיצור: y = f(x) (f – קיצור של המילה function). ואומרים: y היא פונקציה של x.

משתנה

לקבוצת הנתונים מקובל לקרוא משתנים חופשיים, ואילו לקבוצת התוצאות – משתנים תלויים. המונח משתנה בא לציין שהנתונים משתנים מערך לערך. בדוגמת ההלוואות בפיסקה הקודמת, סך ההלוואה יכול להשתנות מ-0 עד אינסוף. המונח משתנה תלוי בא לציין שהתוצאה יכולה להשתנות, שכן היא תלויה בשינוי שחל במשתנה החופשי. מכאן ואילך, נקרא לקבוצת הנתונים של כל פונקציה גם משתנים, ולקבוצת התוצאות – תוצאות.

תוצאה שמושפעת מ-2 משתנים (חופשיים)

ישנם מקרים שהתוצאה מושפעת מ-2 משתנים ואף יותר מ-2. לדוגמה: אברהמי, מהדוגמה הקודמת, מקבל הלוואה נוספת מבנק ב', שתנאיה: ריבית בשיעור של 8% + סכום קבוע של 200 ש"ח לשנה. לאור זאת, סכום הריבית שאברהמי ישלם בסוף השנה מושפע מ-2 משתנים: סכום ההלוואה שייקח בבנק א' (משתנה 1) + סכום ההלוואה שייקח בבנק ב' (משתנה 2). נכון לעכשיו נתייחס רק לפונקציות עם משתנה אחד.

נוסחה

ניתן לתאר את הקשר בין המשתנה לבין התוצאה באמצעות נוסחה. אותה נוסחה מפרטת לנו כיצד בדיוק משפיע המשתנה על התוצאה. לדוגמה, הנוסחה הבאה מתייחסת לחישוב סכום הריבית שישלם מר אברהמי בסוף השנה לבנק א': y = 10% ⋅ x + 100

• x – מייצג את המשתנה (סכום ההלוואה)
• y – מייצג את התוצאה (סכום הריבית)

לצורך הנוחות, נקרא לנוסחה: נוסחת הריבית. בגין כל x כלשהו שנציב בנוסחה, נקבל y (תוצאה) כלשהו.

הקשר בין נוסחה לפונקציה

פונקציה היא מונח שבא לציין שקיים קשר בין משתנה כלשהו לתוצאה. הנוסחה מציגה את מהות הקשר במדוייק. לדוגמה, כאשר אנו טוענים שסכום הריבית שאברהמי משלם לבנק מושפעת מסכום ההלוואה אנו למעשה טוענים שסכום הריבית הוא פונקציה של סכום ההלוואה. כאשר אנו מציגים את נוסחת הריבית אנו למעשה מציגים במדוייק את מהות הקשר.

סימול כללי של ערכי הפונקציה ושל הפונקציה

1. ערכי המשתנה – מקובל לסמל באופן כללי את ערכי המשתנה באות x. ערכים אלו נקראים גם ערכי ה-x.
2. ערכי התוצאה – מקובל לסמל באופן כללי את ערכי התוצאה באות y. ערכים אלו נקראים גם ערכי ה-y.
3. פונקציה – מקובל לסמל אותה: y=f(x). ובמילים: y היא פונקציה של x.

הערה: במתמטיקה מקובל מאוד להשתמש במונח ערך (במקום נתון או מספר וכיוב'). עוד נתרגל לכך. עם זאת, עדיין נשתמש פה ושם במונחים נתון או מספר לטובת פשטות ההסבר.

טווח ערכי ה-x

טווח ערכי ה-x מכיל את כל הערכים שהמשתנה יכול לקבל. בדוגמת ההלוואה טווח הערכים הוא מ-0 ש"ח ומעלה.

טווח ערכי ה-y

טווח ערכי ה-y מכיל את כל הערכים שהתוצאה יכולה לקבל. בדוגמת ההלוואה טווח הערכים הוא מ-100 ש"ח ומעלה.

קבוצת הנתונים (קבוצת ערכי ה-x)

כל הנתונים שניתן להזין בפונקציה מכונים קבוצת הנתונים או מסד הנתונים ובהמשך נקרא להם בעיקר קבוצת ערכי ה-x.

קבוצת התוצאות (קבוצת ערכי ה-y)

כל התוצאות האפשריות שמתקבלות מקבוצת הנתונים, מכונות קבוצת התוצאות ובהמשך נקרא להן גם קבוצת ערכי ה-y.

טבלת משתנים ותוצאות

הטבלה להלן מתייחסת לנוסחת הריבית y = 10% ⋅ x + 100: בטור 1 נקובים ערכי ה-x ולצידם (בטור 2), ערכי ה-y שהתקבלו בנוסחה. בכל שורה בטבלה, בטור ה-x מופיע המשתנה ובטור ה-y התוצאה.

למעשה, בטור ה-x יכולים להופיע ברצף כל הערכים מ-0 עד אין סוף. אנו בחרנו לצורך הדוגמה רק ב-6 ערכים. המשמעות של רצף היא שאין מרווח בין ערך לערך. אילו היה מרווח היינו יכולים להכניס לתוכו ערכים נוספים עד שלא יהיה מקום להכניס יותר ערכים.

הצבת המשתנים והתוצאות של נוסחה במערכת הצירים

בשרטוט הצירים והצבת הערכים ניעזר בטבלה הנ"ל.

שרטוט הצירים

ציר ה-x – על ציר ה-x נציב את ערכי ה-x שהם סכומי ההלוואה (הנתון) בש"ח. המרווח בין שנתה לשנתה מייצג 50 ש"ח (למעט המרווח בין שנתה ראשונה ושנייה שהוא 40 ש"ח).

ציר ה-y – על ציר ה-y נציב את ערכי ה-y שהם סכומי הריבית (התוצאה) בש"ח. המרווח בין שנתה לשנתה מייצג 5 ש"ח.

הצבת הערכים

כל שורה בטבלה הקודמת מכילה צמד ערכים: אחד של x ואחד של y. צמד הערכים מהווים "נקודת ציון" במישור הצירים, המוצג בתרשים הבא. לדוגמה:

נקודה A מתייחסת לערכי שורה 1 בטבלה הקודמת. נקודת הציון שלה (10,101). נקודה B מתייחסת לערכי שורה 2 בטבלה הקודמת. נקודת הציון שלה (50,105). נקודה F מתייחסת לערכי שורה 6 בטבלה הקודמת. נקודת הציון שלה (250,125).

הערה: אנו אלו שמחליטים מהו המרווח בין שנתה לשנתה בכל ציר, וכן את כמות יחידות המידה שכל שנתה מייצגת. להחלטה זו אין כל משמעות מלבד הצורה הויזואלית שתתקבל בסוף.

קו התוצאות

אם נחבר בקו את כל 6 הנקודות בתרשים, נקבל קו ישר שעולה כלפי מעלה. לקו זה אנו קוראים קו התוצאות. אם היינו מוסיפים לטבלה הקודמת עוד מאות או אלפי שורות (בין השורות הקיימות ומעבר להן), "נקודות הציון" של כל שורה הייתה מתמקמת היכן שהוא לאורך קו התוצאות.

המשמעות של קו התוצאות

כל נקודה על קו התוצאות מציגה לנו מהו סכום הריבית שנשלם כאשר סכום ההלוואה הוא הנתון מתחתיה, על ציר ה-x, או בלשון אחר, כל "נקודת ציון" על קו התוצאות מכילה 2 ערכים (x,y). x הוא משתנה ו-y התוצאה. לדוגמה, כאשר נקודת ציון היא (50,105), 50 הוא המשתנה (סכום ההלוואה) ו-105 היא התוצאה (סכום הריבית).

פונקציה המיוצגת על ידי קו ישר

קו התוצאות שלנו הוא בצורת קו ישר ולא במקרה. צורת הנוסחה שבה השתמשנו היא y = 0.1x + 100. כל נוסחה בצורה זו מניבה קו ישר.

נרחיב, כל נוסחה שצורתה הכללית היא y=ax+b מניבה קו תוצאות ישר. בקיצור: קו ישר. ל-2 האותיות a ו-b קוראים פרמטרים. כאשר במקום פרמטרים אנו מציבים מספרים כלשהם אנו הופכים נוסחה כללית לנוסחה ספציפית שמתייחסת רק לקו תוצאות אחד. הפרמטרים יכולים להיות בסימן חיובי או בסימן שלילי. עבור כל 2 מספרים שנציב במקום a ו-b, נקבל קו ישר בעל צורה שונה. למשל:

קו (1) מתייחס לנוסחה: y = 1x + 3 (a = 1, b = 3).
קו (2) מתייחס לנוסחה: y = -2x + 2 (a = (-2), b = 2).
קו (3) מתייחס לנוסחה: y = 2.5 (a = 0, b = 2.5).

מעקב אחר הקו הישר ושרטוטו

כל נוסחה שצורתה הכללית היא y = ax + b מניבה קו תוצאות ישר במישור הצירים. ובלשון אחר: לכל קו תוצאות ישר מתאימה נוסחה כלשהי שצורתה היא y = ax + b.

בטבלה הבאה מוצגות 3 נקודות ציון שחושבו מתוך הקו הישר שנוסחתו y = 3x + 2:

נציב נקודות אלה בתרשים ונחברן בקו.

הטבלה מפרטת את התוצאה המתקבלת על גבי הקו ב-3 ערכים:

• כאשר x = 0: y = 2. בנקודת ציון זו, הקו חוצה את ציר y.
• כאשר x = 1: y = 5. המשתנה גדל ביחידה אחת (מ-0 ל-1) והתוצאה גדלה 3 יחידות (מ-2 ל-5).
• כאשר x = 2: y = 8. המשתנה גדל ביחידה אחת (מ-1 ל-2) והתוצאה גדלה שוב ב-3 יחידות (מ-5 ל-8).

שתי התכונות שמאפיינות כל קו ישר

2 תכונות מאפיינות כל קו ישר:

1. ערך ה-y של הנקודה שבה הקו חותך את ציר ה-y. (בהתנסחות מתמטית: ערך ה-y בנקודת החיתוך).
2. השיפוע שלו.

ערך ה-y בנקודת החיתוך

ערך ה-y בנקודת החיתוך הוא תמיד המספר שמייצג את הפרמטר b (בנוסחה y = ax + b). זאת מהסיבה הפשוטה שהחיתוך מתבצע כאשר x = 0 ואז a ⋅ x = 0 ובנוסחה נותר רק b [y = ax + b]. מכאן שבנקודת החיתוך y = b.

שיפוע הקו

שיפוע הקו מוגדר כמספר היחידות שמשתנות בתוצאה – כתוצאה מתוספת של 1 יחידה ב- .x השיפוע מוצג כמספר כלשהו (כמספר היחידות המשתנות). השיפוע יכול להיות חיובי, שלילי או 0.

שיפוע חיובי

כאשר תוספת של 1 יחידה ב-x גורמת, לדוגמה, לתוספת של 3 יחידות ב-y כמו בנוסחה y = 3x + 2, השיפוע הוא 3 והוא חיובי. שיפוע חיובי מאופיין כקו עולה, כדוגמת התרשים הקודם או כדוגמת קו (1) בתרשים הבא.

שיפוע שלילי

כאשר תוספת של 1 יחידה ב-x, גורמת לגריעה של 2 יחידות ב-y, כמו לדוגמה בנוסחה y = -2x + 10, השיפוע הוא -2 והוא שלילי. שיפוע שלילי מאופיין בקו יורד כדוגמת קו (2) בתרשים.

שיפוע 0

כאשר תוספת של 1 יחידה ב-x לא גורמת לשינוי במספר היחידות ב-y, השיפוע הוא 0. שיפוע 0 מאופיין כקו אופקי כדוגמת קו (3) בתרשים.

בקו ישר השיפוע אחיד לאורך כל הקו

בקו ישר, השיפוע לא משתנה לאורך הקו. בגין כל תוספת של 1 יחידה ב-x, יחול אותו שינוי במספר היחידות ב-y.

פרמטר a מציין את שיפוע הקו

המספר שמייצג את פרמטר a, נוקב בשיפוע הקו. וההסבר: כל שינוי של 1 יחידה ב-x, מגדיל או מקטין את y בעוד a יחידות.

דוגמאות

בטבלה הבאה מוצגות בטור 1 שלוש נוסחאות של קווים ישרים ולצידן בטורים 2 ו-3 מפורטים שני הפרמטרים a ו-b, המתלווים לכל נוסחה.

המחשת השיפוע של קו ישר באמצעות מדרגות

את שיפוע הקו אפשר להמחיש באמצעות מדרגות שעליהן מניחים משטח ישר, כל המדרגות הן בעלות אותו גודל. בשיפוע חיובי המדרגות עולות משמאל לימין. ככל שהצלע האנכית של המדרגה יותר גבוהה, כך השיפוע שלה יותר תלול. בשיפוע שלילי המדרגות יורדות. ככל שהקצה יותר נמוך, כך השיפוע יותר תלול. בשיפוע 0 אין מדרגות. בתרשים הבא נראים שני קוים ישרים: אחד עם שיפוע 3 (בכל מדרגה מתווספות 3 יחידות y), ואחד עם שיפוע שלילי (בכל מדרגה נגרעות 2 יחידות y).

מציאת שיפוע של קו ישר באמצעות 2 נקודות עליו

נתייחס תחילה לשיפוע חיובי. בתרשים הבא מוצגות על הקו 2 נקודות: A ו-B. במעבר מ-A ל-B אנו מתקדמים 8 יחידות על ציר ה-x (מ-1 ל-9) ובעקבות זאת מתווספות 12 יחידות על ציר ה-y (מ-2 ל-14). היות והשיפוע של קו ישר הוא אחיד, כל התקדמות של 1 יחידה בערכי x, בכל מקום לאורך הקו, תורמת אותה תוספת של יחידות y.

היחס: מספר היחידות שהתווספו ל-y (במעבר מ-A ל-B) חלקי מספר היחידות שהתקדמנו ב-x (במעבר מ-A ל-B) — כלומר 12/8 = 1.5 — מחשב את מספר יחידות ה-y שהתווספו בגין כל 1 יחידה של x. יחס זה הוא שיפוע הקו.

שימוש בסימולים

במתמטיקה האות היוונית ∆, שמבוטאת דֶלְתָּא, מסמלת שינוי. בדוגמה הבאה נסמל: ב-∆x – את השינוי שחל בערכי ה-x במעבר מנקודה A ל-B. וב-∆y – את השינוי שחל בערכי ה-y כתוצאה מכך. היחס ∆y/∆x מסמל את שיפוע הקו. כאשר ∆y הוא מספר שלילי, השיפוע שלילי. כאשר ∆y = 0, השיפוע 0.

קווים ישרים – התייחסות נוספת

חישוב נקודת החיתוך של ציר ה-x

הקו חוצה את ציר ה-x כאשר y = 0. לדוגמה, הקו שנוסחתו y = –3x – 6, חוצה את ציר ה-x כאשר –3x – 6 = 0. נפתור את המשוואה ונקבל x = –2.

חישוב נקודת החיתוך של 2 קווים

לדוגמה, נתייחס לקו (1): y = –x + 6 ולקו (2): y = x – 2. בנקודת החיתוך שלהם ערך ה-x בשניהם שווה וגם ערך ה-y. היות וערך ה-y שווה בשניהם, מתקיים השיוויון: –x + 6 = x – 2. נפתור את המשוואה ונקבל x = 4. ואז, כאשר x = 4 ⇐ y = 2. כלומר נקודת החיתוך היא בנקודת הציון (4,2).

קו שיוצא מראשית הצירים ושיפועו 1

המשמעות של שיפוע 1 היא שתוספת של 1 יחידה x מוסיפה 1 יחידה y. בתרחיש זה תמיד ערך ה-x שווה לערך ה-y והזווית בין קו הפונקציה לציר ה-x שווה ל-45⁰.

קו אופקי

הקו y = 0 ⋅ x + b הוא קו אופקי שכן השיפוע שלו הוא 0.

מאפייני הקו

1. הוא חותך את ציר ה-y בערך b.
2. הוא מקביל לציר ה-x. המשמעות: בכל ערך של x התוצאה תהיה b.

קווים מקבילים

אלו קווים בעלי אותו שיפוע (אותו פרמטר a בשניהם). קווים מקבילים אינם נפגשים לעולם.

פונקציה המיוצגת על ידי קוים שאינם ישרים

עקום

עקום הוא שם כולל לכל קו לרבות קו ישר. אנו נעסוק בעקומים שמהווים קו תוצאות של נוסחה כלשהי.

משפחות של נוסחאות

כל הנוסחאות שצורתן y = ax + b, משתייכות למשפחת הקווים הישרים. תוצאות הנוסחה מניבות קו ישר. כל הנוסחאות שצורתן y = ax² + bx + c (a ≠ 0), משתייכות למשפחת הפרבולות. תוצאות הנוסחה מניבות פרבולה. כל הנוסחאות שצורתן y = a / (bx + c), משתייכות למשפחת ההיפרבולות. תוצאות הנוסחה מניבות היפרבולה. אנו לא נתעמק במשפחות הפרבולות וההיפרבולות, אך חשוב להזכירן.

שבט הפולינומים

כל הנוסחאות שצורתן y=axⁿ+bx^n-1+cx^n-2+…+dx¹+ex⁰ משתייכת לשבט שנקרא שבט פולינומים. אנו קוראים לנוסחאות בצורה זו שֵׁבֶט היות והן כוללות יותר ממשפחה אחת של נוסחאות. נסביר בהמשך.

מאפייני הנוסחה

1. הנוסחה מכילה מספר משתנה של איברים אך לא פחות מ-2.
2. בתחילת כל איבר יש פרמטר שיכול לקבל כל מספר.
3. כל איבר כולל חזקה של x. החזקות הולכות ופוחתות ב-1, החזקה הגבוהה ביותר היא באיבר הראשון והיא הולכת ויורדת ב-1 מאיבר לאיבר. החזקה באיבר האחרון היא 0 ובזו שלפניו 1. היות ו-x⁰ = 1, אזי האיבר האחרון [e⋅x⁰] = e.
4. שם הפולינום נגזר מהחזקה באיבר הראשון. כאשר הנוסחה היא: y=ax⁴+bx³+cx²+dx+ex⁰, שם הפולינום הוא: פולינום מדרגה 4.
5. מספר האיברים בכל פולינום הוא כמספר דרגתו + 1.

משפחות של עקומים הכלולים בשבט הפולינומים

משפחת הפרבולות – משפחת הפרבולות היא פולינום מדרגה 2. משפחת הקווים הישרים – משפחת הקווים הישרים היא פולינום מדרגה 1.

משיק

כאשר קו ישר נוגע בעקום כלשהו, רק בנקודה אחת, אנו אומרים שהקו משיק לעקום באותה נקודה. נקודת המפגש מכונה נקודת ההשקה. בתרשים הבא, קו (1) משיק לעקום (2) בנקודה A. לכל נקודה בעקום יכול להשיק רק קו ישר אחד.

שיפוע של עקום

השיפוע של עקום בנקודה כלשהי מוגדר כשיפועו של הקו שמשיק לאותה נקודה. בתרשים הבא השיפוע של עקום (1) בנקודה A שווה לשיפועו של קו (2).

מיון העקומים ל-3 סוגים

במתמטיקה מבחינים בין 3 סוגי עקומים: (I) קו ישר (II) עקום קמור (III) עקום קעור. העקומים שונים זה מזה במגמת השיפוע שלהם.

1. קו ישר – השיפוע אינו משתנה לאורך כל הקו.
2. עקום קמור – השיפוע הולך וגדל ככל שמתקדמים על ציר ה-x (משמאל לימין).
3. עקום קעור – השיפוע הולך וקטן ככל שמתקדמים על ציר ה-x (משמאל לימין).

נרחיב. בתרשים הבא: העקום הימני בצורת הר – מכונה עקום קעור. העקום השמאלי בצורת עמק – מכונה עקום קמור.

התייחסות לשיפועי העקומים

בליווי תרשים 2.1 ו-2.2

עקום קעור

כאשר מתבוננים על העקום מנקודה a שמתחתיו אנו רואים צורת קערה.

1. הנקודה הגבוהה ביותר (נקודת הקיצון) היא בפסגת הקשת. קצות הקשת פונות כלפי מטה ויורדות.
2. משמאל לנקודת הקיצון השיפוע חיובי (העקום עולה), אך הוא הולך וקטן. בתרשים 2.1 ככל שמתקדמים לנקודת הקיצון משמאל, השיפוע הולך וקטן מ-3, ל-2 ול-1. מימין לנקודת הקיצון השיפוע שלילי (העקום יורד) והוא הולך וקטן ככל שמתקדמים.

עקום קמור

בתרשים 2.2 השיפוע משמאל לנקודת הקיצון הולך וגדל מ-(-3), ל-(-2) ול-(-1). ככל שהמספר השלילי יותר גדול, כך השיפוע יותר קטן. בנקודת הקיצון השיפוע 0. כשמסתכלים על העקום שבתרשים 2.2 מנקודה b שמתחתיו, אנו רואים צורת כיפה. המספר לצד כל נקודה, נוקב בשיפוע באותה נקודה.

התייחסות לשיפוע שלילי ולתלילותו

ככל שהשיפוע השלילי יותר קטן, כך התלילות שלו עולה. שיפוע של -2 קטן מ-(-1), אך תלילותו יותר גדולה. תלילות של שיפוע -3 זהה לתלילות של שיפוע 3. דרוש אותו מאמץ לטפס בשיפוע של 3 כמו לטפס כלפי מעלה בשיפוע של -3. ובאופן כללי התלילות של כל שיפוע שלילי זהה לתלילות של אותו שיפוע ללא הסימן מינוס. לשיפוע בניטרול הסימן שלפניו קוראים שיפוע בערכים מוחלטים. שיפוע של (-4) בערכים מוחלטים הוא שיפוע של 4. במילים פשוטות: התלילות של שיפוע (-4) שווה לתלילות של שיפוע 4.

קטעי עקומים

כל קטע בפונקציה, קטן ככל שיהיה (אפילו מיקרוסקופי), משתייך לאחד מ-3 סוגי העקומים (קו ישר, עקום קמור, עקום קעור).

פונקציות מעורבות

פונקציות המכילות יותר מסוג קטע אחד. ישנן פונקציות המכילות גם קטעים קמורים, גם קטעים קעורים וגם קטעים ישרים.

נקודת פיתול

הנקודה בפונקציה שבה קטע קעור מחליף קטע קמור וההיפך, נקראת נקודת פיתול.

איך זוכרים מה זה מה

דרך א'

מתבוננים על העקומים מנקודה כלשהי שנמצאת תחתיהם. העקום שנראה כמו קערה הוא הקעור. העקום שנראה כמו כיפה הוא הקמור.

דרך ב'

מתבוננים על העקומים מלפנים. העקום הקעור מזכיר פה בוכה והעקום הקמור פה צוחק.

נקודות פיקנטיות בעקומים – הגדרות

1. נקודת מקסימום מוחלט– הנקודה הגבוהה ביותר בכל עקום.
2. נקודת מינימום מוחלט – הנקודה הנמוכה ביותר בכל עקום.
3. נקודת מקסימום מקומי – נקודה ששתי הנקודות הסמוכות לה משני צידיה, נמוכות ממנה.
4. נקודות מינימום מקומי – נקודה ששתי הנקודות הסמוכות לה משני צידיה, גבוהות ממנה. כמובן שכל נקודת מקסימום מוחלט היא אוטומטית נקודת מקסימום מקומי וכך לגבי נקודת מינימום.
5. נקודות פיתול – (שינוי כיוון)
6. נקודות החיתוך של העקום עם ציר ה-X וציר ה-Y.
7. התנהגות העקום כאשר x = 0 (יורחב בהמשך).

התייחסות לנקודות פיקנטיות בפונקציה ובקטעים ממנה – חזרה והרחבה

נתייחס לכל הפונקציה ולקטעים ממנה באמצעות קו הפונקציה (=קו התוצאות) המייצג אותה. כלומר:

כל הפונקציה – מיוצגת באמצעות קו הפונקציה בכל ערכי ה-x. מ-x = -α עד x = +α‏ [-α < x < +α].

קטע פונקציה – מיוצג באמצעות קו הפונקציה בתחום כלשהו של ערכי x. לדוגמה בתחום שבין x = 0 ל-x = 5. סימול: 0 ≤ x ≤ 5.

נקודת מקסימום מוחלט – הנקודה הגבוהה ביותר בקטע כלשהו. הקטע יכול להתארך עד לכדי כל הפונקציה. באופן מעשי אנו נתייחס בעיקר לקטעים ולא לכל הפונקציה.

נקודת מקסימום מקומי – הנקודה הגבוהה ביותר באזור שלה.

נקודת מינימום מוחלט – הנקודה הנמוכה ביותר בקטע כלשהו.

נקודות מינימום מקומי – הנקודה הנמוכה ביותר באזור שלה.

נקודות קיצון מוחלט – שם כולל לנקודות מקסימום ו/או מינימום מוחלטים.

נקודות קיצון מקומי – שם כולל לנקודות מקסימום ו/או מינימום מקומיים.

הערות

1. כמובן שכל נקודת קיצון מוחלט מהווה באופן אוטומטי גם נקודת קיצון מקומי בתת- הקטע שבו היא ממוקמת.
2. כאשר מתייחסים לכל הפונקציה, לא בכל פונקציה ישנן נקודות קיצון מוחלטות (מקסימליות ו/או מינימליות).

נקודות קיצון מוחלט ומקומי – דוגמאות

דוגמה 1

הדוגמה מתייחסת לפונקציה y = x² – 6x + 8. בתרשים הבא מוצג קטע מהפונקציה הנ"ל.

1. בקטע המוצג, נקודה A מהווה גם נקודת מינימום מוחלט וגם נקודת מינימום מקומי. למעשה נקודה A מהווה גם נקודת מינימום מוחלט בכל הפונקציה.
2. נקודת מקסימום מוחלט בכל הפונקציה. אילו היינו משרטטים את כל הפונקציה, לא היינו מוצאים בה נקודת מקסימום מוחלט. לצד כל נקודה שנבחר ישנה נקודה גבוהה ממנה.
3. נקודת מקסימום מוחלט בקטע 0 ≤ x ≤ 4. אם נתייחס לקטע 0 ≤ x ≤ 4, נגלה שקיימת נקודת מקסימום מוחלט שגובהה 8 (נקודה B). היא מתקבלת כאשר x = 0. בקטע זה אין נקודה גבוהה ממנה.

דוגמה 2

מתייחסת לפונקציה y = x³ – 4x. בתרשים הבא מוצג קטע מהפונקציה הנ"ל. הנקודה B היא נקודת מקסימום מקומי, אבל לא נקודת מקסימום מוחלט (הנקודה D למשל גבוהה ממנה).

התייחסות לתחום 3- ≤ x ≤ 0

בתחום 3- ≤ x ≤ 0, נקודה B מהווה נקודת מקסימום מוחלט ונקודה A מהווה נקודת מינימום מוחלט.

התייחסות לתחום 0 ≤ x ≤ 2

מינימום מוחלט – נקודה C מהווה נקודת מינימום מוחלט. מקסימום מוחלט – ישנן 2 נקודות מקסימום מוחלט שערך ה-y שלהן הוא 0: האחת כאשר x = 0 והשנייה כאשר x = 2.

מסקנות

1. ירידה ממעמד של "נקודות קיצון מוחלט" בדוגמאות שהצגנו עד כה ראינו שגם אם קיימת נקודת קיצון מוחלט בקטע מסויים, היא יכולה לרדת לדרגת "נקודת קיצון מקומי" כשמתייחסים לכל הפונקציה או לקטע יותר גדול.
2. מיקום נקודות קיצון מוחלט בקטעי פונקציה הנקודות יכולות להימצא באחת מ-2 האפשרויות הבאות: a. בקצות הקטע. b. בחפיפה עם אחת מנקודות הקיצון המקומיות בקטע.

עוד נשוב להתעמק בנקודות קיצון לאחד שנלמד מהי נגזרת וכיצד ניתן בעזרתה למצוא נקודות קיצון.