בפרק הזה
הערת-ביצוע: תוכן "מעבר-למקור" (כלל-שרשרת, אקספוננציאלי, לוגריתמי) — כמוסכם עם ארכיטקט: אקספוננציאלי+לוגריתמי נשמרים ומאומתים; טריגונומטריה הוסרה.
הפתיחה
"הצמיחה האטה." "האינפלציה ירדה — אבל עדיין חיובית." "קצב-עליית-המחירים מתמתן." כל אחד מהמשפטים האלה, שמשודרים בחדשות הכלכלה כמעט כל שבוע, אינו מדבר על ערך — הוא מדבר על קצב שינוי. לא "כמה" אלא "כמה מהר, ובאיזה כיוון".
זה בדיוק מה שהנגזרת מודדת.
נגזרת של פונקציה היא פונקציה אחרת שמתארת, בכל נקודה, מה קצב-השינוי של הפונקציה המקורית באותה נקודה. אם הפונקציה המקורית היא "מחיר הדיור לאורך זמן", הנגזרת שלה היא "קצב-עליית-מחיר הדיור לאורך זמן". אם הפונקציה המקורית היא "סך-הייצור כפונקציה של עובדים", הנגזרת היא "תפוקה-שולית" — כמה יחידות-ייצור נוספות מניב כל עובד נוסף.
הוק-wow: הנגזרת היא מד-המהירות של הכלכלה — היא לא אומרת כמה יש, אלא כמה מהר זה משתנה.
הגדרת הנגזרת: שיפוע בנקודה
בפרק הפונקציה חישבנו שיפוע של ישר — מספר קבוע שמתאר את הנטייה לאורך כל הישר. אבל מה עם פונקציות שאינן ישרות? הגרף שלהן מתעקל; השיפוע משתנה מנקודה לנקודה.
הרעיון: רוצים לדעת מה השיפוע של פונקציה בנקודה ספציפית. עושים זאת על-ידי בחינת הישר שמחבר את הנקודה עם נקודה "קרובה" עליה, ואז מקרבים את הנקודה הקרובה עד שהמרחק ביניהן שואף לאפס.
פורמלית: אם f(x) היא פונקציה, הנגזרת שלה בנקודה x מוגדרת כ:
f'(x) = lim[Δx→0] [f(x + Δx) − f(x)] / Δx
כאשר Δx הוא שינוי קטן ב-x. הביטוי [f(x + Δx) − f(x)] / Δx הוא מנת-ההפרשים — שיפוע הישר המחבר שתי נקודות. כשΔx → 0, הישר הזה מתכנס למשיק לגרף בנקודה x.
סימון: הנגזרת של f(x) מסומנת f'(x) או dy/dx. שתי הסימונות נפוצות ומשמעותן זהה.
חוקי גזירה — גזירת חזקות
הגדרת-הגבול שלמעלה מאפשרת לגזור כל פונקציה, אבל בפועל עובדים עם חוקי-קיצור שפותחו פעם אחת ומשמשים לתמיד.
חוק-החזקה: אם f(x) = xⁿ, אזי f'(x) = n·xⁿ⁻¹.
כלל זה עובד לכל n ממשי — חיובי, שלילי, שבר.
דוגמאות:
– f(x) = x³ → f'(x) = 3x²
– f(x) = x² → f'(x) = 2x
– f(x) = x → f'(x) = 1
– f(x) = 1 = x⁰ → f'(x) = 0 (קבוע — קצב-שינויו אפס)
– f(x) = x⁻¹ = 1/x → f'(x) = −x⁻² = −1/x²
– f(x) = x^(1/2) = √x → f'(x) = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x)
כפל בקבוע: אם f(x) = c·g(x), אזי f'(x) = c·g'(x). הקבוע "יוצא החוצה".
חוק-הסכום: אם f(x) = g(x) + h(x), אזי f'(x) = g'(x) + h'(x). גוזרים חלק-חלק.
דוגמה: f(x) = 4x³ − 7x² + 5x − 3
f'(x) = 12x² − 14x + 5
אימות חישובי: נגזרת של 4x³ → 4·3x² = 12x². נגזרת של −7x² → −7·2x = −14x. נגזרת של 5x → 5. נגזרת של −3 → 0. סה"כ: 12x² − 14x + 5. ✓
חוק-המכפלה
אם f(x) = u(x)·v(x), הנגזרת אינה פשוט u'·v'. יש כלל מיוחד:
f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x)
בלשון פשוטה: "נגזרת-ראשונה כפול שנייה, ועוד ראשונה כפול נגזרת-שנייה".
דוגמה: f(x) = (x² + 1)(x³ − 2x)
נגדיר: u = x² + 1, v = x³ − 2x.
אזי: u' = 2x, v' = 3x² − 2.
f'(x) = 2x·(x³ − 2x) + (x² + 1)·(3x² − 2)
= 2x⁴ − 4x² + 3x⁴ − 2x² + 3x² − 2
= 5x⁴ − 3x² − 2
אימות חישובי: פתיחת הסוגריים המקורית: (x² + 1)(x³ − 2x) = x⁵ − 2x³ + x³ − 2x = x⁵ − x³ − 2x. גזירה ישירה: 5x⁴ − 3x² − 2. תואם. ✓
חוק-המנה
אם f(x) = u(x)/v(x), הנגזרת:
f'(x) = [u'(x)·v(x) − u(x)·v'(x)] / [v(x)]²
בלשון פשוטה: "נגזרת-מינה כפול מכנה, פחות מונה כפול נגזרת-מכנה, הכל חלקי מכנה-בריבוע".
שימו לב לסימן: זה פחות (מינוס), לא פלוס. ובמכנה — המכנה המקורי בריבוע.
דוגמה: f(x) = (x² + 3) / (2x − 1)
u = x² + 3, v = 2x − 1
u' = 2x, v' = 2
f'(x) = [2x·(2x − 1) − (x² + 3)·2] / (2x − 1)²
= [4x² − 2x − 2x² − 6] / (2x − 1)²
= [2x² − 2x − 6] / (2x − 1)²
אימות חישובי: מונה: 4x²−2x−2x²−6 = 2x²−2x−6. ✓
כלל-השרשרת
כשיש פונקציה "בתוך" פונקציה — פונקציה מורכבת — משתמשים בכלל-השרשרת.
אם f(x) = g(h(x)), אזי: f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)
בלשון פשוטה: "גוזרים את הפונקציה החיצונית (ומשאירים את הפנימית כפי שהיא), ואז מכפילים בנגזרת הפנימית".
דוגמה: f(x) = (3x² + 1)⁵
הפונקציה החיצונית: g(u) = u⁵ (כשu = 3x² + 1)
הפונקציה הפנימית: h(x) = 3x² + 1
g'(u) = 5u⁴ → g'(h(x)) = 5(3x² + 1)⁴
h'(x) = 6x
f'(x) = 5(3x² + 1)⁴ · 6x = 30x(3x² + 1)⁴
אימות: נבדוק על-ידי הצבה בנקודה x=0: f'(0) = 30·0·(1)⁴ = 0. ובנקודה x=1: f'(1) = 30·1·(3+1)⁴ = 30·256 = 7,680. ✓ (ניתן לאמת גם בחישוב-הפיתוח הישיר של (3x²+1)⁵, אם כי ארוך.)
נגזרות פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות
שתי פונקציות אלה חיוניות במיוחד לכלכלה: הפונקציה האקספוננציאלית מתארת צמיחה (ריבית-דריבית, אוכלוסייה, שוק-הון), והלוגריתמית מתארת בלימה של צמיחה (תועלת שולית פוחתת, עקומות-ביקוש).
הפונקציה האקספוננציאלית הטבעית: f(x) = eˣ
נגזרתה: f'(x) = eˣ
זו תכונה יוצאת-דופן: הפונקציה גוזרת לעצמה. זה לא מקרי — זו ההגדרה של הבסיס e ≈ 2.718… כפי שהגדיר אוילר.
בצירוף קבוע: אם f(x) = e^(kx), אזי f'(x) = k·e^(kx) (לפי כלל-השרשרת).
אימות: u = kx, g(u) = eᵘ. g'(u) = eᵘ. u' = k. → f'(x) = eˣᵏ · k = k·e^(kx). ✓
כלכלית: הפונקציה P(t) = P₀·eʳᵗ מתארת גידול רציף בקצב r. נגזרתה P'(t) = r·P₀·eʳᵗ = r·P(t). כלומר: קצב-הגידול בכל רגע t פרופורציונלי לרמה הנוכחית P(t) — זה בדיוק מה שמאפיין ריבית-דריבית רציפה.
הלוגריתם הטבעי: f(x) = ln(x), מוגדרת ל-x > 0.
נגזרתה: f'(x) = 1/x
בצירוף כלל-השרשרת: אם f(x) = ln(g(x)), אזי f'(x) = g'(x)/g(x).
אימות על f(x) = ln(x²): g(x) = x², g'(x) = 2x. → f'(x) = 2x/x² = 2/x. בדיקה עצמאית: ln(x²) = 2·ln(x), נגזרת: 2/x. ✓
כלכלית: הלוגריתם מאפשר לנו לעבוד עם שיעורי-שינוי יחסיים (לא מוחלטים). אם P(t) = e^(rt), אזי ln(P(t)) = rt + ln(P₀) — ישר בציר-הלוגריתמי עם שיפוע r. לכן גרפים לוגריתמיים נפוצים בייצוג נתונים פיננסיים: הם הופכים גידול-מעריכי לישר, ומאפשרים להשוות שיעורי-צמיחה בקלות.
הנגזרת השנייה: קצב-שינוי של קצב-השינוי
הנגזרת השנייה, f"(x), היא הנגזרת של הנגזרת. היא מתארת איך קצב-השינוי עצמו משתנה.
בכלכלה:
– f(t) = רמת-ייצור לאורך זמן
– f'(t) = קצב-גידול הייצור (נגזרת ראשונה)
– f"(t) = האם קצב-הגידול עצמו מתעצם או מאט (נגזרת שנייה)
"האינפלציה ירדה אבל עדיין חיובית" = f' > 0 (מחירים עדיין עולים) אבל f" < 0 (קצב-העלייה מאט).
סימון: f"(x) = d²y/dx².
דוגמה: f(x) = x³ − 3x² + 2
f'(x) = 3x² − 6x
f"(x) = 6x − 6
בנקודה x = 1: f"(1) = 6·1 − 6 = 0. נקודת-פיתול פוטנציאלית (שינוי בקעירות).
בנקודה x = 2: f"(2) = 6·2 − 6 = 6 > 0. הפונקציה קעורה-כלפי-מעלה (מין. מקומי).
קעירות, קמירות ונקודות פיתול
קעירות כלפי מעלה (Concave up): f"(x) > 0. הגרף מתעקל כמו קערה (U). בנקודות-מינימום: הגרף "ישב" על הנקודה מלמטה.
קמירות כלפי מטה (Concave down): f"(x) < 0. הגרף מתעקל כמו גבעה (∩). בנקודות-מקסימום: הגרף "תלה" על הנקודה מלמעלה.
נקודת-פיתול: f"(x) = 0 ומשתנה סימן. כאן הפונקציה עוברת מקעירות לקמירות (או להיפך).
כלכלית: עקומת עלות-שולית שעוברת ממינוס לפלוס בנגזרת השנייה אומרת שהיעילות ירדה — עלות כל יחידה נוספת מתחילה לעלות. זה בדיוק מה שמייצג "תשואות-שולית-פוחתות" ביצור.
חקירת פונקציה
חקירת פונקציה מרכזת את כל הכלים לעיל לתמונה שלמה:
שלב 1 — תחום-הגדרה: איפה f(x) מוגדרת?
שלב 2 — חיתוכים עם הצירים:
– עם ציר y: מציבים x = 0.
– עם ציר x: פותרים f(x) = 0.
שלב 3 — נגזרת ראשונה f'(x):
– f'(x) > 0: פונקציה עולה.
– f'(x) < 0: פונקציה יורדת.
– f'(x) = 0: נקודה קריטית (מועמד לקיצון).
שלב 4 — נקודות-קיצון:
– נקודה קריטית שf' עוברת בה מ+ ל−: מקסימום מקומי.
– נקודה קריטית שf' עוברת בה מ− ל+: מינימום מקומי.
שלב 5 — נגזרת שנייה f"(x):
– f"(x) > 0: קעירה כלפי מעלה.
– f"(x) < 0: קמירה כלפי מטה.
– f"(x) = 0 ומשנה סימן: נקודת-פיתול.
שלב 6 — שרטוט: ציור בהתאם לכל הנ"ל.
דוגמה מלאה: f(x) = x³ − 6x² + 9x
- תחום: כל ה-ℝ.
- חיתוך y: f(0) = 0.
- חיתוך x: x³ − 6x² + 9x = x(x² − 6x + 9) = x(x−3)² = 0 → x = 0 או x = 3.
- נגזרת: f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x−1)(x−3).
- נקודות קריטיות: x = 1 ו-x = 3.
- סימן f': x < 1: שניהם שליליים → מכפלה חיובית → f' > 0 (עולה). 1 < x < 3: (x−1)>0, (x−3)<0 → מכפלה שלילית → f' < 0 (יורדת). x > 3: שניהם חיוביים → f' > 0 (עולה).
- קיצון: x=1: f' עוברת מ+ ל− → מקסימום מקומי. f(1) = 1−6+9 = 4. x=3: f' עוברת מ− ל+ → מינימום מקומי. f(3) = 27−54+27 = 0.
- נגזרת שנייה: f"(x) = 6x − 12. f"(1) = −6 < 0 (קמירה כלפי מטה = מקסימום. ✓). f"(3) = 6 > 0 (קעירה למעלה = מינימום. ✓). f"(2) = 0 → נקודת-פיתול בx=2: f(2) = 8−24+18 = 2.
מה זה אומר עבורכם. חקירת פונקציה היא השלד של כל ניתוח כלכלי מיקרו: מוצאים את שיא-הרווח, שפל-העלות, הנקודה שבה היעילות מתהפכת. בפרק 5 נראה את אותו רעיון עם שני משתנים — ושם הוא כבר הופך לכלי-קבלת-החלטות ממשי.
סיכום
הנגזרת מודדת קצב-שינוי. היא מוגדרת כגבול של מנת-ההפרשים, ומחושבת בפועל לפי חוקי-קיצור: חוק-החזקה, כפל-בקבוע, סכום, מכפלה, מנה, שרשרת, אקספוננציאלי, לוגריתמי. הנגזרת השנייה מתארת שינוי בקצב-השינוי — ומאפשרת לזהות מקסימום, מינימום ונקודות-פיתול. חקירת פונקציה מחברת את כולם.
הנגזרת היא פונקציה בפני עצמה — איך לקרוא את הגרף שלה
עד עכשיו השתמשנו בנגזרת בעיקר כמספר: מציבים x, מקבלים את השיפוע באותה נקודה. אבל לנגזרת יש גם תוואי משלה — גרף נפרד, שאפשר לצייר מתחת לגרף הפונקציה המקורית. בבחינות מופיע לא פעם הכיוון ההפוך: "נתון גרף של f'(x) — שרטטו את f(x)". כדי לעשות את זה צריך לדעת לקרוא את גרף הנגזרת כמו שפה. הנה הכללים.
כשהפונקציה עולה — גרף הנגזרת מעל ציר ה-x
בכל קטע שבו הפונקציה המקורית עולה, השיפוע שלה חיובי, ולכן תוואי הנגזרת באותו קטע עובר מעל ציר ה-x (מעל האפס). חשוב להבין: הגובה המדויק של גרף הנגזרת או הצורה שלו אינם חשובים כאן — מה שחשוב הוא רק הצד של הציר. מעל הציר פירושו "עולה".
כשהפונקציה יורדת — גרף הנגזרת מתחת לציר
בקטע שבו הפונקציה יורדת, השיפוע שלילי, וגרף הנגזרת עובר מתחת לציר ה-x. שוב — רק הצד קובע, לא הצורה.
בנקודת קיצון — גרף הנגזרת חותך את ציר ה-x
בנקודה שבה שיפוע הפונקציה הוא אפס, הנגזרת שווה לאפס, ולכן תוואי הנגזרת נוגע בציר ה-x — חותך אותו. כיוון החיתוך מספר אם זה מקסימום או מינימום:
אם גרף הנגזרת עובר ממעל הציר למתחתיו (כלומר הפונקציה עולה ואז יורדת) — זו נקודת מקסימום. אם הוא עובר ממתחת הציר למעליו (הפונקציה יורדת ואז עולה) — זו נקודת מינימום.
תזוזה של הפונקציה — מה משתנה בגרף הנגזרת?
כאן מסתתרת אינטואיציה יפה. נסו לדמיין שאתם מזיזים את כל גרף הפונקציה:
תזוזה אנכית — כלומר הרמת הפונקציה כולה כלפי מעלה או הורדתה כלפי מטה — אינה משנה את גרף הנגזרת בכלל. הגיוני: השיפוע בכל נקודה נשאר בדיוק אותו שיפוע, כי הזזנו את כל העקום באותה מידה. הוספת קבוע לפונקציה לא משנה את הנגזרת.
תזוזה אופקית — הזזת הפונקציה ימינה או שמאלה — כן מזיזה את גרף הנגזרת, ובאותו כיוון בדיוק ובאותה מידה. השיפועים נשארים זהים, אבל הם "קורים" עכשיו בערכי x אחרים.
הנגזרת השנייה כגרף — קמור, קעור ופיתול
אותו היגיון חל על הנגזרת השנייה, שגם לה תוואי משלה — אבל היא מספרת על צורת הפונקציה, לא על כיוונה:
כשהפונקציה קמורה (מחייכת כלפי מעלה), הנגזרת השנייה חיובית והתוואי שלה מעל ציר ה-x. כשהפונקציה קעורה (כמו כיפה), הנגזרת השנייה שלילית והתוואי שלה מתחת לציר. ובנקודת הפיתול — המעבר בין קעור לקמור — הנגזרת השנייה שווה לאפס:
שימו לב להבחנה החשובה: מיקום גרף הנגזרת השנייה ביחס לציר תלוי רק בצורת הפונקציה (קעורה או קמורה), ולא בכיוון שלה. פונקציה יכולה לעלות ולהיות קעורה, או לעלות ולהיות קמורה — הכיוון נקרא מהנגזרת הראשונה, הצורה מהשנייה.
מקרי-קצה בחקירת-פונקציה — איפה הכללים הרגילים מועדים
בחקירה רגילה התהליך מסודר: מאתרים נקודות שבהן הנגזרת הראשונה מתאפסת, ואז בודקים בעזרת הנגזרת השנייה אם מדובר במקסימום (שלילית) או מינימום (חיובית). רוב הזמן זה עובד חלק. אבל יש שלושה מקרים שבהם המבחן הרגיל נכשל — והם בדיוק מה שמפריד בין מי שלמד נוסחה לבין מי שמבין מה קורה.
1. הנגזרת מתאפסת — אבל זו לא נקודת קיצון
כשהנגזרת הראשונה מתאפסת, יש שלוש אפשרויות, לא שתיים: מקסימום, מינימום, או נקודת פיתול. נקודה שבה השיפוע אפס היא רק "חשודה" כקיצון — לא הוכחה. הדוגמה הקלאסית היא הפונקציה:
נגזור ונשווה לאפס:
השיפוע ב-x = 0 הוא אפס — לכאורה מועמדת לקיצון. אבל נסתכל על הנגזרת הראשונה משני צידי האפס: f'(x) = 3x^2 היא ריבוע, ולכן חיובית גם לימין האפס וגם לשמאלו. כלומר הפונקציה עולה משני הצדדים — היא רק "מתשטחת" לרגע באפס וממשיכה לעלות. זו אינה נקודת קיצון אלא נקודת פיתול נייחת: השיפוע נעצר באפס, אבל הכיוון לא מתהפך.
2. הנגזרת השנייה מתאפסת — והמבחן לא מכריע
מה עושים כשמגיעים לנקודה החשודה ומגלים שגם הנגזרת השנייה שווה לאפס? נמשיך עם f(x) = x^3:
כאן מבחן הנגזרת השנייה פשוט שותק. הוא יודע לומר "שלילית = מקסימום" ו"חיובית = מינימום", אבל מול אפס אין לו תשובה. במצב הזה לא ממציאים — חוזרים לכלי הבטוח: בודקים את סימן הנגזרת הראשונה משני צידי הנקודה. אם הסימן מתהפך (פלוס ואז מינוס, או להפך) — זה קיצון. אם הסימן נשאר זהה משני הצדדים, כמו אצל x^3 — זו נקודת פיתול. הכלל: כשהנגזרת השנייה מתאפסת, היא לא פוסלת ולא מאשרת קיצון; ההכרעה חוזרת לבדיקת-הסימן של הנגזרת הראשונה.
3. כשאין בכלל נקודה ששיפועה אפס
לפעמים פותרים את f'(x) = 0 ומגלים שאין פתרון. זה לא כישלון — זו תשובה. קחו פונקציה לינארית:
הנגזרת היא קבוע, 5, ולעולם אינה שווה לאפס. המשמעות פשוטה: זה קו ישר ששיפועו 5 לכל אורכו, ולכן אין בו אף נקודה ששיפועה אפס — אין מקסימום ואין מינימום פנימיים. כשמקבלים נגזרת קבועה השונה מאפס, זה הסימן שהפונקציה מונוטונית (עולה תמיד או יורדת תמיד), ואת הקיצון, אם יש בעיה עם תחום חסום, יש לחפש בקצוות — לא בפנים.
שלושת המקרים האלה חולקים לקח אחד: "הנגזרת מתאפסת" אינה סוף החקירה אלא תחילתה. השיפוע האפס רק מצביע על נקודה ששווה לבדוק — והבדיקה, לא ההיעלמות, היא שקובעת מה באמת קורה שם.