פונקציות בעלות 2 משתנים

פונקציות בעלות 2 משתנים – התייחסות גרפית

רקע

בפונקציה בעלת משתנה אחד, המשתנה שסימולו x מוצב על ציר ה-x והתוצאה שסימולה y מוצבת על ציר ה-y. תוואי הפונקציה עובר במישור הצירים. סימול הפונקציה f(x). בפונקציה בעלת 2 משתנים, משתנה אחד מוצב על ציר ה-x ומשתנה שני על ציר ה-y. כל "נקודת ציון" במישור מתייחסת ל-2 המשתנים (צמד המשתנים). תוצאת הפונקציה המתייחסת לאותו צמד מוצבת כנקודה במרחב מעל אותה נקודת ציון.

הצבת תוצאת הפונקציה במרחב

תוצאת הפונקציה המתייחסת לאותו צמד משתנים, מוצבת כנקודה במרחב מעל (או מתחת) אותה נקודת ציון בגובה התוצאה שהתקבלה. אם לדוגמה התוצאה היא 32, הנקודה במרחב תוצב בגובה של 32 יחידות, מעל נקודת הציון. אם התוצאה -35, הנקודה במרחב תוצב בגובה של -35 יחידות מתחת לנקודת הציון.

מדידת יחידות גובה במרחב

כדי למדוד יחידות גובה במרחב אנו נעזרים בציר נוסף המכונה ציר ה-z שעליו מסומנות יחידות גובה. הציר יוצא מראשית הצירים וניצב למישור הצירים כלפי מעלה וכלפי מטה. החלק שמעל למישור הצירים מייצג ערכים חיוביים והחלק שמתחת למישור מייצג ערכים שליליים. בנקודת המפגש עם מישור הצירים הערך הוא 0.

מעטפת התוצאות

כל מגוון התוצאות המתקבלות בפונקציה בעלת 2 משתנים יוצרות מעטפת (קליפה) של צורה תלת מימדית כלשהי, כגון: חצי כדור, קונוס, גליל, קונוס הפוך ועוד צורות שונות ומשונות שאין להן שם. המעטפת חלולה מבפנים. לצורך הפשטות, נניח תחילה שהמעטפת בכל הפונקציות נמצאת מעל מישור הצירים. בתרחיש זה כאשר נתייחס לנקודה כלשהי על המעטפת נאמר שהיא נמצאת מעל נקודת ציון כלשהי במישור הצירים.

המחשה של צורה תלת מימדית על משטח דו מימדי

ניתן לשרטט צורות תלת מימדיות פשוטות על גבי נייר, כדוגמת כדור או תיבה וכד'. כאשר הצורה מורכבת, קשה להמחישה בשרטוט ידני ואנו נדרשים לתוכנת מחשב, אך חשוב לציין שההמחשה מעניקה רק תחושה. היא אינה יכולה להיות מדוייקת מעצם העובדה שאנו דוחסים שלושה מימדים לתוך שניים.

ציון המיקום של נקודה במרחב

כל נקודה במרחב ניתנת לציון באמצעות שלושת המשתנים: x,‏ y ו-z. לדוגמה: הנקודה שערכי המשתנים שלה הם (3, 2, 6), נמצאת בגובה 6 מעל נקודת הציון (3,2). נקודה שערכי המשתנים שלה הם (-3, 2, -3), נמצאת בגובה -3 מתחת לנקודת הציון (-3, 2). למיקום הנקודה במרחב נקרא: נקודת ציון מרחבית והיא מוגדרת באמצעות 3 המשתנים של x,‏ y ו-z.

המחשות של פונקציה עם משתנה אחד ושני משתנים

פונקציה בעלת משתנה אחת ניתנת להמחשה באמצעות משטח דו מימדי. לאור זאת נקרא לה גם פונקציה שטוחה. פונקציה בעלת 2 משתנים ניתנת להמחשה באמצעות מרחב תלת מימדי. לאור זאת נקרא לה גם פונקציה מרחבית.

מערכת צירים של פונקציה שטוחה

1. מערכת צירים במישור x, y (תרשים 5.1)

כדי לשרטט פונקציה שטוחה, השתמשנו עד כה בצירים x ו-y שהם משטח אופקי ("רצפה"). היות וציר ה-x מייצג את המשתנה, סימול הפונקציה הוא f(x). תרשים 5.1

2. מערכת צירים במישור x, z (תרשים 5.2)

אנו גם יכולים לשרטט פונקציה שטוחה על גבי משטח אנכי ("קיר") שציריו x ו-z. ציר ה-x מייצג את המשתנה וציר ה-z מייצג את התוצאות. סימול הפונקציה: f(x) (ציר ה-x מייצג את המשתנה). צורת הפונקציה זהה לצורה בצירים x ו-y. תרשים 5.2

3. מערכת צירים במישור y, z (תרשים 5.3)

גם כאן המישור הוא אנכי ("קיר"). ציר ה-y מייצג את המשתנה. צורת הפונקציה לא תשתנה, אך סימולה כן משתנה ל-f(y). תרשים 5.3

רצועה

כל תוצאות הפונקציה מעל קו כלשהו במישור הצירים, מהוות רצף של נקודות ברוחב ועובי מיקרוסקופי. רק השרטוט של תוואי הנקודות בעט או עיפרון מקנה להם קצת רוחב ועובי (העובי והרוחב שנובעים משכבת הדיו או העופרת). לתוואי התוצאות מעל הקו במישור נקרא רצועה. לתוצאת הפונקציה מעל קו אורך 3 נקרא רצועת אורך 3. לתוצאת הפונקציה מעל קו רוחב 8 נקרא רצועת רוחב 8. באופן כללי הרצועה מעל קו אורך תיקרא רצועת אורך ותתווסף לה המספור של אותו קו אורך, וכך לגבי הרצועה שמעל קו רוחב. צורת הרצועה נגזרת ממבנה הפונקציה. את המונח רצועה תרמנו לצורך פשטות ההסברים בהמשך. המונח לא קיים בספרות. תרשים 5.4

פונקציה שטוחה במרחב – המחשות

בתרשים 5.1 הרצועה מונחת בצורה אופקית במרחב ואילו בתרשימים 5.2 ו-5.3 היא מונחת בצורה אנכית במרחב, אך למעשה אנו יכולים לשנות את מיקומה במרחב ככל שנחפוץ. היא כמובן תמיד תישאר רצועה במרחב.

נקודות ציון הנמצאות על אותם קווי אורך או קווי רוחב

נתייחס למישור הצירים x ו-y.

מאפייני קו רוחב

בכל נקודות הציון עליו, ערך ה-y זהה (ערך ה-x משתנה).

מאפייני קו אורך

בכל נקודות הציון עליו ערך ה-x זהה (ערך ה-y משתנה).

קצת המחשות להתמצאות במרחב

נקודות חופפות במרחב

בתרשים 5.5, הנקודה A מוצגת במישור הצירים x ו-z. כל נקודה במרחב שנמצאת על אותו קו אורך של נקודה A‏ (=3) ובאותו גובה (=2) היא חופפת לנקודה A עבור מי שמסתכל עליה מלפנים (מציר ה-x), באמצעות עינית בגודל של נקודה A המוצבת מולה. במילים אחרות, מי שמתבונן על נקודה A מלפנים רואה רק את נקודה A וכל הנקודות החופפות לה מוסתרות על ידה. תרשים 5.5

מבחינה מתמטית אפשר להתייחס לכל נקודה החופפת ל-A כאילו היא נקודה A. כל הנקודות החופפות לנקודה A במבט מלפנים הן בעלות אותם פרמטרים של x ו-z.

רצועות רוחב חופפות במרחב

כל רצועות הרוחב במרחב, שצורתן זהה לרצועה A בתרשים 5.6 ומונחות מאחוריה, חופפות לרצועה A, למי שמסתכל מלפנים (מציר ה-x). השיפוע בכל נקודה על רצועה A זהה לשיפוע בנקודה החופפת לו בכל הרצועות. הפרמטרים של x ו-z זהים בכל הנקודות החופפות. תרשים 5.6

רצועות אורך חופפות במרחב

כל רצועות האורך במרחב שצורתן זהה לרצועה B בתרשים 5.7 ומונחות מאחוריה, חופפות לרצועה B למי שמסתכל מלפנים (מציר ה-y). השיפוע בכל נקודה על רצועה B זהה לשיפוע בכל נקודה החופפת לו בכל הרצועות. הפרמטרים של y ו-z זהים בכל הנקודות החופפות. תרשים 5.7

עוד המחשה

נניח שחצי כדור פלסטיק ענק מוצב על מגרש דשא מרובע כפי שמוצג בתרשים 5.8. בפינה השמאלית של המגרש העמידו מערכת צירים של x,‏ y ו-z. ציר ה-x נמתח לאורך הצלע התחתונה, ציר ה-y נמתח לאורך הצלע השמאלית וציר ה-z ניצב למגרש בנקודה O. נפרוש את חצי הכדור לרצועות רוחב מיקרוסקופיות ונותיר במגרש רק 3 רצועות שעליהן נתבונן מלפנים (ציר ה-x). תרשים 5.8

הצורות שנראה מוצגות בתרשים 5.9. מהתרשים נראה כאילו שהרצועות ניצבות על ציר ה-x למרות שהן עמוק במגרש הדשא. ואמנם כאשר המתמטיקאים מתבוננים ברצועות מלפנים הם מתייחסים אליהן כאילו שקירבו אותן עד לציר ה-x, שכן הרצועות המוצבות בעומק המגרש חופפות לאלו המוצבות כביכול על ציר ה-x, ומבחינת השיפועים אין הבדל בין כל הרצועות החופפות. תרשים 5.9

אם נתבונן ממעוף הציפור על הרצועות, נראה 3 פסים ישרים מונחים על הדשא כפי שמוצג בתרשים 5.10. אורך כל פס שווה למרחק שבין הקצוות של הרצועה. בהתבוננות מלמעלה לא נבחין בקשתות של הרצועות.

תרשים 5.10 אם נציג את הצירים כמו בתרשים 5.11 ונתבונן על 3 רצועות אורך מלפנים (מציר ה-y), הצורה שנראה מוצגת בתרשים 5.12. תרשים 5.11

גם כאן נראה שהרצועות כאילו נוצרות על ציר ה-y, למרות שהן עמוק במגרש. תרשים 5.12

אם נתבונן ממעוף הציפור על הרצועות, נראה 3 פסים ישרים מונחים על הדשא כפי שמוצג בתרשים 5.13. תרשים 5.13

מאותן סיבות שפירטנו קודם, כל הרצועות החופפות מייצגות אותה פונקציה של y.

דוגמה לפונקציה בת 2 משתנים בתחום הכלכלי

ירקן מוכר 2 מוצרים: תפוזים במחיר של 10 ש"ח לק"ג. עגבניות במחיר של 5 ש"ח לק"ג. כמות התפוזים שנמכרת היא משתנה שנסמלו x. כמות העגבניות שנמכרת היא משתנה שנסמלו y. הפדיון של הירקן הוא פונקציה של x ו-y. סימולה ומרכיביה הם: f(x, y) = 10x + 5y. לכל צירוף של x ו-y מתאימה תוצאת פדיון כלשהי.

בניית פונקציה (סופית) בעזרת פונקציות משנה

הקדמה

ישנם מקרים לא מעטים שבהם פונקציה A כלשהי, שנקרא לה הפונקציה הסופית, מבוססת על פונקציות משנה. הקשר בין הפונקציה הסופית לפונקציות המשנה יכול להיות במספר מסלולים, כגון:

1. חיבור ו/או חיסור של מספר פונקציות.
2. כפל או חילוק של מספר פונקציות.
3. הכפלת פונקציה בנתון קבוע כלשהו.

לכל הפונקציות והנתונים שהשתתפו ביצירת הפונקציה הסופית נקרא מרכיבי הפונקציה הסופית. קיים כמובן שיוויון בין הפונקציה הסופית למרכיביה.

דוגמה מהתחום הכלכלי לפונקציה סופית המבוססת על פונקציות משנה

במפעל להרכבת כסאות, הייצור מתבצע ב-2 מחלקות: במחלקה א' – מרכיבים כסאות רק באמצעות פועלים. במחלקה ב' – מרכיבים כסאות רק באמצעות מכונות. x מסמל את כמות הפועלים. y מסמל את כמות המכונות.

נתוני השוק:

1. שכר פועל ליום – 100 ש"ח. תפוקתו היומית של פועל – 3 כסאות.
2. עלות מכונה ליום – 150 ש"ח. תפוקתה היומית של מכונה – 10 כסאות.
3. מחיר כסא – 60 ש"ח.

כלכלני המפעל מתבקשים לבנות על בסיס נתוני השוק את פונקציית הרווח של המפעל שנסמלה: π(x, y), שהיא הפונקציה הסופית לגבינו. R(x, y) היא פונקציית המשנה לגבינו (פונקציית הפדיון). פונקציית הרווח, כפי שנסביר בהמשך, מתבססת על 3 פונקציות משנה שהן:

1. פונקציית הייצור.
2. פונקציית ההוצאות.
3. פונקציית הפדיון.

פירוט פונקציות המשנה ומשמעותן

פונקציית הייצור [סימול P(x, y)] – פונקציית הייצור נותנת ביטוי לכמות הכסאות שניתן להרכיב בכל צירוף של פועלים ומכונות. סימול הפונקציה ומרכיביה הם: P(x, y) = 3x + 10y‏ (P – קיצור של Production).

פונקציית הפדיון [סימול R(x, y)] – פונקציית הפדיון מתקבלת כמכפלה של פונקציית הייצור במחיר לכסא. סימול הפונקציה ומרכיביה הם: ‎R(x, y) = 60 ⋅ (3x + 10y)‎ ש"ח (R – קיצור של Revenue).

פונקציית ההוצאות [סימול C(x, y)] – פונקציית ההוצאות נותנת ביטוי להוצאות הכרוכות בכל צירוף של פועלים ומכונות. סימול הפונקציה ומרכיביה הם: ‎C(x, y) = 100x + 150y‎ ש"ח (C – קיצור של Cost).

פונקציית הרווח [סימול π(x, y)] – פונקציית הרווח מתקבלת כהפרש בין פונקציית הפדיון לפונקציית ההוצאות. סימול הפונקציה ומרכיביה הם: ‎π(x, y) = R(x, y) – C(x, y) = [60(3x+10y)] – [100x+150y]‎.

מציאת הרווח המקסימלי

בפרק הבא נלמד כיצד באמצעות נגזרות ניתן למצוא את ההרכב של x ו-y שמניב את הרווח המקסימלי.

נגזרות של פונקציות בעלות שני משתנים

לפונקציה בעלת שני משתנים ישנן שתי נגזרות

לפונקציה בעלת שני משתנים ישנן שתי נגזרות. נגזרת לפי x ונגזרת לפי y. כאשר אנו גוזרים לפי x אנו מייחסים ל-y מספר קבוע כלשהו, למשל 6. כאשר אנו גוזרים לפי y אנו מייחסים ל-x מספר קבוע כלשהו, למשל 2.

דוגמה א'

נתייחס לפונקציה f(x, y)=4x+5y

1. נגזור לפי x. נניח כי y=6, כך שהפונקציה הופכת להיות f(x) = 4x + 30. הנגזרת לפי x (על פי כללי הגזירה), היא 4.
2. נגזור לפי y. נניח כי x=2, כך שהפונקציה הופכת להיות f(y) = 8 + 5y. הנגזרת לפי y היא 5.

סימולים

נגזרת לפי x:‏ fx(x, y)

נגזרת לפי y:‏ fy(x, y)

בדוגמה א' לעיל, תוצאות הנגזרת תרשמנה כך:

fx(x, y) = 4

fy(x, y) = 5

המשמעות ש-y הוא מספר קבוע כלשהו (למשל – 6)

ההסבר מתייחס לפונקציה f(x, y) = 4x + 5y בדוגמה א'. כאשר y הוא מספר קבוע כלשהו, למשל 6, אזי אנו למעשה משאירים מהמעטפת של הפונקציה רק רצועה אחת ברוחב מיקרוסקופי שמיקומה מעל קו רוחב 6. כל שאר המעטפת נעלמת. לרצועה שמעל קו רוחב 6 נקרא: רצועת רוחב 6.

רצועת רוחב 6 היא למעשה פונקציה שטוחה (דו מימדית) במישור הצירים x ו-z. במילים אחרות, רצועת רוחב 6 היא פונקציה של x שסימולה ומרכיביה הם: f(x) = 4x + 30. כאשר אנו גוזרים את רצועת רוחב 6 אנו למעשה מקבלים פונקציה (=פונקציית הנגזרת), שבאמצעותה אנו יכולים לחשב את השיפוע בכל נקודה על רצועת רוחב 6.

התרשים הבא מציג את רצועת רוחב 6 משתי נקודות מבט: 1. מלמעלה. 2. מלפנים.

במבט מלפנים (מציר ה-x) אנו רואים את תוואי הרצועה במישור x-z. התוואי הוא פונקציה של x‏ [f(x) = 4x + 30]. במבט מלמעלה הרצועה נראית כקו ישר המתלכד עם רצועת רוחב 6.

המשמעות ש-x הוא מספר קבוע כלשהו (למשל – 2)

כאשר x הוא מספר קבוע כלשהו, למשל 2, אזי אנו למעשה משאירים מהמעטפת של הפונקציה רק רצועה אחת ברוחב מיקרוסקופי שמיקומה מעל קו אורך 2. כל שאר המעטפת נעלמת. לרצועה שמעל קו אורך 2 נקרא: רצועת אורך 2.

רצועת אורך 2 היא למעשה פונקציה "שטוחה" במישור הצירים y ו-z, שסימולה ומרכיביה הם: f(y) = 8 + 5y. שימו לב: על רצועת רוחב אנו מתבוננים מציר ה-x (כשמתבוננים מלפנים). על רצועת אורך אנו מתבוננים מציר ה-y (כשמתבוננים מלפנים).

כאשר אנו גוזרים את רצועת אורך 2, אנו מקבלים למעשה פונקציה (=פונקציית הנגזרת), שבאמצעותה אנו יכולים לחשב את השיפוע בכל נקודה על הרצועה. התרשים הבא מציג את רצועת אורך 2 משתי נקודות מבט:

1. מלמעלה. 2. מלפנים (מציר ה-y). המבט מלפנים על רצועות אורך הוא מציר ה-y.

גזירה לפי x או y – הסבר מהיבט נוסף

נניח שאנו נמצאים בנקודת ציון (3,2) במישור הצירים x-y, כפי שמוצג בתרשים 5.14. כאשר אנו גוזרים לפי x, אנו למעשה מחשבים את השיפוע של רצועת רוחב 2 בערך x = 3. כאשר אנו גוזרים לפי y אנו למעשה מחשבים את השיפוע של רצועת אורך 3 בערך y = 2. תרשים 5.14 – מישור צירים

גזירה לפי x או y – התייחסות יותר כוללנית

כאשר אנו גוזרים לפי x,‏ y הופך להיות נתון קבוע במקום משתנה, והפונקציה הופכת להיות פונקציה של x‏ [f(x, y) → f(x)]. כאשר אנו גוזרים לפי y,‏ x הופך להיות נתון קבוע במקום משתנה, והפונקציה הופכת להיות פונקציה של y‏ [f(x, y) → f(y)].

סימולים

כאשר x ו/או y הופכים להיות נתונים קבועים, אנו כותבים אותם באות גדולה בצורה הבאה:

נחזור לפונקציה f(x, y) = 4x + 5y מדוגמה א'.

נגזרת (ראשונה) לפי x

הפונקציה הופכת להיות: f(x, y) = 4x + 5Y. והנגזרת היא: fx(x, y) = 4 (האיבר 5Y מייצג מספר קבוע כלשהו ולפיכך הנגזרת שלו היא 0). תוצאת הנגזרת הראשונה בכל ערך של x מציינת את השיפוע של הפונקציה המקורית ביחס לנקודה שמימין לאותו ערך.

נגזרת לפי y

הפונקציה הופכת להיות: f(x, y) = 4X + 5y. והנגזרת היא: fy(x, y) = 5. האיבר 4X מייצג מספר קבוע כלשהו.

ייחוס מספרים ספציפיים ל-X ו/או Y

כאשר אנו מייחסים ל-X ו/או Y מספר כלשהו, מהמעטפת נותרת רצועה בלבד. אם אנו מייחסים ל-Y את המספר 3, מהמעטפת נותרת רק רצועת רוחב 3. אם אנו מייחסים ל-X את המספר -5, מהמעטפת נותרת רק רצועת אורך -5.

שינויים בצורת רצועות האורך והרוחב

צורת רצועות הרוחב יכולה להשתנות מרצועה לרצועה וכך גם רצועות האורך.

דוגמה 1

נניח שהפונקציה f(x, y) יוצרת מעטפת של חצי כדור עליון. רצועות הרוחב תלכנה ותגדלנה ככל שנתקדם מקצה הכדור למרכזו ותשובנה לקטון ככל שנתרחק מהמרכז, וכך גם רצועות האורך (כמו במבט מלמעלה בתרשים 5.16). תרשים 5.15 – חצי כדור (מבט מלמעלה)

המחשת רצועות רוחב של חצי כדור – המחשת גודלן וצורתן של 7 רצועות רוחב מוצגת בתרשים 5.16. ההמחשה נעשית באמצעות 2 נקודות מבט: 1. מבט מלמעלה

2. מבט מלפנים (מכיוון ציר x). במבט מלמעלה הרצועות נראות כקווים ישרים המתלכדים עם קווי הרוחב (במבט מלמעלה לא רואים את צורת הקשת). במבט מלפנים רואים בבירור את הקשתות שהולכות וגדלות.

תרשים 5.16 – מבט על רצועות הרוחב של הכדור: מבט מלפנים (מציר ה-x), מבט מלמעלה. רצועות 5-7 אינן נראות שכן הן חופפות לרצועות 1-3.

המחשת רצועות אורך של חצי כדור – המחשת גודלן וצורתן של 7 רצועות אורך מוצגת בתרשים 5.17.

תרשים 5.17 – מבט על רצועות האורך של הכדור: מבט מלפנים (מציר ה-y), מבט מלמעלה. רצועות 5-7 אינן נראות שכן הן חופפות לרצועות 1-3.

דוגמה 2

נניח שהפונקציה f(x, y) יוצרת מעטפת בצורת חציו העליון של צינור, שמונח במקביל לציר ה-y, כפי שמוצג בתרשים 5.18. כאן רצועות הרוחב שוות בגודלן, וכך גם רצועות האורך, כפי שנראה בתרשימים 5.19 ו-5.20. תרשים 5.18 – חציו העליון של גליל

מבט על 5 רצועות רוחב מ-2 נקודות מבט מוצג בתרשים 5.19.

תרשים 5.19 – מבט על רצועות הרוחב של הגליל: מבט מלפנים (מציר x), מבט מלמעלה. רצועות 2-5 אינן נראות שכן הן חופפות לרצועה 1.

מבט על 5 רצועות אורך מ-2 נקודות מבט מוצג בתרשים 5.20.

תרשים 5.20 – מבט על רצועות האורך של הגליל: מבט מלפנים (מציר ה-y), מבט מלמעלה. רצועות 2-5 חופפות לרצועה 1.

שיפוע רצועות הרוחב מעל אותו קו אורך (למשל קו אורך 3)

במתמטיקה מקובל לנסח את המשפט בכותרת, בצורה הבאה: "שיפוע רצועות הרוחב מעל אותו ערך של x" (למשל x = 3). כאשר רצועות הרוחב שונות אחת מהשנייה, קרוב לוודאי שהשיפוע שלהן מעל אותו ערך של x (=קו אורך כלשהו) יהיה שונה מרצועה לרצועה, כפי שניתן לראות בתרשים 5.21 שבו מוצגות 4 רצועות רוחב של כדור. השיפוע שלהן מעל הערך x=3 שונה מרצועה לרצועה וכך גם ביחס לכל ערך אחר של x, מלבד x=4 שבו השיפוע בכל הרצועות שווה אפס (תרשים 5.22).

תרשים 5.21 ותרשים 5.22 – מבט מלפנים (מציר ה-x).

כאשר רצועות הרוחב זהות אחת לשנייה, כמו בדוגמת הגליל, השיפוע שלהן באותו ערך של x יהיה זהה, כפי שמוצג בתרשים שלהלן: מבט מלפנים (מציר x). רצועות 1,3,4 מוסתרות.

שיפוע רצועות האורך מעל אותו ערך של y (למשל y=4)

כאשר רצועות האורך שונות אחת מהשנייה, קרוב לוודאי שגם השיפוע שלהן מעל אותו ערך של y (=קו רוחב כלשהו) יהיה שונה מרצועה לרצועה. ואילו כאשר הרצועות זהות אחת לשנייה, גם השיפוע שלהן זהה מעל אותו ערך של y, בדיוק כפי שראינו ברצועות הרוחב.

דוגמאות נוספות לגזירה לפי x ו-y בתוספת פרשנות

דוגמה א'

f(x, y) = x ⋅ y

גזירה לפי x. הפונקציה הופכת להיות: f(x, Y) = Y⋅x. והנגזרת: fx(x, Y) = Y.

פרשנות

כאשר, לדוגמה, Y = 1, נותרת מהפונקציה רק רצועת רוחב 1. צורתה: קו אלכסוני במישור x,‏ z שנוסחתו f(x) = x. שיפועיה: 1 לכל אורכה [fx(x, y) = 1]. כאשר Y = 5, מהפונקציה נותרת רק רצועת רוחב 5. צורתה: קו אלכסוני במישור x,‏ z שנוסחתו f(x) = 5x. שיפועיה: 5 לכל אורכה [fx(x, y) = 5]. כאשר Y = 0, מהפונקציה נותרת רק רצועת רוחב 0. צורתה: קו המתלכד עם ציר x במישור x,‏ z, שנוסחתו f(x) = 0. שיפוע: השיפוע הוא 0 לכל אורך הקו.

גזירה לפי y. הפונקציה הופכת להיות: f(x, y) = X⋅y. והנגזרת: fy(x, y) = X.

פרשנות

בדומה לפרשנות המתייחסת לגזירה לפי x.

הצגה גרפית

תרשים 5.23 מציג את צורת הפונקציה f(x, Y) = Y⋅x, כאשר y=4.

ההצגה מתבצעת משתי נקודות מבט, מלמעלה ומלפנים (מציר ה-x).

כאשר אנו מתייחסים רק לרצועת רוחב 4, משתנה גם צורת הפונקציה וסימולה ל: f(x) = 4x. מצורת הפונקציה ניתן ללמוד שהיא בצורת קו ישר ששיפועו 4. תרשים 5.23 – מבט מלפנים, מבט מלמעלה. הרצועה מתלכדת עם קו הרוחב 4.

תרשים 5.24 מציג את הנגזרת של רצועת רוחב 4 במבט מלפנים (הצירים הם x ו-z). השיפוע הוא 4 בכל ערך של x (לכל אורך הרצועה).

תרשים 5.24

דוגמה ב'

f(x, y) = x³ ⋅ y²

גזירה לפי x. הפונקציה הופכת להיות: f(x, Y) = Y² ⋅ x³. והנגזרת: fx(x, Y) = Y² ⋅ 3x².

מיקום הכופל במכפלה – מקובל להציב את הכופל לפני המשתנה.

פרשנות

תוואי רצועות הרוחב – תוואי רצועות הרוחב שונה זו מזו בצורתן, לדוגמה: תוואי רצועת הרוחב 1 מיוצגת באמצעות הפונקציה: f(x) = x³. תוואי רצועת הרוחב 2 מיוצגת באמצעות הפונקציה: f(x) = 4x³. וכך הלאה.

שיפוע רצועות הרוחב – מאפיינים:

1. בכל אחת מרצועות הרוחב, השיפוע משתנה מנקודה לנקודה לאורך הרצועה. במילים אחרות השיפוע שונה בכל ערך של x.
2. בערך x = 3, השיפוע שונה מרצועה לרצועה. השיפוע ברצועת רוחב 1 הוא 27‏ (fx(3,1) = 1² ⋅ 3 ⋅ 3² = 27). השיפוע ברצועת רוחב 2 הוא 108‏ (fx(3,2) = 2² ⋅ 3 ⋅ 3² = 108).

גזירה לפי y. הפונקציה הופכת להיות: f(X, y) = X³ ⋅ y². והנגזרת: fy(X, y) = X³ ⋅ 2y.

דוגמה ג'

f(x, y) = (x+y) ⋅ (2x+3y)

ישנן 2 דרכים לגזור את הפונקציה: דרך א' – כמכפלה של פונקציות משנה. דרך ב' – פתיחת הסוגריים וקבלת סכום של סידרת פונקציות משנה.

דרך א': כזכור טכניקת הגזירה של מכפלת פונקציות היא: [נגזרת איבר I]*[איבר II] + [איבר I]*[נגזרת איבר II].

גזירה לפי x. הפונקציה הופכת להיות: f(x, Y) = (x + Y) ⋅ (2x + 3Y). והנגזרת: fx(x, Y) = 1 ⋅ (2x + 3Y) + (x + Y) ⋅ 2 = 4x + 5Y.

פרשנות

צורת הרצועות – רצועות הרוחב שונות זו מזו בצורתן. שיפוע הרצועות – I. השיפוע משתנה לאורך כל אחת מהרצועות. II. באותו ערך של x השיפוע שונה מרצועה לרצועה.

גזירה לפי y. הפונקציה הופכת להיות: f(X, y) = (X + y) ⋅ (2X + 3y). והנגזרת: fy(X, y) = 1 ⋅ (2X + 3y) + (X + y) ⋅ 3 = 5X + 6y.

פרשנות

בדומה לגזירה לפי x.

דרך ב': נפתח סוגריים ונקבל: f(x, y) = 2x² + 5xy + 3y².

גזירה לפי x. הפונקציה הופכת להיות: f(x, Y) = 2x² + 5xY + 3Y². והנגזרת: fx(x, Y) = 4x + 5Y.

גזירה לפי y. הפונקציה הופכת להיות: f(X, y) = 2X² + 5Xy + 3y². והנגזרת: fy(X, y) = 5X + 6y.

דוגמה ד'

f(x, y) = (2x³y + 3x²y²)⁵

גזירה לפי x. הפונקציה הופכת להיות: f(x, Y) = (2x³Y + 3x²Y²)⁵. והנגזרת: fx(x, Y) = 5(2x³Y + 3x²Y²)⁴ ⋅ (6x²Y + 6xY²).

גזירה לפי y. הפונקציה הופכת להיות: f(X, y) = (2X³y + 3X²y²)⁵. והנגזרת: fy(X, y) = 5(2X³y + 3X²y²)⁴ ⋅ (2X³ + 3X² ⋅ 2y).

דוגמה ה'

f(x, y) = 6y − 5xy + x²y − 3x

גזירה לפי x. הפונקציה הופכת להיות: f(x, Y) = 6Y − 5xY + x²Y − 3x. והנגזרת: fx(x, Y) = −5Y + 2xY − 3.

גזירה לפי y. הפונקציה הופכת להיות: f(X, y) = 6y − 5Xy + X²y − 3X. והנגזרת: fy(X, y) = 6 − 5X + X².

ללמוד מתוצאות הגזירה על הפונקציה המקורית

הגזירה נותנת ביטוי לשיפוע בכל נקודה ונקודה על רצועה כלשהי, שהיא הפונקציה המקורית. נְתוּני השיפועים מאפשרים לנו לשרטט את מבנה הרצועה עצמה.

ריכוז הנגזרות הראשונות של כל רצועות הרוחב יוצר מעטפת חדשה

כאשר גוזרים רצועת רוחב כלשהי (גזירה לפי x) מקבלים רצועת רוחב חדשה שמהווה את פונקציית הנגזרת. אם נגזור את כל רצועות הרוחב האפשריות של הפונקציה, נקבל תחתן רצועות רוחב חדשות. אם נצרף אותן יחד, נקבל שוב מעטפת תלת מימדית חדשה, שהיא עצמה פונקציה בעלת 2 משתנים. פונקציה זו מכונה נגזרת ראשונה לפי x וסימולה fx(x, y).

ריכוז הנגזרות הראשונות של כל רצועות האורך יוצר מעטפת חדשה

כפי שהסברנו לגבי גזירה לפי x, גם בגזירת רצועות האורך לפי y נקבל פונקציה תלת מימדית חדשה בעלת 2 משתנים שמכונה: נגזרת ראשונה לפי y וסימולה fy(x, y).

התנסחות לגבי למיקום מעטפת הפונקציה, ביחס למרחב הצירים (=רצפה)

עד כה הנחנו, לצורך הפשטות, שמעטפת הפונקציה נמצאת מעל הרצפה ובהסברים השתמשנו בניסוח כדוגמת: "המעטפת נמצאת מעל הרצפה" או "הרצועה שמעל קו הרוחב…". כאשר המעטפת או חלקה נמצאים על גבי הרצפה או מתחתיה או כאשר אנו לא יודעים את מיקומה, רצוי להשתמש בניסוח כדוגמת: "המעטפת שמעל, מתחת או על גבי הרצפה" או "הרצועה שמתייחסת לקו הרוחב…".

נגזרת שנייה

הקדמה

הנגזרת הראשונה יוצרת לנו 2 פונקציות חדשות: פונקציה 1 – הנגזרת הראשונה לפי x, שסימולה fx(x, y). פונקציה 2 – הנגזרת הראשונה לפי y, שסימולה fy(x, y). את כל אחת מ-2 הפונקציות הנ"ל ניתן לגזור שוב, פעם לפי x ופעם לפי y. כל גזירה (שניה) תניב 2 פונקציות חדשות כפי שמוצג בתרשים הבא.

פרשנות

1. נגזרת ראשונה לפי x נוקבת בשיפועי המעטפת לאורך רצועות הרוחב השונות. נגזרת ראשונה לפי x ושנייה לפי x‏ [fxx(x, y)], נותנת ביטוי למגמת השיפועים לאורך כל רצועת רוחב. האם הם הולכים ועולים, הולכים ויורדים, אחידים, או מתאפסים.
2. נגזרת ראשונה לפי y נוקבת בשיפועי המעטפת לאורך רצועות האורך השונות. נגזרת ראשונה לפי y ושנייה לפי y‏ [fyy(x, y)], נותנת ביטוי למגמת השיפועים לאורך כל רצועת אורך.
3. נגזרת ראשונה לפי x ושנייה לפי y‏ [fxy(x, y)], נותנת ביטוי למגמת השיפועים של רצועות הרוחב לאורך קו אורך כלשהו. אם אנחנו מתעניינים בקו אורך 8, נציב בתוצאה x=8.
4. נגזרת ראשונה לפי y ושנייה לפי x‏ [fyx(x, y)], נותנת ביטוי למגמת השיפועים של רצועות האורך לאורך קו רוחב כלשהו. אם אנחנו מתעניינים בקו רוחב 5, נציב בתוצאה y=5.

המחשה של הנגזרת השנייה fxy(x, y)

1. תדמיינו שאנו נוקבים חורים מיקרוסקופיים במרכזם של 10 דוּקים ומשחילים אותם על ציר מתכת קשיח (בקוטר מיקרוסקופי) וסוגרים את הציר מ-2 צידיו. הדוקים ממוספרים מ-1 עד 10. לערכה שקיבלנו נקרא ערכת דוקים ובקיצור ערכה.
2. בעזרת מגנט נניח את הערכה בצורה אופקית במרחב בגובה 10 ס"מ מעל מישור הצירים, כשהציר חופף לקו אורך 12. תרשים 5.25 מציג את הערכה מ-2 מבטים. במצב זה, השיפוע של כל הדוקים הוא 0 לכל אורכם.
3. נטה את הציר כלפי מעלה בזווית של 45° כשהנקודה a בקצהו התחתון נותרת במקום. במצב זה, השיפוע של כל הדוקים נותר 0 ואילו השיפוע של הציר הוא 1.
4. נטה את צידו הימני של כל אחד מהדוקים כלפי מעלה בשיפועים שהולכים וגדלים מדוק 1 לדוק 10. הדוקים סבים על הציר כשצידם השמאלי יורד בהתאם. במצב זה, כל דוק הוא בשיפוע שונה והציר נותר בשיפוע 1.
5. נניח שכל דוק מייצג רצועת רוחב והציר מייצג רצועת אורך. השיפוע של כל דוק ישתקף בנגזרת הראשונה שלו לפי x‏ [fx(x, y)]. השיפוע של כל דוק שווה לכל אורכו (הוא קו ישר). מנגד השיפועים של הדוקים הולכים ועולים לאורך הציר שמהווה רצועת אורך 12. הפער בשיפועים בין הדוקים לאורך רצועת אורך 12 ישתקף בנגזרת השנייה לפי y‏ [fxy(x, y)] (כאשר x = 12). כאשר שיפועי רצועות הרוחב (דוקים) הולכים ועולים מאחת לשניה (מ-1 עד 10), לאורך רצועת אורך כלשהי (הציר), הנגזרת השניה [fxy(x, y)] תהיה חיובית. כאשר שיפועי רצועות הרוחב הולכים ויורדים מאחת לשניה לאורך רצועת אורך כלשהי, הנגזרת השניה [fxy(x, y)] תהיה שלילית. כאשר השיפועים פעם הולכים ועולים ופעם הולכים ויורדים לאורך אותה רצועת אורך, תוצאות הנגזרת השנייה [fxy(x, y)] תשתנה מחיובי לשלילי בהתאם. בדוגמת הדוקים נקבל אותה תוצאה ביחס לכל ערך של x, כלומר לאורך כל קו אורך שנבחר. כאשר הפער בשיפוע בין דוק לדוק נשאר קבוע אז נקבל אותה תוצאה ביחס לכל ערך של x. וההסבר: שיפוע הדוקים אחיד לכל אורכם והפער בשיפוע מדוק לדוק נשאר קבוע.
6. אם במקום ציר קשיח נשחיל ציר גמיש ונכופף אותו בצורת קשת, שיפועיו ישתנו מנקודה לנקודה לאורך הקשת, או אם תרצו לאורך רצועת אורך 12. מנגד, שיפועי הדוקים יישארו ללא שינוי כל עוד לא ניגע בהם, לפיכך לא יחול שינוי ב-fx(x, y) וב-fxy(x, y).
7. אם נשנה את שיפועי הדוקים יהיה שינוי ב-fx(x, y) וגם ב-fxy(x, y).

ריכוז סימולי הנגזרת השנייה

ישנם 4 סימולים המתלווים לנגזרת שנייה, בפונקציות עם 2 משתנים, כפי שמוצגים בטבלה הבאה. האות הראשונה מימין ל-f מציינת את הבסיס של הנגזרת הראשונה (נגזרת לפי x או נגזרת לפי y). האות השנייה מימין ל-f מציינת את הבסיס לנגזרת השנייה.

מציאת נקודת קיצון בפונקציה בעלת 2 משתנים

הקדמה

נקודת קיצון מקומי – המשמעות

נקודת קיצון מקומי היא הנקודה הגבוהה ביותר או הנמוכה ביותר באזור שלה על מעטפת הפונקציה.

מיון נקודות קיצון – תזכורת

אנו מבחינים ב-4 סוגים של נקודות קיצון:

1. נקודת קיצון מקסימום מוחלט.
2. נקודת קיצון מינימום מוחלט.
3. נקודת קיצון מקסימום מקומי.
4. נקודת קיצון מינימום מקומי.

ציון המיקום של נקודות הקיצון

את המיקום של נקודת קיצון מקובל לציין באמצעות נקודת ציון במישור הצירים, שנמצאת מתחת או מעל לנקודת הקיצון.

שימוש בנגזרת הראשונה

באמצעות הנגזרת הראשונה אנו מקבלים סדרת נקודות על המעטפת שנקרא להן: נקודות חשודות, שרק מתוכן תמצאנה, אם בכלל, נקודות קיצון.

שימוש בנגזרות השניות

באמצעות הנגזרות השניות, אנו יכולים לבחון מי מה"נקודות החשודות" הן נקודות קיצון ומאיזה סוג (מקסימלי, מינימלי, מוחלט, מקומי).

סימולים – השלמות

תנאים לקיומן של נקודות קיצון

על-מנת שנקודה בפונקציה תהיה נקודת קיצון, עליה לקיים את שני התנאים הבאים:

תנאי 1: בנקודת הקיצון, הנגזרת הראשונה לפי x, שווה ל-0 וגם הנגזרת הראשונה לפי y שווה ל-0. בשפת הסימולים: fx(x, y) = 0;‏ fy(x, y) = 0.

תנאי 2:‏ fxx(x, y) ⋅ fyy(x, y) − [fxy(x, y)]² > 0. כאשר fxx(x, y) < 0 או ש-fyy(x, y) < 0 – מדובר בנקודת מקסימום. כאשר fxx(x, y) > 0 או ש-fyy(x, y) > 0 – מדובר בנקודת מינימום.

המחשה לכך שהתנאי הראשון בלבד לא תמיד מספיק

1. כאשר המעטפת היא בצורת חצי גליל עליון, אין לפונקציה נקודת קיצון, למרות העובדה שבכל נקודה לאורך הפס העליון בגליל, הנגזרת לפי x שווה אפס והנגזרת לפי y גם שווה לאפס. כלומר, אין נקודת קיצון למרות שתנאי 1 מתקיים.
2. מנגד, כאשר המעטפת היא בצורת חצי כדור עליון, יש לפונקציה נקודת קיצון שנמצאת בפסגת הכדור. בנקודת הקיצון: הנגזרת לפי x שווה 0 וגם הנגזרת לפי y שווה 0 ותנאי 1 מתקיים.

טכניקת מציאת נקודת קיצון ב-4 מהלכים, בליווי דוגמה

הדוגמה מתייחסת לפונקציה: f(x, y) = x² – 6x + y² – 8y + 30.

נגזרות ראשונות

מהלך 1: גוזרים את הפונקציה פעם לפי x ופעם לפי y והתוצאה:

נגזרת לפי x:‏ fx(x, y) = 2x − 6

נגזרת לפי y:‏ fy(x, y) = 2y − 8

מהלך 2: מוצאים את הערכים של x ו-y שמקיימים את השיוויון fx(x, y) = 2x − 6 = 0 וכן fy(x, y) = 2y − 8 = 0 (אם ישנם). את הערכים מוצאים בטכניקות אלגבריות. הערכים הנ"ל, אם ישנם, הם נתוני נקודות הציון (x, y) שמתייחסות לנקודות על המעטפת, החשודות כנקודות קיצון. התוצאה בדוגמה: ישנה רק נקודת ציון אחת. נתוניה: x=3 ו-y=4. סימול הנקודה (3,4). סימול הפונקציה בנקודה זו הוא f(3,4).

נגזרות שניות

מהלך 3: מחשבים את תוצאות הנגזרות השניות, הדרושות לבדיקת תנאי 2 שהן:

מהלך 4: חישוב קיומו של תנאי 2 בנקודת הציון (3,4). התוצאה: 2 ⋅ 2 − 0² > 0.

הערה: בדוגמא שלנו האיבר השלישי [fxy(x, y)]² תמיד יהיה שווה לאפס ואין זה משנה אילו ערכים של x נציב בפונקציה. עם זאת, כמובן שיכולות להיות לנו פונקציות אחרות שגזירתן לפי הצורה [fxy(x, y)]² תתן לנו תוצאה שונה מאפס.

המסקנה: תנאי 2 מתקיים ולפונקציה יש נקודת קיצון מעל נקודת ציון (3,4).

דוגמה מהתחום הכלכלי למציאת נקודת קיצון

במפעל "המכונית" מייצרים רק מודל אחד של מכוניות. הייצור מתבצע באמצעות עובדים (בעלי אותו כושר ייצור) ומכונות (מאותו סוג).

מחירי השוק הם כדלקמן: שכר עובד לשנה – 12,000 ש"ח. עלות תפעול מכונה לשנה – 8,000 ש"ח. מחיר מכונית – 48,000 ש"ח.

במפעל הופתעו לגלות שניתן לחזות את היקף הייצור השנתי (כמות המכוניות המיוצרות), על פי פונקציה שהם כינו: פונקציית הייצור, שצורתה וסימוליה הם:

f(x, y) = √x + √y

x – מסמל את כמות העובדים במפעל. y – מסמל את כמות המכונות במפעל.

פונקציית הייצור הזו היא ייחודית למפעל המכונית. כלכלן המפעל התבקש למצוא באיזה הרכב של עובדים ומכונות הרווח הוא מקסימלי.

מהלכי הפיתרון

א. בניית פונקציית הרווח

1. את התשובה הכלכלן יוכל לקבל באמצעות פונקציית הרווח שנסמלה π(x, y), שאותה עליו לבנות. הבנייה פשוטה.
2. פונקציית הרווח מתקבלת כהפרש בין 2 פונקציות משנה: פונקציית הפדיון שנסמלה R(x, y) ופונקציית ההוצאות שנסמלה C(x, y). דהיינו: π(x, y) = R(x, y) – C(x, y).
3. פונקציית הפדיון מתקבלת כמכפלה של פונקציית הייצור במחיר למכונית. מרכיביה הם: ‎R(x, y) = 48,000 ⋅ [√x + √y]‎.
4. פונקציית ההוצאות מתבססת על מחירי השוק של עבודה ותפעול מכונות. מרכיביה הם: ‎C(x, y) = 12,000x + 8,000y‎.
5. מרכיבי פונקציית הרווח עפ"י סעיפים 3 ו-4 לעיל הם: ‎π(x, y) = 48,000 ⋅ [√x + √y] − [12,000x + 8,000y]‎.

חיפוש נקודת קיצון

נגזור את פונקציית הרווח, פעם לפי x ופעם לפי y. לשם כך נכתוב את פונקציות הרווח:

π(x, y) = 48,000 ⋅ x^½ + 48,000 ⋅ y^½ − 12,000x − 8,000y

נגזרת לפי x:‏ πx(x, y) = ½ ⋅ 48,000 ⋅ x^−½ − 12,000 = 48,000 / (2√x) − 12,000

נגזרת לפי y:‏ πy(x, y) = ½ ⋅ 48,000 ⋅ y^−½ − 8,000 = 48,000 / (2√y) − 8,000

מפתרון המשוואות (בשיטות אלגבריות) מתקבל כי מצאנו בנקודת הציון (4,9) שתי הנגזרות משתוות ל-0 (נקודת הציון מייצגת הרכב של 4 פועלים ו-9 מכונות). בשלב זה נקודת הציון (4,9) חשודה כנקודת קיצון.

נוודא אם אכן היא נקודת קיצון. נבדוק אם תנאי 2 מתקיים: תנאי 2 הוא: fxx(x, y) ⋅ fyy(x, y) − [fxy(x, y)]² > 0. לשם כך נחשב את תוצאות 3 הנגזרות השניות המתייחסות לתנאי 2, בנקודה (4,9):

πxx = 24,000 ⋅ (−½) ⋅ x^−3/2 = −12,000 / (√x)³

πyy = 24,000 ⋅ (−½) ⋅ y^−3/2 = −12,000 / (√y)³

πxy = 0 (גזירת הנגזרת הראשונה, לפי X, של פונקציית הרווח לפי משתנה Y ולהיפך)

התוצאות מוצגות בטבלה הבאה.

תנאי 2 מתקיים: ‎(−1,500) ⋅ (−444.44) − 0² > 0‎.

והמסקנה: הנקודה (4,9), המייצגת סל שמכיל 4 עובדים ו-9 מכונות, היא אכן נקודת קיצון. כמו כן, מכיוון ש-fxx(4,9) = −1,500 < 0 מדובר בנקודת מקסימום.

נתוני הפעילות של הפירמה בנקודת הקיצון (4,9) מפורטים בטבלה הבאה.

מציאת נקודות קיצון תחת אילוץ

בליווי דוגמה

ישנם מקרים רבים, בעיקר בפונקציות המתייחסות למגזר העסקי, שנקודת הקיצון נמצאת בערכים של x ו-y שאינם בהישג ידה של הפירמה, או במילים אחרות חלק מערכי המשתנים אינם רלוונטים. הדוגמה הבאה תמחיש זאת.

דוגמה 1

יזם הקים מפעל קומקומים. הייצור מתבצע באמצעות פועלים ומכונות. היזם גילה שהוא יכול לצפות את היקף הייצור החודשי באמצעות פונקציית ייצור שסימולה ומרכיביה הם: פונקציית הייצור החודשי: P(x, y) = 20xy. כאשר: x מסמל את מספר הפועלים. y מסמל את מספר המכונות. P (קיצור של Production) – מסמל את מס' הקומקומים.

מחירי השוק הם כדלקמן: שכר עבודה: 4,000 ש"ח לחודש. תפעול מכונה: 1,000 ש"ח לחודש. מחיר קומקום: 100 ש"ח.

כלכלן המפעל התבקש למצוא באיזה הֶרְכֵּב ייצור (של פועלים ומכונות) אמור להתקבל הרווח המקסימלי, תחת האילוץ שתקציב ההוצאות יעמוד על 40,000 ש"ח לחודש. לצורך הפשטות, אנו מניחים שהוצאות המפעל כוללות רק עבודה ותפעול מכונות.

סל גורמי ייצור

לכל הרכב כלשהו של עובדים ומכונות נקרא סל גורמי ייצור או בקיצור סל. במסגרת האילוץ (בדוגמה) עלות הסל עומדת על 40,000 ש"ח.

האילוץ – הרחבה

האילוץ מתבטא בכך שלא כל סלי הייצור האפשריים רלוונטים, אלא רק הסלים שעלותם 40k ש"ח.

הצגת האילוץ כפונקציה במישור הצירים

את הדרישה שעלות הסל תעמוד על 40,000 ש"ח, ניתן להציג באמצעות שוויון 1:

‎40,000 = 4,000x + 1,000y‎ (שוויון 1)

רק סלים המקיימים את שוויון 1 רלוונטים. אם נחלק את שוויון 1 ב-1,000 ונבודד את y, נקבל את שוויון 2:

‎y = 40 − 4x‎ (שוויון 2)

שוויון 2 מייצג פונקציה של קו ישר. בתרשים בעמוד הבא משורטטת הפונקציה. מאפייניה: I. חותכת את ציר ה-y ב-40. II. שיפועה: 4.

עלות כל הסלים לאורך תוואי הפונקציה הוא בדיוק 40,000 ש"ח. למשל, סל A שווה 40,000 ש"ח (כאשר ‎40 ⋅ 1,000 = 40,000‎), בדיוק כמו סל B‏ ‎(10 ⋅ 4,000)‎ וסל C‏ ‎(16 ⋅ 1,000 + 6 ⋅ 4,000)‎. עלות כל סל מתחת לתוואי הפונקציה קטנה מ-40,000 ש"ח. עלות כל סל מעל לתוואי הפונקציה גדולה מ-40,000 ש"ח.

לקו הפונקציה מקובל לקרוא: קו מגבלת התקציב, ובקיצור: קו התקציב. ולפונקציה שמניבה אותו: פונקציית מגבלת התקציב, ובקיצור: פונקציית התקציב. תרשים 5.26

אפשרות למצוא את הרווח המקסימלי גם באמצעות פונקציית הייצור P(x, y)

היות והנחנו שהוצאות המפעל יעמדו על 40,000 ש"ח, אזי המפעל ימקסם את רווחיו במקום שפונקציית הייצור תגיע למקסימום. במילים אחרות, סל גורמי הייצור שמניב את התפוקה המקסימלית ועומד במסגרת התקציב, מניב גם את הרווח המקסימלי. לאור זאת אנו נחפש בהמשך את נקודת הקיצון המקסימלית בפונקציית הייצור.

מציאת הרווח המקסימלי – הקדמה

אם נציב בפונקציית הייצור את נקודות הציון שלאורך קו התקציב, נקבל רצועה (שמהווה חלק מפונקציית הייצור). הנקודה הגבוהה ביותר ברצועה היא נקודת הקיצון המקסימלי.

הצבת נקודות הציון של קו התקציב בפונקציית הייצור

להזכירכם, באופן כללי כל נקודת ציון מתייחסת לצמד נתונים, אחד של x ואחד של y. בכל נקודות הציון שנמצאות על קו התקציב, ניתן להציג את הערך של y באמצעות ‎[40 − 4x]‎. היות ו-‎y = 40 − 4x‎. כלומר, לכל y יש חלופה בערכים של x שהיא ‎[40 − 4x]‎. כשנציב בפונקציית הייצור במקום y את החלופה ‎[40 − 4x]‎, נקבל:

‎P(x, y) = 20xy = 20x[40 − 4x] = 800x − 80x²‎

הפונקציה שקיבלנו מייצגת את הרצועה מעל קו מגבלת התקציב. היות וזו רק פונקציה של x, הסימול P(x, y) משתנה ל-P(x).

מפונקציית הייצור נותרת רצועה

בעקבות האילוץ, מפונקציית הייצור (המרחבית) נותרת רק רצועה (פונקציה שטוחה) שממוקמת מעל קו מגבלת התקציב.

שינוי בסימול ובמרכיבי פונקציית הייצור, בעקבות הפיכתה לרצועה

למעשה פונקציית הייצור הופכת להיות רק פונקציה של x ולפיכך סימולה ומרכיביה משתנים ל: ‎P(x) = 20x[40 − 4x]‎. הן הסימול והן ההרכב מבטאים את העובדה שמדובר בפונקציה "שטוחה".

צורת הרצועה מעל קו התקציב

התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט: 1. מלמעלה. 2. מלפנים (מציר x). (שימו לב לסימולי הצירים בכל נקודת מבט).

במבט מלמעלה הרצועה מתלכדת עם קו התקציב. אמנם הרצועה היא קשתית אך ממבט מלמעלה היא נראית קו ישר.

במבט מלפנים אנו רואים רצועת רוחב קשתית שממוקמת מעל ציר ה-x, למרות שהיא רצועה אלכסונית הממוקמת לאורך קו התקציב. ואכן, אנו מתייחסים אליה כאילו היא מוצבת מעל ציר ה-x (רצועת רוחב 0) וגוזרים אותה בהתאם.

מציאת נקודת קיצון מוחלט מקסימלי ברצועה

(מומלץ להתבונן על צורת הרצועה במבט מלפנים במהלך ההסבר)

תזכורת

כבר למדנו שנקודת קיצון ברצועה כלשהי יכולה להימצא רק בשני מקומות: I) קצוות הרצועה – באחת מהקצוות או בשתיהן. II) במקום שהנגזרת שווה 0 ובתנאי שזו נקודת קיצון ולא נקודת פיתול.

טכניקת הבדיקה

נבדוק באיזה ערך של x הרצועה שמעל קו התקציב מגיעה למקסימום.

1. בדיקת התוצאה בקצוות הרצועה: צורת פונקציית הייצור היא: ‎P(x) = 800x − 80x²‎. כאשר נציב בה x = 0 התוצאה: ‎P(x) = 0‎ קומקומים. כאשר נציב בה x = 10 התוצאה: ‎P(x) = 0‎ קומקומים.
2. בדיקת התוצאה לאורך הרצועה: נבדוק בעזרת הנגזרת הראשונה אם קיימת נקודה על הרצועה שבה השיפוע 0. ואם קיימת, נחשב לגביה את תוצאת הפונקציה. הנגזרת היא: ‎P′(x) = 800 − 160x‎. הנגזרת שווה 0 כאשר: x=5. תוצאת הפונקציה כאשר x=5 היא 2000 קומקומים: ‎P(5) = 800 ⋅ 5 − 80 ⋅ 5² = 2,000‎. נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה אם זו נקודת קיצון או נקודת פיתול. הנגזרת השנייה היא: ‎P′′(x) = −160‎. כלומר, השיפועים לאורך הרצועה הולכים וקטנים. והמשמעות, הרצועה מייצגת עקום קעור והנקודה שהתקבלה היא נקודת קיצון מקסימלית.

תוצאות הבדיקה

1. קצה שמאלי (כאשר x=0) תוצאת הפונקציה היא: 0 קומקומים.
2. קצה ימני (כאשר x=10) תוצאת הפונקציה היא: 0 קומקומים.
3. חישוב תוצאת הפונקציה בערך ה-x שבו הנגזרת שווה ל-0: הפונקציה היא: ‎P(x) = 800x − 80x²‎. הנגזרת היא: ‎P′(x) = 800 − 160x‎. הנגזרת משתווה ל-0 כאשר x=5‏ ‎[800 − 160x = 0]‎. תוצאת הפונקציה כאשר x=5 היא 2000 קומקומים ‎(800 ⋅ 5 − 80 ⋅ 5² = 2000)‎. בערך x=5 תוצאת הפונקציה יותר גבוהה מזו שבקצוות.
4. נבדוק שזו נקודת קיצון ולא נקודת פיתול – תוצאת הנגזרת השנייה היא -160‏ ‎[P′′(x) = −160]‎. כלומר התלילות לאורך כל הפונקציה המקורית הולכת וקטנה באותו קצב, כך שזו נקודת קיצון מקסימום.

מסקנה: פונקציית הייצור מגיעה למקסימום (2000 קומקומים) כאשר המפעל מעסיק 5 עובדים.

מציאת מספר המכונות בנקודת המקסימום

את מספר המכונות אנו מחשבים מתוך משוואת קו התקציב (כשמציבים בה 5 במקום x). משוואת קו התקציב: ‎y = 40 − 4x‎. כשמציבים בה x = 5 מקבלים: 20 מכונות ‎(40 − 20 = 20)‎.

מסקנה: המפעל ממקסם רווחים כאשר הוא מעסיק 5 פועלים ו-20 מכונות. בתרחיש זה נתוני הפעילות הם כדלקמן: כמות הקומקומים המיוצרת בחודש: 2000 יחידות. הפדיון: 200,000 ש"ח. הרווח: 160,000 ש"ח.

דוגמה 2 – מפעל הקומקומים שנה אחרי

בתֹם שנה, פונקציית הייצור של מפעל הקומקומים השתפרה והפכה להיות: ‎P(x, y) = 40x + 100y‎ (‏P – מספר הקומקומים שיוצרו). שאר נתוני השוק (שכר, עלות תפעול מכונה ומחיר קומקום) לא השתנו. האילוץ של עמידה במסגרת תקציב ההוצאות של 40,000 ש"ח עדיין בתוקף. לפיכך משוואת התקציב וקו התקציב לא השתנו. נחשב את תוצאות פונקציית הייצור מעל קו התקציב תוך שימוש בערכי x בלבד. לשם כך נציב בפונקציית הייצור במקום y, את החלופה שלו ‎[40 − 4x]‎ ונקבל:

‎P(x) = 40x + 100 ⋅ (40 − 4x) = 40x + 4000 − 400x = 4000 − 360x‎

הפונקציה שקיבלנו היא פונקציית הרצועה מעל קו התקציב. מאפייניה: קו ישר. שיפוע שלילי.

צורת הרצועה מעל קו התקציב משתי נקודות מבט

התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט: 1. מלמעלה. 2. מלפנים.

במבט מלפנים הרצועה יורדת בתלילות מ-4000 קומקומים, כאשר x=0, עד ל-400 קומקומים, כאשר x=10. במבט מלמעלה הרצועה מתלכדת עם קו התקציב.

מציאת נקודת קיצון ברצועה

(במהלך ההסבר התבוננו על צורת הרצועה בתרשים הקודם, במבט מלפנים)

תוצאות הפונקציה בקצוות הרצועה

קצה שמאלי (כאשר x = 0) תוצאת הפונקציה היא 4000 קומקומים. קצה ימני (כאשר x = 10) תוצאת הפונקציה היא 400 קומקומים.

חישוב תוצאת הפונקציה בערך ה-x שבו הנגזרת משתווה ל-0

צורת הפונקציה: ‎f(x) = 4000 − 360x‎. צורת הנגזרת: ‎f′(x) = −360‎. משמעות הנגזרת היא שהשיפוע בכל נקודה על הרצועה הוא -360 (=קו ישר). כלומר אין לאורך הרצועה נקודת קיצון.

מסקנה: המפעל ממקסם את רווחיו כאשר x=0, דהיינו כאשר הוא לא מעסיק פועלים, אלא רק 40 מכונות.

בנקודת הקיצון בתרחיש זה נתוני הפעילות הם כדלקמן: כמות הקומקומים המיוצרת: 4,000 יחידות (לעומת 2,000 בשנה קודמת). הפדיון: 400,000 ש"ח (לעומת 200,000 בשנה קודמת). הרווח: 360,000 ש"ח (לעומת 160,000 בשנה קודמת).

אילו המפעל היה מעסיק רק פועלים (10 פועלים ו-0 מכונות) אזי, נתוני הפעילות היו כדלקמן: כמות הקומקומים המיוצרת: 400 יחידות ‎(P(10) = 4,000 − 360 ⋅ 10)‎. הפדיון: 40,000 ש"ח (= ‎100 ⋅ 400‎ ש"ח). הרווח: 0 ש"ח (תקציב הוצאות = 40,000 ש"ח).

דוגמה 3

אנו מחפשים נקודת קיצון לפונקציה ‎f(x, y) = x ⋅ y‎. תחת האילוץ שהפונקציה רלוונטית רק כאשר ערכי x זהים לערכי y, או אם תרצו, רק בנקודות ציון שבהן x=y.

בתרשים הבא הקו האלכסוני (1), ששיפועו 1, מציג את כל הצמדים במישור הצירים x,‏ y המקיימים את האילוץ. הפונקציה הרלוונטית היא הרצועה שמעל הקו (1). אם נציב בפונקציה, במקום y, את החלופה שלו בערכים של x, שהיא [x], הפונקציה תיהפך לפונקציה של x בלבד, שסימולה וצורתה ‎f(x) = x²‎. תוצאותיה יוצרות רצועה מעל קו (1) במישור הצירים. התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט.

במבט מלמעלה הפונקציה מתלכדת עם הקו y=x (קו A).

במבט מלפנים (מציר ה-x) הפונקציה בצורת פרבולה שתחתיתה בנקודה (0,0). כשמסתכלים על הרצועה מלפנים נראה כאילו שהרצועה היא רצועת רוחב 0 (מעל ציר ה-x), אך למעשה הרצועה נמצאות מעל הקו האלכסוני (1)‏ [y=x]. לדוגמה: הנקודה 'A על הרצועה, נמצאת מעל נקודה A (נקודת ציון (3,3)) במישור הצירים (ראה מבט מלמעלה). הנקודה 'B על הרצועה, נמצאת מעל נקודה B (נקודת ציון (-1,-1)) במישור הצירים (ראה מבט מלמעלה).

מציאת נקודת קיצון

1. לפונקציה אין נקודות התחלה וסוף, היא יורדת ממרומי השמיים כאשר x = -∞, נוגעת במישור הצירים כאשר x = 0 ונוסקת חזרה למרומי השמיים כאשר x = ∞.
2. נמצא אם והיכן הנגזרת שלה משתווה ל-0. הפונקציה היא ‎f(x, y) = x ⋅ y‎, ולאחר ההצבה x = y היא הופכת ל-‎f(x) = x²‎. הנגזרת היא: ‎f′(x) = 2x‎. הנגזרת משתווה ל-0 כאשר x=0.
3. נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה אם זו נקודת קיצון ואיזה? (מקסימום או מינימום). התוצאה: ‎f′′(x) = 2‎ (עקום קמור, ששיפועיו הולכים וגדלים ב-2). והמסקנה: זו נקודת קיצון מינימלית. נמצא את בן זוגו של x=0 על קו (1). התוצאה: ‎y = 0‎‏ (y=x). כלומר, הרצועה מגיעה למינימום מעל נקודת הציון (0,0) וגובה הפונקציה בנקודת הקיצון המינימלי, היא 0.

דוגמה 4

אנו מחפשים נקודת קיצון לפונקציה (המרחבית) ‎f(x, y) = xy‎ מהדוגמה הקודמת, אך תחת אילוץ שונה. האילוץ הוא שהפונקציה המרחבית רלוונטית רק לערכי y שמקיימים את המשוואה ‎y = 4 − x‎. או במילים אחרות, הפונקציה רלוונטית רק כאשר בן הזוג של כל x הוא ‎[4 − x]‎. בתרשים הבא, הקו האלכסוני (1) מציג את כל הצמדים המקיימים את האילוץ. מאפייני קו (1) הם:

1. הוא חותך את ציר ה-y בנקודה 4.
2. שיפועו -1.

כפי שעשינו בפעמים הקודמות, נציב בפונקציה (המרחבית) במקום y את החלופה ‎[4 − x]‎. הפונקציה (המרחבית) תצטמצם לרצועה מעל קו (1). הרצועה היא פונקציה של x, שצורתה ‎f(x) = x(4 − x) = 4x − x²‎. התרשים הבא מציג את הרצועה משתי נקודות מבט.

מציאת נקודת קיצון

(במהלך ההסבר התבוננו על הרצועה במבט מלפנים)

1. לפונקציה אין נקודת התחלה וסוף.
2. נמצא אם והיכן הנגזרת שלה משתווה ל-0. הנגזרת היא: ‎f′(x) = 4 − 2x‎. הנגזרת משתווה ל-0 כאשר x=2.
3. נבדוק בעזרת הנגזרת השנייה אם זו נקודת קיצון ואיזה? התוצאה: ‎f′′(x) = −2‎ (עקום קעור, ששיפועיו הולכים וקטנים ב-2). והמסקנה: נקודת קיצון מקסימלית. בערך x=2 הפונקציה היא בנקודת קיצון מקסימלית. נמצא את בן זוגו של x=2 על קו (1) במרחב הצירים. התוצאה: ‎y = 4 − 2 = 2‎. כלומר, הרצועה מגיעה למקסימום מעל נקודת ציון (2,2) (נקודה A בתרשים הקודם, במבט מלמעלה).

מפה טופוגרפית

רקע

מפה טופוגרפית מיועדת להמחיש צורה של מעטפת תלת מימדית (המונחת) על גבי מישור (דף נייר). לדוגמה המחשת הר שכיפתו מתנשאת לגובה של 600 מטר ובסיסו בגובה פני הים (= 0 מטר).

טכניקת הכנת מפה טופוגרפית

ההר שנמחיש הוא סימטרי מכל צדדיו ומונח על מישור בגובה פני הים. נתחיל מהנקודה הגבוהה ביותר (אפשר להתחיל מכל נקודה שהיא):

1. אנו צובעים את כל המקומות שגובהם 600 מטר. ישנה רק נקודה אחת כזאת – כיפת ההר.
2. אנו יורדים 100 מטר וצובעים את כל המקומות בהר שגובהם 500 מטר. במהלך הצביעה נבצע הקפה של ההר.
3. אנו יורדים בעוד 100 מטר וצובעים את כל המקומות בהר שגובהם 400 מטר. במהלך הצביעה, נבצע הקפה של ההר. ההקפה בגובה 400 מטר תהיה ארוכה יותר מזו של 500 מטר.
4. כך נמשיך לרדת ובמרווחים של 100 מטר נצבע את כל הנקודות במעטפת ההר.
5. ככל שנרד בגובה, קו הצבע שמקיף את ההר יילך ויתארך.

קו גובה

לקו הצבע שמתקבל בגובה מסויים נקרא: קו גובה ונסמן לידו את הגובה שאליו הוא מתייחס.

התבוננות מלמעלה על קווי הגובה

אם נתבונן מלמעלה (ממעוף הציפור) על קווי הגובה, נראה את הצורה המוצגת בתרשים הבא. ככל שההר תלול יותר קווי הגובה יהיו צפופים יותר. כאשר קיים מצוק בין הגבהים 300 ו-400 מטר, קווי הגובה של 300 ו-400 יתלכדו.

המחשה של הר לא סימטרי

בתרשים הבא מוצגים קווי הגובה של הר לא סימטרי שגובהו 600 מטר.

קווי גובה בעמקים

קווי גובה ניתן לשרטט גם כאשר הצורה היא עמק, בין אם הוא נמצא מעל פני הים או מתחתיו. התרשים הבא מציג עמק שנמצא מעל פני הים. קווי הגובה עולים מתחתית העמק כלפי מעלה. התרשים הבא מציג עמק שתחתיתו מתחת לפני הים.

מפה טופוגרפית

למפה שמציגה את פני השטח באמצעות קווי גובה קוראים מפה טופוגרפית.

קביעת מרווח הגובה בין קווי הגובה

קביעת מרווחי הגובה בין קווי הגובה נתונה לשיקול דעתנו. הם יכולים להיות כל 100 מטר, כל 1 מטר או כל 10 ס"מ. ההחלטה מושפעת מצורת המעטפת והמטרות שלנו. ככל שהמרווחים יותר קטנים, מתווספים יותר קווי גובה וההמחשה יותר מדוייקת, אך מנגד צפיפות קווי הגובה יכולה לפגום בראיית התמונה הכללית של השטח. מטפסי הרים מעוניינים במפה מדוייקת עם מרווחים קטנים ביותר. מטיילים שהולכים לצד ההרים והגאיות מעדיפים מפות טופוגרפיות פחות מדוייקות.

תוספת צירים x ו-y למפה טופוגרפית

התרשים הבא מבוסס על תרשים ההר הסימטרי שהוספנו לו צירים של x ו-y. התרשים מציג את קווי הגובה במבט מלמעלה. הערכים על הצירים מייצגים יחידות אורך כלשהן. מידת האורך יכולה להיות ס"מ, מטר, ק"מ וכד', בהתאם לנסיבות. בתרשים מידת האורך היא מטר. ב-2 הצירים יחידת האורך זהה ומומלץ גם שהמרווחים בין השנתות ב-2 הצירים יהיו שווים.

מדידת שיפועים בעזרת הצירים

בתרשים צלע ההר בין הגבהים 300 ו-200 מטר משורטטת כקו המסומל a. שיפוע הצלע מתקבל מהיחס שבין: 1) הפרש הגבהים בין קצוות הצלעות (-100 מטר) (פער בסימן מינוס). ל: 2) המרחק האופקי בין הקצוות, כפי שנמדד על ציר ה-x‏ (100 מטר). שיפוע היתר שווה: ‎−100 / 100 = −1‎. ככל שהמרחק האופקי בין הקצוות (המכנה) מתקצר, השיפוע יותר תלול.

מבט מלפנים על קווי הגובה של ההר (צירים x ו-z)

התרשים הבא מציג את קווי הגובה במבט מלפנים.

1. קווי הגובה הולכים ומתארכים ככל שגובהם יורד.
2. הגובה המצוין על כל קו גובה, זהה כמובן לגובה על ציר ה-z.

קווי גובה של מעטפת קטועה (חצי הר)

1. התרשים הבא מציג מ-2 נקודות מבט את קווי הגובה של מעטפת המתייחסת לחצי הר. חלק ההר שאינו מוצג בתרשים קרס.
2. התרשים הבא מציג מ-2 נקודות מבט את קווי הגובה של מעטפת שצורתה חצי גליל שעומד על מישור הצירים. קו הגובה העליון מסתיר את כל השאר.

קווי גובה של פונקציה (לדוגמה ‎f(x, y) = y + 2x‎)

כל הנקודות על המעטפת שהן בעלות אותה תוצאה, נמצאות על אותו קו גובה. למשל, כל הנקודות שתוצאתן 10:‏ ‎f(x, y) = 10‎.

תוואי קו גובה 10 במבט מלמעלה

התרשים הבא מציג את תוואי קו גובה 10. למעשה התוואי מתקבל מהנוסחה ‎y = 10 − 2x‎, שמייצגת קו ישר שנסמלו (1). מאפייני הקו: חיתוך עם ציר y:‏ 10. שיפוע: -2. תוצאת הפונקציה מעל כל נקודה על קו (1) היא 10.

קו גובה 10 במבט מלפנים

התרשים הבא מציג את קו גובה 10 במבט מלפנים.