משמעות ההסתברות שמתלווה לכל ערך של המשתנה

אם נזרוק 2 מטבעות הרבה מאוד פעמים, למשל מיליון פעמים (1,000,000 פעמים)

אזי, סביר שהערכים של המשתנה המקרי יתפלגו כדלקמן:

• בכ- `1/4` מהזריקות יהיו 0 הצלחות. (כ-250,000 פעמים)
• בכ- `1/2` מהזריקות יהיו 1 הצלחות. (כ-500,000 פעמים)
• בכ- `1/4` מהזריקות יהיו 2 הצלחות. (כ-250,000 פעמים)

אילו, באופן תאורטי, היתה לנו אפשרות לזרוק את המטבעות אינסוף פעמים אז:

• בדיוק ב- `1/4` מהזריקות יהיו 0 הצלחות.
• בדיוק ב- `1/2` מהזריקות יהיו 1 הצלחות.
• בדיוק ב- `1/4` מהזריקות יהיו 2 הצלחות.

טבלת ההתפלגות מתייחסת למקרה התאורטי של אוכלוסיה אינסופית.

חישוב מספר הצירופים האפשריים בסדרת ניסויים כלשהי

את מספר הצירופים האפשריים ניתן לחשב עפ"י הנוסחא הבאה:

דוגמאות:

1. בסבב של 3 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא 8 `(3^2=)`.
2. בסבב בן 10 זריקות לסל, מספר האפשרויות הוא 1,024 `(10^2=)`.
3. בזריקת 2 קוביות, מספר האפשרויות הוא 36 `(6^2=)`.
4. בזריקת 4 קוביות, מספר האפשרויות הוא 1,296 `(6^4=)`.

דוגמא עם מטבעות לא הוגנים (מזויפים)

נניח עכשיו ששתי המטבעות מזויפים וההסתברות לקבלת הצלחה בכל זריקה היא 0.8 (80%) וההסתברות לכישלון היא 0.2 (20%).

הכנת טבלת האפשרויות וחישוב ההסתברויות (טבלה 2.6)

טבלת אפשרויות – טורים 1-4

חישוב ההסתברויות – טור 5

הצגת ההתפלגות בטבלה ובתרשים:

• ההסתברות ל- 0 הצלחות מתקבלת מאפשרות ד'.
• ההסתברות ל- 1 הצלחה מתקבלת מאפשרויות ב ו- ג'. ` (0.32 = 2*0.16 )`
• ההסתברות ל- 2 הצלחות מתקבלת מאפשרות א'.

חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות הוגנים)

חישוב התוחלת

את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.9 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.9 מתבססת על טבלה 2.5.

התוחלת היא הממוצע של ההצלחות בזריקות המטבעות בהיתחשב בהסתברויותיהן.

סטיית התקן היא השורש של השונות: `0.707 =sqrt(0.5`

חישוב התוחלת וסטיית התקן (בזריקת 2 מטבעות מזוייפים)

חישוב התוחלת

את החישוב נערוך במסגרת טבלה 2.11 המשמשת כטבלת עזר. טבלה 2.11 מתבססת על טבלה 2.7.

חישוב סטיית התקן

סטיית התקן היא השורש של השונות: `0.566 =sqrt(0.32`

הפתעה לטובה – חישוב תוחלת וסטיית תקן ברגע

הסטטיסטיקאים גילו שניתן בקלות רבה לחשב תוחלת וסטיית תקן של משתנה מקרי בינומי.

תוחלת = מספר הניסויים כפול ההסתברות להצלחה בכל ניסוי.

שונות = התוחלת כפול ההסתברות לכישלון בכל ניסוי.

דוגמאות

1. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות הוגנים.

זכרו את דרך החישוב הפשוטה הזו, עוד נשתמש בה בהמשך.

2. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 2 מטבעות לא הוגנים עם הסתברות להצלחה 0.8.

3. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות הוגנים.

4. המשתנה – מספר ההצלחות בזריקת 10 מטבעות לא הוגנים, שבהם:

ההסתברות ל- 1 (הצלחה) = 0.9

ההסתברות ל- 0 (כשלון) = 0.1