הנגזרת

נגזרת – הקדמה

המתמטיקאים מצאו דרך להפיק מכל פונקציה (שנכנה אותה פונקציה מקורית), פונקציה נוספת שנקראת פונקציית הנגזרת או בקיצור: נגזרת, שבאמצעותה ניתן לחשב את השיפוע של משיק לפונקציה בכל נקודה על הפונקציה המקורית. תוצאת הנגזרת בערך x כלשהו, נוקבת בשיפוע של הפונקציה באותו ערך של x. לדוגמה, כאשר x = 2 ותוצאת הנגזרת היא 3, אזי שיפוע הפונקציה באותו ערך של x הוא 3. השם נגזרת בא לציין שהיא נגזרת מהפונקציה המקורית. הנגזרת מבוססת על תחכום שאת עקרונותיו נסביר מיד.

סימולים

אם סימול הפונקציה המקורית הינו f(x). סימול הנגזרת של הפונקציה יהיה f′(x) (מוסיפים ').

התחכום שעליו מבוססת נגזרת

רקע

השיפוע של הפונקציה בנקודה A כלשהי, מתקבלת משיפוע המשיק שלה שהוא קו ישר, אך כדי לחשב שיפוע של קו ישר, אנו צריכים מידע לגבי 2 נקודות ציון עליו. לצערנו המידע הידוע לנו מתייחס לנקודה A בלבד – היא נקודת ההשקה.

התחכום בליווי תרשים 3.1

1. מעבירים קו ישר שפוגש ב-2 נקודות על העקום. בנקודה A ובנקודה B, הקרובה לה מימין. נסמל את הקו הישר ב-(1).
2. אנו מקרבים את נקודה B ל-A על גבי עקום הפונקציה, עד כדי מרחק אפסי ביניהם. כשהמרחק ביניהם אפסי, אנו מכנים זאת מצב של התלכדות (בנקודת ההתלכדות A ו-B צמודות). בנקודת ההתלכדות הקו (1) הופך למעשה להיות המשיק של נקודה A. בהתנסחות מתמטית אנו אומרים כך: אנו מחשבים את שיפוע הקו המחבר בין B ל-A, כאשר B שואף ל-A. ציון המהלך ש-B שואף ל-A מסומן: [A ← B].
3. פונקציית הנגזרת מחשבת לנו את השיפוע שמתקבל בכל נקודה על העקום.

בתרשים הבא מוצגות על גבי פונקציה כלשהי 2 נקודות: A ו-B.

נקודת הציון של A היא: [x, f(x)]. נקודת הציון של B היא: [x_A, f(x_A)].

f(x) היא תוצאת הפונקציה בערך x. ‏f(x_A) היא תוצאת הפונקציה בערך x_A.

שיפוע קו (1) המחבר בין 2 הנקודות הוא [f(x_A) − f(x)] / [x_A − x] או ∆y/∆x.

כאשר x ← x_A, נקודה B מתקרבת לנקודה A עד כדי התלכדות.

ראוי לציין שערך הנגזרת בנקודה A אינו תלוי במיקום נקודה B, שכן גם אם נקודה B היתה נמצאת משמאל לנקודה A עדיין היינו מקבלים את אותו ערך המשיק בנקודה A.

הוכחת הנגזרת – מיותרת לכלכלנים

כיצד מגיעים מהפונקציה המקורית לנגזרת. לדעתנו, ההסבר, שאינו מסובך במיוחד, מיותר לחלוטין עבור כלכלנים, שכן הוא לא תורם מאומה לעבודת הכלכלן. כפי שנסביר בהמשך, ישנם כללים מנחים לחישוב נגזרת מהפונקציות המקוריות. לכללים המנחים נקרא: חוקי הגזירה והם יפורטו בהמשך. כמו כן, כדי לצאת ידי חובה, נציג בהמשך גם את הוכחת הנגזרת לפונקציה המבוססת על חזקה שצורתה f(x) = xⁿ ‏(n הוא פרמטר). דרך ההוכחה של פונקציה בחזקה, דומה להוכחת שאר הנגזרות.

פונקציה ומרכיביה

הקדמה

פרק קצר זה מקדים את פרק "חוקי הגזירה" והוא מיועד בעיקר לחסרי רקע מתמטי. נדון בו במהלכים פשוטים ומובנים מאליהם. מרבית הפונקציות מכילות יותר מאיבר אחד. לכל אחד מהאיברים נקרא פונקציית משנה. הקשר המתמטי בין פונקציות המשנה מכתיב את מבנה הפונקציה הראשית. הקשר החשבונאי בין המרכיבים יכול להיות חיבור, חיסור, כפל וחילוק. ישנן פונקציות שבהן עשויות להיות נקודות שבהן הנגזרת לא מוגדרת. בכל הפונקציות שאנו נתייחס אליהן הנגזרת תהיה מוגדרת בכל נקודה שבה מוגדרת הפונקציה.

דוגמאות פשוטות לקשר המתמטי של פונקציות המשנה

1. f(x) = 3x² + 6x + 7 (חיבור של 3 פונקציות משנה).
2. f(x) = 3x² + 6x – 7 (חיבור וחיסור של פונקציות משנה).
3. f(x) = 3x² ⋅ 6x – 7 (מכפלה וחיסור של פונקציות משנה).
4. f(x) = 3x² / 6x (חילוק של פונקציות משנה).

דוגמאות יותר מורכבות

5. f(x) = 2(x + 3)² + (x − 3)³/4.
6. f(x) = 2(x + 3)² / [(x − 3)³/4].

סימולים

הפונקציה הראשית מסומלת f(x). בפונקציות המשנה האות f מתחלפת באות אחרת. כל פונקציית משנה תקבל אות שונה. האותיות הפופולריות הן: g(x), h(x), l(x), אך כל אות מתקבלת בברכה.

פירוק והרכבה של פונקציות משנה

ישנן פונקציות משנה שניתן לפרקן לתת-פונקציות. לדוגמה: את פונקציית המשנה (x − 3)² ניתן לפרק ל-x² – 6x + 9. הפירוק נעשה אם יש בכך טעם והוא משרת את מטרתנו. מנגד אנו יכולים להרכיב פונקציה מתת-פונקציות אם זה משרת את מטרתנו. למשל להרכיב את 3 תת-הפונקציות: 3x + 5x + 2x לפונקציה אחת 10x.

מינוחים מקובלים לקשר שבין הפונקציה הראשית לפונקציות המשנה

מונחים

x בחזקה – לפונקציה ראשית או משנית שמכילה רק x בחזקה כלשהי כגון x¹ או x⁶, נקרא x בחזקה. לדוגמה: הפונקציה היא x בחזקה: f(x) = x⁴. כל אחת מפונקציות המשנה היא x בחזקה: f(x) = x² + x⁵ − x⁶.

כופל – לאיברים המשתתפים בפעולת כפל ואינם משתנה, קוראים: כופל. דוגמאות: במכפלה [6⋅x], ‏6 הוא כופל. במכפלה [a⋅x²], ‏a הוא כופל. במכפלה [(a+3)⋅x], ‏(a+3) הוא כופל.

שינוי פני הפונקציה

במתמטיקה ניתן להפיק ערך מוסף בכך "שתורמים" לפונקציה כלשהי 2 פונקציות משנה בעלות אותו מבנה, אך הן מוצבות בצורה מנוגדת כך שהן מנטרלות אחת את השנייה ואינן משפיעות על תוצאת הפונקציה. כך:

• אם פונקציית משנה אחת מוצבת עם סימן +, השנייה מוצבת עם סימן -. לדוגמה: [f(x) + 6x − 6x]. ‏f(x) היא הפונקציה המקורית.
• אם פונקציית משנה אחת מוצבת ככפל, השנייה מוצבת כחילוק. לדוגמה: f(x) ⋅ [(x + 1)/(x + 1)].

אין הגדרה מדוייקת מהי פונקציית משנה ומהי תת-פונקציית משנה

אין ולא יכולה להיות הגדרה חד משמעית לאיזה פונקציה קוראים: פונקציית משנה ולאיזה: תת-פונקציית משנה. הרשות נתונה לכל אחד להחליט על פי נוחיותו ומטרותיו. לדוגמה נתייחס לפונקציה f(x) = 4(x + 2)²/(x + 1) − (x − 1)/(x + 2)². אדם מסוים יכול לקרוא פונקציית משנה לכל האיבר [4(x + 2)²/(x + 1)] ולקרוא תת-פונקציה למונה בנפרד ולמכנה בנפרד. אדם אחר, לעומת זאת, יכול לקרוא פונקציית משנה למונה בנפרד ולמכנה בנפרד.

חוקי הגזירה

רקע

בהסבר, נתייחס לפונקציות שבהם x הוא המשתנה ו-y התוצאה. הסימול של הפונקציה הוא f(x) והסימול של הנגזרת f'(x). כזכור הנגזרת היא גם בעצמה פונקציה. במסגרת הפרק נציג את חוקי הגזירה של 5 סוגי פונקציות:

1. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי [f(x) = xⁿ]. ‏n מייצג מספר כלשהו.
2. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי בתוספת כופל [f(x) = k ⋅ xⁿ]. ‏k מסמל כופל.
3. פונקציה המורכבת מחיבור של פונקציות משנה [f(x) = h(x) + g(x)].
4. פונקציה המורכבת ממכפלה של פונקציות משנה [f(x) = h(x) ⋅ g(x)].
5. פונקציה המורכבת ממנה של פונקציות משנה [f(x) = h(x) / g(x)].

1. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי

לדוגמה: f(x) = x³. לקבלת הנגזרת מתבצעים 2 שינויים בפונקציה המקורית:

1. החזקה הופכת להיות כופל של x. ‏3x³ ← x³.
2. את החזקה מחליפה חזקה שקטנה מהמקורית בדרגה אחת כך שהנגזרת בדוגמה שלנו: f'(x) = 3x².

דוגמאות נוספות

מסקנות מדוגמה 4

הנגזרת של מספר a כלשהו היא תמיד 0. וההסבר: המכפלה של a ב-x⁰ שווה ל-a, היות ו-x⁰ = 1. כלומר ax⁰ = a. לכן, הנגזרת של a ⋅ x⁰ שווה ל-0 ‏(0 ⋅ ax^-1 = 0).

נגזרת של חזקות שליליות, שורשים וחזקות בשברים

באופן כללי: הנגזרות הן על בסיס אותו עקרון של חזקות רגילות. (xⁿ)′ = n ⋅ xⁿ⁻¹

דוגמה 1

הפונקציה: f(x) = 1/x². הפתרון (ב-2 מהלכים):
I. הצגה שונה של הפונקציה: f(x) = x⁻².
II. הנגזרת: f′(x) = −2x⁻³.

דוגמה 2

הפונקציה: f(x) = ⁷√(x²). הפתרון (ב-2 מהלכים):
I. הצגה שונה של הפונקציה: f(x) = (x²)^1/7 = x^2/7.
II. הנגזרת: f′(x) = (2/7)x^−5/7 = (2/7) ⋅ 1/x^5/7.

2. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי בתוספת כופל

לדוגמה: f(x) = 6 ⋅ x³. גוזרים את הפונקציה כאילו אין כופל ואת התוצאה מכפילים בכופל. התוצאה: 6 ⋅ 3x² = 18x².

3. פונקציה המורכבת מחיבור של פונקציות משנה

לדוגמה: f(x) = g(x) + h(x) + l(x). הסימן לפני הפונקציה יכול להיות גם חיובי וגם שלילי, לדוגמה: f(x) = −g(x) + h(x) − l(x).

הנגזרת: הנגזרת היא סכום הנגזרות של פונקציות המשנה, בהתייחס לסימן המתלווה לכל פונקציית משנה.

לדוגמה: f(x) = 2x⁸ + 4x⁷ − 3x⁶ − 2x¹
f'(x) = 16x⁷ + 28x⁶ − 18x⁵ − 2

4. פונקציה המורכבת ממכפלה של 2 פונקציות משנה

לדוגמה: f(x) = g(x) ⋅ h(x) ‏(g(x) – פונקציה א', h(x) – פונקציה ב').

הנגזרת מתקבלת כסכום של 2 איברים:

איבר 1: g′(x) ⋅ h(x) (נגזרת של פונקציה א', כפול פונקציה ב').
איבר 2: g(x) ⋅ h′(x) (פונקציה א', כפול נגזרת של פונקציה ב').

והתוצאה הסופית: f′(x) = g′(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h′(x).

דוגמה – הפונקציה: f(x) = x⁵ ⋅ 6x³. הנגזרת: f′(x) = 5x⁴ ⋅ 6x³ + x⁵ ⋅ 18x².

5. פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות משנה

לדוגמה: f(x) = g(x) / h(x). צורת הנגזרת היא גם מנה של 2 פונקציות.

המונה: המונה שווה לנגזרת שמתקבלת ממכפלת 2 הפונקציות, כלומר: f′(x) = g′(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h′(x)

המכנה: המכנה הוא המכנה של הפונקציה (h(x)) בריבוע, כלומר [h(x)]².

והתוצאה הסופית: f′(x) = [g′(x) ⋅ h(x) + g(x) ⋅ h′(x)] / [h(x)]²

דוגמה – הפונקציה: f(x) = 6x³ / 2x⁵. הנגזרת: f′(x) = [18x² ⋅ 2x⁵ + 6x³ ⋅ 10x⁴] / (2x⁵)²

תוספת לחוקי הגזירה

נגזרת של e^x – הנגזרת של e^x היא e^x, כלומר אין שינוי.

נגזרת של ln(x) – הנגזרת היא 1/x.

קצת לידע כללי: e הינו קבוע מתמטי שערכו e ≈ 2.71828 (בקירוב) ומשמש כבסיס הלוגריתם הטבעי ln.

תזכורת מתמטית

חזקות

חזקה היא מהצורה Xⁿ, כאשר X מבטא את בסיס החזקה ו-n את מעריך החזקה. במקרה של Xⁿ – מכפילים את X בעצמו n פעמים. לדוגמה: X³ = X⋅X⋅X.

חזקות שליליות

כל איבר בחזקה שלילית שווה ל-1 חלקי אותו איבר בחזקה חיובית. לדוגמה: 1/x² = x⁻² ; 1/x⁷ = x⁻⁷ ; 1/x^3/4 = x^−3/4.

שורש m

הביטוי [^m√x]: מכונה: שורש m של x. הביטוי [⁶√(x+2)]: מכונה: שורש שישי של (x+2). הביטוי [⁴√((x+2)²)]: מכונה: שורש רביעי של (x+2)². לביטוי בתוך השורש נקרא, לצורך ההסבר: נתון (הנתון יכול להיות מכל צורה שהיא). הערה: כשמתייחסים לשורש 2 של נתון כלשהו, למשל ²√x, מקובל להשמיט את הספרה 2 מעל השורש וצורת הביטוי היא √x.

הצגה חלופית של שורש m

שורש m של נתון כלשהו למשל ^m√x שווה לנתון בחזקת שבר, שהמונה שלו 1 והמכנה m. כלומר x^1/m = ^m√x. הניסוח המילולי של השיוויון הוא: שורש m של x שווה ל-x בחזקת 1/m. ניתן כמובן לעבור משורשים לחזקות ולהיפך, בהתאם לצורך.

דוגמאות

1) ⁶√x = x^1/6. 2) ⁸√(x²) = (x²)^1/8 = x^2/8 = ⁴√x.

חוקי החזקות

I. חזקה של [נתון בחזקה]. למשל (5³)² ‏(5 הוא הנתון). התוצאה 5⁶ = 5^2⋅3 (כופלים את החזקות). דוגמאות נוספות: (x³)⁶ = x¹⁸ ; (x^1/2)² = x¹ ; (x^1/8)² = x^1/4.

II. נתון בחזקה כפול אותו נתון בחזקה. למשל x² ⋅ x³. התוצאה x⁵ = x²⁺³ (חיבור 2 החזקות). דוגמאות נוספות: 2⁹ = 2⁶ ⋅ 2³ ; x^2.5 = x^1/2 ⋅ x² ; x⁻³ = x³ ⋅ x⁻⁶.

תרגול

מלא את המשבצות הריקות בטבלה.

פונקציה מורכבת

נתחיל בדוגמה של פונקציה מורכבת שצורתה: f(x) = (3x² + 8x + 9)³.

אנו מתייחסים לביטוי בתוך הסוגריים כפונקציית משנה, המשתלבת בתוך הפונקציה העיקרית. את פונקציית המשנה נסמל g(x) ובקיצור g. צורת פונקציית המשנה וסימולה: g = 3x² + 8x + 9.

נציב בפונקציה העיקרית את הסימול g במקום פונקציית המשנה ונקבל [g]³. אך היות ו-g הוא גם משתנה בעצמו, אזי כאשר מציבים את g במקום פונקציית המשנה, הפונקציה העיקרית במתכונת החדשה הופכת להיות פונקציה של g שצורתה וסימולה הוא: f(g) = [g]³.

פרשנות

g משמש ב-2 תפקידים:

1. הוא מהווה את הסימול של פונקציית המשנה [g = 3x² + 8x + 9].
2. הוא בעצמו משתנה ולפיכך סימול הפונקציה שבה הוא מהווה משתנה, וצורתה, הם: f(g) = [g]³.

הבחנה בין 3 פונקציות

1. הפונקציה העיקרית f(x) = (3x² + 8x + 9)³.
2. פונקציית המשנה g = 3x² + 8x + 9.
3. הפונקציה ש-g הוא משתנה בה f(g) = [g]³.

טכניקת הגזירה של הפונקציה העיקרית f(x)

הגזירה מבוצעת ב-3 מהלכים:

מהלך 1 – גוזרים את f(g) והתוצאה: f′(g) = 3[g]².
מהלך 2 – גוזרים את פונקציית המשנה והתוצאה: g′ = 6x + 8.
מהלך 3 – כופלים את התוצאות של 2 המהלכים, כשתוך כדי מציבים במקום g את פונקציית המשנה. התוצאה היא הנגזרת של f(x).

f′(x) = 3(3x² + 8x + 9)² ⋅ (6x + 8)

דוגמאות

דוגמה 1 – נתונה הפונקציה f(x) = e^5x². חשב את f′(x).

פתרון:

1. התארגנות – נתייחס לביטוי (5x²) כפונקציית משנה ונסמלה ב-g. ומכאן: f(g) = e^(g).
2. מהלכי הפתרון – I. נגזור את f(g) ונקבל f′(g) = e^(g). II. נגזור את g ונקבל g′ = 10x. III. נכפיל את 2 התוצאות ונציב את פונקציית המשנה במקום g. התוצאה: f′(x) = e^5x² ⋅ 10x.

המחשת המשמעות של הנגזרת

בתרשים 3.2 מוצגת הפונקציה f(x) = ½x² − 5x + c ‏(ה-c תלוי בנקודת חיתוך עם y) ומתחתיה הנגזרת שלה f′(x) = x − 5.

בתרשים 3.3 (שבעמוד הבא) מוצגת הפונקציה f(x) = −½x² + 5x + c ‏(ה-c תלוי בנקודת חיתוך עם y) ומתחתיה פונקציית הנגזרת שלה f′(x) = −x + 5.

ב-2 התרשימים, ציר ה-x של פונקציית הנגזרת זהה לזה של הפונקציה המקורית. המספרים לצד הנקודות בפונקציה המקורית, מציינים את שיפוע הפונקציה באותן נקודות, כפי שהתקבלו מתוך הנגזרת שמתחתיה. שכן, תוצאת הנגזרת בערך x כלשהו נוקב בשיפוע הפונקציה באותו ערך של x.

לדוגמה, בתרשים 3.3:

1. כאשר x = 3, תוצאת הנגזרת היא 2 (בנקודה B בנגזרת, f′(3) = −3 + 5) וזה השיפוע של הפונקציה המקורית באותו ערך (נקודה B בפונקציה).
2. כאשר x = 5, תוצאת הנגזרת היא 0 (נקודה D בנגזרת) וזה השיפוע של הפונקציה המקורית באותו ערך (נקודה D בפונקציה).
3. כאשר x = 7, תוצאת הנגזרת היא -2 (נקודה F בנגזרת) וזה השיפוע של הפונקציה המקורית באותו ערך (נקודה F בפונקציה).

נגזרת עולה ונגזרת יורדת

הנגזרת בתרשים 3.2 עולה, והמשמעות: השיפועים של הפונקציה הולכים ועולים (עקום קמור). הנגזרת בתרשים 3.3 יורדת. והמשמעות: השיפועים של הפונקציה הולכים ויורדים (עקום קעור).

שימושי הנגזרת

השימוש העיקרי בנגזרת הוא למצוא את הנקודות על הפונקציה שהשיפוע בהן הוא 0. נקודות אלו יכולות להיות משני סוגים:

1. נקודות קיצון – נקודות קיצון מקסימלי או נקודות קיצון מינימלי.
2. נקודות פיתול.

הן בתרשים 3.2 והן בתרשים 3.3 כאשר x = 5 השיפוע = 0.

נגזרת שנייה

סימולה f′′(x)

הקדמה

נגזרת היא פונקציה ככל פונקציה וגם ממנה אשר להפיק נגזרת. כאשר מפיקים נגזרת מנגזרת, מכנים את האחת נגזרת ראשונה ואת האחרונה נגזרת שנייה. שרשרת הפונקציות וסימולן הוא כדלקמן:

פונקציה מקורית f(x).
נגזרת ראשונה f'(x).
נגזרת שנייה f''(x).

המשמעות של הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה נותנת ביטוי למגמת השינויים שחלים בשיפוע פונקציית המקור. כאשר הנגזרת השנייה חיובית, שיפועי פונקציית המקור הולכים וגדלים. קצב הגידול בשיפועים הוא בהתאם לתוצאה המתקבלת. אם התוצאה היא 2, אזי השיפוע גדל ב-2 עם כל צעד נוסף.

ניעזר בדוגמאות

דוגמה בליווי תרשים 3.4

פונקציה מקורית f(x) = x².
נגזרת I‏ f'(x) = 2x.
נגזרת II‏ f''(x) = 2.

המשמעות: כאשר f''(x) = 2, שיפוע הפונקציה המקורית גדל ב-2 יח' בכל פסיעה. כאשר x = 0, השיפוע הוא 0. כאשר x = 1, השיפוע הוא 2. כאשר x = 2, השיפוע הוא 4. כאשר x = 3, השיפוע הוא 6.

גם בתחום שבו הפונקציה יורדת (שיפוע שלילי), השיפועים גדלים ב-2 מפסיעה לפסיעה. למשל: כאשר x = -3, השיפוע הוא -6. כאשר x = -2, השיפוע הוא -4. כאשר x = -1, השיפוע הוא -2. כאשר x = 0, השיפוע הוא 0.

דוגמה בליווי תרשים 3.5

פונקציה מקורית f(x) = −x².
נגזרת I‏ f′(x) = −2x.
נגזרת II‏ f′′(x) = −2.

המשמעות: שיפועי הפונקציה המקורית קטנים ב-2 בכל פסיעה.

המידע המתקבל מהנגזרת השנייה – הרחבה

כאשר הנגזרת השנייה חיובית בערך x כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קמורה באותו ערך x. כמו כן, כאשר הנגזרת השנייה חיובית לאורכו של קטע כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קמורה באותו קטע ‏(f′′ > 0 ⇔).

כאשר הנגזרת השנייה שלילית בערך x כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קעורה באותו ערך x. כמו כן, כאשר הנגזרת השנייה שלילית לאורך קטע כלשהו, אזי הפונקציה המקורית קעורה באותו קטע ‏(f′′ < 0 ⇔).

השימוש המעשי בנגזרת השנייה

רקע

בעזרת הנגזרת השנייה אנו יכולים לקבוע גם ללא שימוש בתרשימים, לאיזה סוגי עקומים משתייכת נקודה ששיפועה 0. יש לכך חשיבות רבה.

אם היא משתייכת לעקום קמור, הנקודה אמורה להיות נקודת מינימום. אם היא משתייכת לעקום קעור, הנקודה אמורה להיות נקודת מקסימום. אם היא נמצאת בתווך של 2 סוגי עקומים, היא נקודת פיתול. את הנקודה שבה השיפוע 0 נכנה נקודת ה-0.

בדיקת ההשתייכות, והמסקנות

אם הנגזרת השנייה חיובית ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת ה-0 משני צידיה, נקודת ה-0 משתייכת לעקום קמור ומהווה לפיכך נקודת מינימום. אם הנגזרת השנייה שלילית ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת ה-0, נקודת ה-0 משתייכת לעקום קעור ומהווה לפיכך נקודת מקסימום. אם הנגזרת השנייה בנקודה סמוכה אחת חיובית ובשנייה שלילית, נקודת ה-0 נמצאת בין 2 סוגי עקומים ומהווה לפיכך נקודת פיתול.

דוגמאות להמחשה

רק באמצעות דוגמאות ניתן לעכל בהדרגה את התרומה של הנגזרת השנייה. דוגמה 1

דוגמה 1

1. הדוגמה מתייחסת לפונקציה מקורית שצורתה f(x) = x² − 6x.
2. נניח שאת התוואי שלה אנו לא יודעים.
3. באמצעות הנגזרת הראשונה אנו יכולים לוודא אם ישנן בתוואי הפונקציה נקודות שבהן השיפוע = 0 והיכן (באיזה ערכים של x הן נמצאות). צורת הנגזרת היא: f'(x) = 2x − 6. שיפוע 0 מתקבל רק כאשר f'(x) = 0. כלומר, כאשר 2x − 6 = 0 והתוצאה x = 3. והמשמעות, כאשר x = 3 השיפוע של תוואי הפונקציה הוא 0.
4. היות ואנו לא מכירים את תוואי הפונקציה, אנו לא יודעים אם מדובר בנקודת מקסימום או מינימום או נקודת פיתול.
5. כדי לוודא איזה מ-3 האפשרויות היא הנכונה עלינו למצוא את הנגזרת השנייה. צורת הנגזרת השנייה היא f''(x) = 2. מתוך התוצאה אנו לומדים שהנגזרת השנייה חיובית (2) לכל אורך הפונקציה המקורית, שמשמעותה, השיפועים בפונקציה המקורית עולים ב-2 עם כל פסיעה. ברור מכאן, שגם ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת האפס, הנגזרת השנייה חיובית ושווה ל-2. נניח שהנקודות הסמוכות מתייחסות לערכי x של 2.9 ו-3.1. ב-2 הערכים הללו הנגזרת השנייה חיובית ולפיכך נקודת ה-0 היא נקודת קיצון מינימלית.

דוגמה 2 – הפונקציה המקורית: f(x) = 4 + 5x. נגזרת ראשונה: f′(x) = 5. בדוגמה זו אין בפונקציה נקודה שבה השיפוע 0. אנו כמובן יודעים שמדובר בפונקציה שמייצגת קו ישר ששיפועו 5 לכל אורכו ולפיכך אין בו נקודה ששיפועה 0.

דוגמה 3 – הפונקציה המקורית: f(x) = −3x² − 2x. נגזרת ראשונה: f′(x) = −6x − 2.

נגזרת שנייה:

f′′(x) = −6. מתוך התוצאה אנו למדים שהנגזרת השנייה שלילית לכל אורך הפונקציה המקורית, שמשמעותה, השיפועים בפונקציה המקורית יורדים ב-6 עם כל פסיעה. ברור מכאן, שגם ב-2 הנקודות הסמוכות לנקודת האפס, הנגזרת השנייה שלילית ומכאן שמדובר בנקודת קיצון מקסימלית.

המאפיינים המעניינים בקשר שבין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרות

תת-פרק זה נועד לחדד את ההסברים בתת-הפרק שקדם לו.

כשהפונקציה עולה הנגזרת הראשונה חיובית

(קטע I בתרשים 3.5 וקטע I' בתרשים 3.6). כאשר הפונקציה עולה (שיפוע חיובי) תוואי הנגזרת (הראשונה) עובר מעל ציר ה-x (מעל ה-0). קטע I' בתרשים 3.6 מתייחס לקטע I בפונקציה שהוא קטע עולה. בתרשים 3.6 הצגת התוואי היא סכמטית בלבד. היא נועדה רק לציין שתוואי הנגזרת עובר מעל ציר ה-x. לשיפוע הקו או לכל צורה אחרת שלו אין כל משמעות.

כשהפונקציה יורדת הנגזרת הראשונה שלילית

(קטע II בתרשים 3.5 וקטע II' בתרשים 3.6). כאשר הפונקציה יורדת (שיפוע שלילי) תוואי הנגזרת עובר מתחת לציר ה-x (מתחת ה-0). קטע II' בתרשים 3.6 מתייחס לקטע II בפונקציה, שהוא קטע יורד. קטע II' הוא סכמטי. הוא נועד רק לציין שתוואי הנגזרת עובר מתחת לציר ה-x.

כשהפונקציה בשיפוע 0 הנגזרת חותכת את ציר ה-x

כאשר שיפוע הפונקציה 0 (=נקודת קיצון), הנגזרת שווה ל-0 והמשמעות היא שתוואי הפונקציה חותך את ציר ה-x. כאשר קטע I' הוא מעל ציר ה-x וקטע II' מתחתיו, נקודת הקיצון היא: מקסימום. כאשר קטע I' הוא מתחת ציר ה-x וקטע II' מעליו, נקודת הקיצון היא: מינימום.

השלכות מתוצאות הנגזרת על תוואי הפונקציה

1. כשהנגזרת חיובית אנו יודעים שהפונקציה עולה, אך לא מעבר לכך. אנו לא יודעים את צורתה המדוייקת. היא יכולה להיות קעורה, קמורה או לינארית.
2. כשהנגזרת שלילית אנו יודעים שהפונקציה יורדת, אך לא מעבר לכך. אנו לא יודעים את צורתה המדוייקת.
3. כשהנגזרת שווה ל-0 אנו יודעים שהפונקציה עשויה להיות בנקודת קיצון. כדי לוודא אם זו נקודת מקסימום או מינימום עלינו למצוא את תוואי הנגזרת משני צידיה.

ההשלכות של תזוזת הפונקציה במישור הצירים, על תוואי הנגזרת

(תרשימים 3.7, 3.8, 3.9 ו-3.10)

תזוזה אנכית של הפונקציה (תרשימים 3.7 ו-3.8)

תרשימים 3.7 ו-3.8 מבוססים על תרשימים 3.5 ו-3.6. תזוזה אנכית של הפונקציה ממיקומה במועד א', הן כלפי מעלה והן כלפי מטה, כפי שמוצג בתרשים 3.7, לא משנה את התוואי הסכמטי של הנגזרת (הקווים המקווקוים בתרשים 3.7 מייצגים את מיקום תוואי הפונקציה בתזוזות האנכיות).

תזוזה אופקית של הפונקציה (תרשימים 3.9 ו-3.10)

תרשימים 3.9 ו-3.10 מבוססים על תרשימים 3.7 ו-3.8. תזוזה אופקית של הפונקציה, ימינה או שמאלה, גורמת במקביל לתזוזה באותו כיוון של התוואי הסכמטי של הנגזרת.

הקשר בין תוואי הפונקציה לתוואי הנגזרת השנייה

(תרשימים 3.11 ו-3.12)

כאשר הפונקציה קמורה, הנגזרת השנייה חיובית (והתוואי שלה מעל לציר ה-x). כאשר הפונקציה קעורה, הנגזרת השנייה שלילית (התוואי שלה מתחת ציר ה-x). בנקודת הפיתול, הנגזרת השנייה שווה ל-0.

שיפוע הפונקציה, חיובי או שלילי, לא משפיע על מיקום תוואי הנגזרת השנייה ביחס לציר ה-x (מעליו או מתחתיו). מיקום תוואי הנגזרת השנייה ביחס לציר ה-x, מושפע רק מצורת הפונקציה, קעורה או קמורה.

בתרשים 3.11: קטע I מתחיל בשיפוע חיובי ומסתיים בשיפוע שלילי, אך תוואי הנגזרת השנייה המתייחס אליו נמצא מתחת ל-0 לכל אורכו. קטע II מתחיל בשיפוע שלילי ועובר לשיפוע חיובי, אך תוואי הנגזרת השנייה המתייחס אליו נמצא מעל ה-0 לכל אורכו.

דוגמה

תרשים 3.13 מציג את תוואי הנגזרת השנייה של פונקציה כלשהי. התוואי מחולק ל-4 קטעים (בין פיתול לפיתול מפרידה נקודה). על גבי כל קטע ציינו בסוגריים את מאפייני הפונקציה המקורית באותם קטעים וביניהם.

חקירת הפונקציה

חקירת תוואי הפונקציה על בסיס הנוסחה שלה בלבד

הקדמה

במסגרת חקירת תוואי הפונקציה, אנו מנסים לשרטט את התוואי, באופן סכמטי, תוך התייחסות בעיקר לנקודות הציון הבאות:

1. נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x וה-y.
2. נקודות קיצון (מינימום ומקסימום).
3. תחומים בהם היא עולה או יורדת.
4. נקודות פיתול.
5. תחומים בהם היא קמורה, קעורה או ישרה.

טכניקת החקירה

את המידע אנו מקבלים מ-3 מקורות:

1. הפונקציה עצמה.
2. הנגזרת הראשונה.
3. הנגזרת השנייה.

המידע המתקבל מהפונקציה

באמצעות הפונקציה אנו יכולים לחשב את מיקום נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x וציר ה-y. נקודת החיתוך עם ציר ה-x מתקבלת כאשר y=0. נקודת החיתוך עם ציר ה-y מתקבלת כאשר x=0.

המידע המתקבל מהנגזרת הראשונה

באמצעות הנגזרת הראשונה אנו מאתרים את הקטעים שבהם הפונקציה עולה או יורדת וכן את מיקום נקודות הקיצון, אם ישנן.

המידע המתקבל מהנגזרת השנייה

באמצעות הנגזרת השנייה אנו מוצאים את הקטעים שבהן הפונקציה קמורה או קעורה וכן את מיקומן של נקודות פיתול.

פונקציה רציפה ופונקציה מפוצלת

כאשר ניתן לשרטט את קו התוצאות של הפונקציה (= עקום הפונקציה), במשיכת קולמוס אחת (בלי להרים את היד מהדף), אזי אנו אומרים שהפונקציה רציפה. לדוגמה, הפונקציה f(x) = ax + b (קו ישר) ניתנת לשרטוט במשיכה אחת. מנגד, ישנן פונקציות שלא ניתן לשרטט במשיכה אחת.

דוגמאות

1. בפונקציה f(x) = 1/x המוצגת בתרשים הבא צריך פעם אחת להרים את היד על מנת להמשיך את השרטוט.

2. הפונקציה המוצגת בתרשים הבא "קופצת" כאשר x = 5 כך שצריך להרים את היד.

מקרא: • העקום מגיע עד לערך שמתחתיו, על ציר ה-x. ° העקום לא מגיע עד לערך שמתחתיו, על ציר ה-x, אלא רק נושק לו.

3. בפונקציה המוצגת בתרשים הבא הקו הישר נקטע כאשר x = 6 ובערך זה התוצאה היא 10 (נקודה C).

המשמעות של חילוק ב-0 (מונה כשבר עם 0 במכנה, למשל 4/0)

התוצאה של שבר שבו יש 0 במכנה אינה מוגדרת, אנו נוהגים לומר שהתוצאה שווה לאינסוף (∞). כלומר: לא קיים במערכת הצירים ערך של y שמשקף את התוצאה, או במילים אחרות, לא ניתן להציב את התוצאה על מערכת הצירים.

תוצאת הפונקציה f(x) = 1/x בנקודה x = 0, היא 1/0. כלומר תוצאה שאינה מוגדרת. אין לנו עבורה נקודה במערכת הצירים. תוואי הפונקציה מוצג בתרשים שבעמוד הקודם.