גבולות

גבולות – הקדמה

1. כאשר מציבים ערך כלשהו של x בפונקציה, מקבלים את תוצאת הפונקציה באותו ערך. לדוגמה, בפונקציה f(x) = 1/x, כאשר מציבים x = 3, מקבלים f(x) = 1/3.
2. ב-2 תרחישים התוצאה שנקבל תהיה חסרת משמעות:
   I. בפונקציה לא רציפה, כאשר ערך ה-x מתייחס לנקודת הפיצול.
   II. בפונקציה רציפה, כאשר x = ∞ או -∞.
3. מטרת הפרק היא להעריך את תוצאת הפונקציה בסמיכות (מיקרוסקופית) לערכי ה-x שמניבים תוצאה חסרת משמעות.

גבול ( Limit בשפת המתמטיקה)

המונח גבול או גבולות, בהקשר המתמטי, בא לציין שאנו עוסקים בגבול או גבולות של נקודה בודדת כלשהי הנמצאת על גבי עקום הפונקציה, או בגבול של הפונקציה כאשר ה-x גדל עד אינסוף (או קטן עד מינוס אינסוף).

הגבולות של נקודה

הגבולות של כל נקודה על עקום הם 2 הנקודות הגובלות בה מ-2 צידיה. כל נקודה מהווה גבול. במילים אחרות: הגבולות הם תוצאות הפונקציה משני צידי הנקודה. כל נקודה על גבי עקום הפונקציה, מציינת את תוצאת הפונקציה בערך x כלשהו. לאור זאת הנקודות הגובלות בנקודה על העקום מ-2 צידיה, הן תוצאת הפונקציה בערכים הגובלים לערך x משני צדדיו. נסמל את הערך משמאל ל-x: ‏[x − A] ואת הערך שמימין ל-x: ‏[x + A]. ‏3 הערכים: [x − A], x, [x + A] צמודים זה לזה. כאשר אנו מתעניינים בתוצאות הפונקציה בנקודה כלשהי ובגבולותיה, אנו למעשה מתעניינים ב-3 נקודות צמודות על העקום. בתרשים A משורטט קטע מהפונקציה f(x) = ax² + bx + c ‏(פרבולה). תוצאת הפונקציה בערך x = 2 היא 8 וגבולותיה (תוצאות הפונקציה מ-2 צידי הנקודה) נושקות ל-8.

הערה: לצורך המחשת התיאור בתרשים, עיבינו את הנקודות והשארנו רווחים בין הקווים האנכיים. בפועל גם הקווים וגם הנקודות הם בעובי מיקרוסקופי וצמודים זה לזה.

שוני זניח בתוצאות

היות והשוני בתוצאות של 3 הנקודות (הנקודה וגבולותיה) הוא זניח, ניתן לומר שקיים ביניהן שוויון.

בפונקציה רציפה קיים שוויון בין הנקודה לגבולותיה

בפונקציה רציפה, תוצאות הפונקציה בכל נקודה שווה לגבולותיה, למעט כאשר x = ∞ או -∞ (יוסבר בהמשך). לאור זאת מספיק לדעת תוצאה של גבול אחד כדי לדעת את התוצאה בנקודה.

בנקודה מפוצלת – הנקודה בפיצול אינה שווה ל-2 גבולותיה

לנקודה בפיצול נקרא: נקודת הפיצול. בפונקציה מפוצלת הנקודה בפיצול "בורחת" מאחד הגבולות או משניהם.

דוגמאות (בליווי התרשימים)

1. בתרשים הבא נקודת הפיצול היא x = 0. הגבול השמאלי שלה (-0.000…..1) הוא אי שם מתחת לציר ה-X-ים בתחתיות מערכת הצירים והגבול הימני (0.000…..1) הוא אי שם מעל לציר ה-X-ים. כל 3 הנקודות אינן שוות.
2. בתרשים הבא נקודת הפיצול היא בערך x = 5. הגבול השמאלי שלה שווה ל-2 והגבול הימני ל-4. הנקודה (תוצאת הפונקציה) בערך x = 5 היא 4, שווה לגבול הימני ורחוקה מאוד מהגבול השמאלי. במילים אחרות: 3 הנקודות אינן שוות.

מקרא: • העקום מגיע עד לערך שמתחתיו, על ציר ה-x. ° העקום לא מגיע עד לערך שמתחתיו, על ציר ה-x, אלא רק נושק לו.

3. בתרשים הבא ישנה נקודת פיצול כאשר x = 6. הנקודה בערך זה היא 10. רחוקה מ-2 הגבולות שלה שהם באזור ה-3. גם כאן 3 הנקודות אינן שוות.

רציפות של פונקציה במבחן מתמטי

כדי שהפונקציה תהיה רציפה בנקודה מסויימת, צריכות להתקיים בה 3 תכונות:

1. תוצאת הפונקציה צריכה להיות מוגדרת בנקודה. הפונקציה בתרשים B נכשלת בתכונה זו.
2. לפונקציה צריכים להיות גבולות שווים בנקודה. הפונקציה בתרשים C נכשלת בתכונה זו. הגבול השמאלי הוא 2 והימני 4.
3. הגבולות צריכים להשתוות לנקודה. הפונקציה בתרשים D נכשלת בתכונה זו. הגבולות שווים ל-3 (בערך) והנקודה שווה ל-10.

למעשה, אפשר לומר במילים פשוטות שאם הנקודה ו-2 גבולותיה אינם שווים, אזי הפונקציה אינה רציפה באותה נקודה.

הערה המתייחסת לניסוחים

אנו מתנסחים בקיצור בצורה הבאה: 3 הנקודות שוות (או אינן שוות). הניסוח המדוייק והמלא צריך להיות: השוני בין תוצאת הפונקציה בערך x ובין תוצאת הפונקציה בערכים הסמוכים לו משני צידיו ([x − A] ו-[x + A]) זניח (או אינו זניח).

הניסוח והסימול המתמטי לגבולות

1. בפונקציה מפוצלת כאשר הפיצול מתרחש לדוגמה בערך x = 5, מסמלים את הגבול הימני ב-+5 ואת הגבול השמאלי ב–5.
2. דוגמאות לניסוח וסימול פונקציות בערכים: x = ∞ ו-x = 5 (נקודת פיצול):

חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת

נבחין בין חקירת הגבולות בפונקציה רציפה ובפונקציה מפוצלת. בפונקציה רציפה אנו מתעניינים רק בגבול אחד. הגבול שלפני x = ∞ והגבול שלפני x = -∞. אין משמעות לגבול שאחרי הנקודה, היא כבר מעבר ל-∞. בפונקציה מפוצלת אנו מתעניינים ב-2 הגבולות: זה שלפני נקודת הפיצול וזה שאחריה.

הטכניקה של חישוב הגבול

1. אנו מציבים בפונקציה את ערך ה-x שבו הפונקציה לא מוגדרת. תתקבל תוצאה כלשהי שתכלול לפחות אחד מהביטויים: ∞, -∞, 0. לדוגמה תתקבלנה התוצאות הבאות: [∞ ⋅ ∞], [0/(−∞)], [a/0⁺] ‏(a מייצג מספר חיובי).
2. המתמטיקאים פיתחו שורת הנחיות לחישוב הגבול או הגבולות בהתאם לתוצאות שתתקבלנה.
3. הנחיות המתמטיקאים מרוכזות ב-3 טבלאות להלן, הממוספרות 1, 2 ו-3. בטבלאות הבאות a מייצג מספר חיובי כלשהו.

טבלה 1

טבלה 2

טבלה 3

הסבר לטבלאות 1 ו-2: כל טבלה מכילה 3 שורות ו-2 טורים. טור 1, תוצאת הפונקציה. טור 2, הגבול. הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 1, הוא ∞. הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 2, הוא −∞. הגבול של כל התוצאות המפורטות בשורה 3, הוא 0.

הסבר לטבלה 3: הטבלה מכילה שורה בת 5 תוצאות. כאשר התוצאה המתקבלת היא זו המפורטת בטבלה 3, אין אפשרות לדעת מהו הגבול. אנו נדרשים למהלך מקדים שבו אנו משנים את פני הפונקציה, ורק לאחריו מציבים את הערך של x ומחשבים את הגבולות.

דוגמאות המתייחסות לטבלה 3

דוגמה 1 – ‏lim (x² − x) כאשר x→∞.
אם נציב x = ∞, נקבל: [∞ − ∞] (אחת מהתוצאות בטבלה 3).

שינוי פני הפונקציה – אם לפני ההצבה של x = ∞, נפרק את הפונקציה לגורמים, נוכל לפתור בקלות:
lim (x² − x) = lim x(x − 1) = [∞ ⋅ ∞] = ∞ (פירוק לגורמים; עפ"י טבלה 2).

דוגמה 2 – ‏lim (x² − 1)/(x + 1) כאשר x→∞.
אם נציב x = ∞, נקבל: [∞/∞].

שינוי פני הפונקציה – אם לפני ההצבה נחלק מונה ומכנה ב-x, נוכל לפתור בקלות:
lim (x² − 1)/(x + 1) = lim (x − 1/x)/(1 + 1/x) = [(∞ − 0)/(1 + 0)] = [∞/1] = ∞ (חלוקה ב-x).
ניתן לפתור גם ע"י פירוק לגורמים וצמצום:
lim (x² − 1)/(x + 1) = lim (x + 1)(x − 1)/(x + 1) = lim (x − 1) = ∞.

דוגמה 3 – ‏lim (5x³ + 2x² − 1)/(x⁴ + 5) כאשר x→∞.
אם נציב x = ∞, נקבל: [∞/∞] (אחת מהתוצאות בטבלה 3).

שינוי פני הפונקציה – אם לפני ההצבה נצמצם ב-x³, נוכל לפתור בקלות:
lim (5x³ + 2x² − 1)/(x⁴ + 5) = lim (5 + 2/x − 1/x³)/(x + 5/x³) = [(5 + 0 − 0)/(∞ + 0)] = [5/∞] = 0 (צמצום ב-x³; עפ"י טבלה 2).

דוגמה 4 – ‏lim (x² + 2x − 3)/(2x² − 2) כאשר x→1 (פונקציה מפוצלת).
אם נציב x = 1, נקבל: [0/0].

שינוי פני הפונקציה – אם לפני ההצבה נפרק לגורמים ונצמצם, נוכל לפתור בקלות:
lim (x² + 2x − 3)/(2x² − 2) = lim (x − 1)(x + 3)/2(x² − 1) = lim (x − 1)(x + 3)/2(x + 1)(x − 1) = lim (x + 3)/2(x + 1) = 4/4 = 1 (פירוק לגורמים; המשך הפירוק וצמצום).

כלל לופיטל

המתמטיקאי הדגול לופיטל מצא כלל פשוט לחישוב הגבול של פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות [f(x) = g(x)/h(x)] והוא כדלקמן:

כאשר לאחר ההצבה של ערך ה-x בנקודת הפיצול, התוצאה המתקבלת היא: [∞/∞] או [0/0] (תוצאות הכלולות בטבלה 3), אפשר לגזור את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד ולהציב את ערך ה-x בנקודת הפיצול, כלומר: כאשר f(x) = g(x)/h(x), אזי lim g(x)/h(x) =_L lim g'(x)/h'(x).

אם לאחר פעולת הגזירה התוצאה המתקבלת היא עדיין [∞/∞] או [0/0], ממשיכים לגזור שוב ושוב את המונה בנפרד ואת המכנה בנפרד, עד שמתקבלת תוצאה רצויה, כלומר תוצאה סופית כלשהי, או אחת מהתוצאות המפורטות בטבלאות 1 ו-2.

סימול כלל לופיטל

כאשר מפעילים את כלל לופיטל, מקובל לכתוב את האות L מתחת לסימן השיוויון שלפני המילה Lim. ‏lim g(x)/h(x) =_L lim g'(x)/h'(x).

דוגמה 5 (זהה לדוגמה 3 לעיל) – ‏lim (5x³ + 2x² − 1)/(x⁴ + 5) כאשר x→∞. כאשר מציבים x = ∞ מקבלים [∞/∞]. לאור זאת אפשר להשתמש בכלל לופיטל. ההצגה המתמטית במלואה תיראה כך (גוזרים, גוזרים שוב וגוזרים שוב):
lim (5x³ + 2x² − 1)/(x⁴ + 5) = [∞/∞] =_L lim (15x² + 4x)/4x³ = [∞/∞] =_L lim (30x + 4)/12x² = [∞/∞] =_L lim 30/24x = 30/∞ = 0
כלומר: lim (5x³ + 2x² − 1)/(x⁴ + 5) = 0.

דוגמה 6 (זהה לדוגמה 4 לעיל) – ‏lim (x² + 2x − 3)/(2x² − 2) = [0/0] =_L lim (2x + 2)/4x = 4/4 = 1 (גוזרים). קיבלנו את אותה התוצאה שהתקבלה בדוגמה 4.

המגבלות בכלל לופיטל

כאשר התוצאה המתקבלת בסוף היא ∞ או -∞, הגבול שגוי ועלינו לחשב את הגבול בדרכים אחרות, כגון שינוי פני הפונקציה.

הסבר מדוע 5 התוצאות המתקבלות בטבלה 3 אינן מוגדרות

1. [∞−∞] אינו בהכרח 0. וההסבר: כאשר אנו מדברים על אינסוף (∞) אזי מתכוונים למידה שגודלה הוא מעבר ליכולת הדמיון שלנו. מבחינתנו, אינסוף יכול להתבטא ב: 1 שנת אור = ∞ וגם ב-100 שנות אור = ∞. אבל הפער ביניהם הוא 99 שנות אור שמבטא עבורנו גם אינסוף (∞). לפיכך [∞−∞] יכול להיות ∞ בעצמו.
2. [∞/∞] אינו בהכרח 1. מאותן סיבות ש-[∞−∞] אינו 0. ה-∞ שבמונה יכול להיות פי ∞ מה-∞ שבמכנה.
3. [0/0] אינו בהכרח 1. וההסבר: ה-0 במונה וה-0 במכנה מייצגים גבולות של פונקציות משנה וייתכן שכל אחד מהן הוא טיפה יותר מ-0 או טיפה פחות מ-0. אם ה-0 של המונה הוא טיפה גדול מ-0 אזי תוצאת השבר היא ∞.
4. [∞⁰] אינו בהכרח 1. וההסבר: הן ה-0 והן ה-∞ הם גבול של פונקציות משנה וייתכן שה-0 הוא טיפה גדול או טיפה קטן מ-0. אם הוא טיפה גדול מ-0 אז [∞⁰] יכול להיות גם ∞.
5. [1^∞] אינו בהכרח 1. וההסבר: ה-1 הוא גבול ויכול להיות טיפה גדול או טיפה קטן מ-1. אם הוא טיפה גדול מ-1 אזי [1^∞] יכול להיות גם ∞.

הוכחת חוקי הגזירה של הפונקציה f(x) = x²

הקדמה

אמנם הקדמנו וטענו שהוכחת חוקי הגזירה די מיותרת לכלכלנים, אך עם זאת מצאנו לנכון להמחיש את דרך החשיבה המתמטית בהקשר של חוקי הגזירה. כדוגמה נתייחס לפונקציה f(x) = x².

חישוב שיפוע הפונקציה בערך x כלשהו

נרצה לחשב את השיפוע בנקודה B. הנקודה היא (x_B, x_B²). הנקודה A קרובה ל-B וערכיה הם (x_A, x_A²). ההסבר מלווה בתרשים שבעמוד הבא.

סימולים

הערך x_A הוא הערך הנושק ל-x_B מימין או משמאל.

הנקודה A היא תוצאת הפונקציה בערך x_A. כלומר x_A².

הנקודה B היא תוצאת הפונקציה בערך x_B. כלומר x_B².

∆y מוגדר כ-[f(x_A), f(x_B)]. כלומר [x_A² − x_B²].

∆x מוגדר כ-[x_A − x_B].

השבר ∆y/∆x מייצג את שיפוע הפונקציה בנקודה B כאשר x_B ← x_A (במילים: כאשר x_A שואף ל-x_B ונקודה A מתלכדת עם נקודה B).

נציב במקום ∆y את הביטוי [x_A² − x_B²] ובמקום ∆x את הביטוי [x_A − x_B] ונקבל את משוואה 1.

משוואה 1: ‏∆y/∆x = [x_A² − x_B²] / [x_A − x_B]

נתייחס לאיבר בסוגריים במשוואה 1: כאשר x_B ← x_A, ‏x_A מתלכד עם x_B והנקודה A מתלכדת עם B. אם בעקבות ההתלכדות נציב x_B במקום x_A, נקבל 0 במונה ו-0 במכנה, ותוצאת השבר היא [0/0] = 0, שמשמעותה: השיפוע בכל נקודה על העקום הוא 0. אנו כמובן יודעים שזה לא נכון.

התחכום

המתמטיקאים מפרקים את המונה ל-2 מכפלות: [x_A² − x_B²] = (x_A − x_B)(x_A + x_B) ומתקבלת משוואה 2.

משוואה 2: ‏∆y/∆x = (x_A − x_B)(x_A + x_B) / (x_A − x_B)

אם נציב עכשיו x_B במקום x_A נקבל 2x_B. יוצא אפוא שכאשר f(x) = x², הנגזרת היא: f'(x) = 2x. תחכומים דומים משמשים בהוכחת שאר חוקי הגזירה.