מונחים מרכזיים ומשמעותם

פרק 3

מונחים מרכזיים ומשמעותם

תוחלת

סטיית תקן )(σ

התפלגות התוצאות

מונחים מרכזיים ומשמעותם

ממוצע הוא נתון בודד (פרי חישוב) שבא לאפיין מעין גודל אמצעי של קבוצת נתונים בעלי אופי דומה, שנמדדים באותה יחידת מידה. קבוצת הנתונים יכולה להיות ציונים של תלמידי כתה א', הגובה של ילדים בגיל 10 וכד'. הגדרה יותר מדוייקת של המונח ממוצע תוצג במהלך הפרק.

כיצד מחשבים ממוצע

נציג 3 דרכים לחישוב ממוצע על רקע דוגמא המתייחסת לציונים שקיבלו 10 תלמידי כתה ד' במבחן בחשבון.

דרך א: סיכום הציונים וחלוקתם במספר התלמידים

בטבלה 3.1 מפורטים ציוני התלמידים במבחן. טבלה 3.1 הציון סדר התלמידים (בנקודות) (לפי א-ב של שמותיהם) 90 נק' תלמיד מס' 1 " 80 תלמיד מס' 2 " 70 תלמיד מס' 3 " 90 תלמיד מס' 4 " 80 תלמיד מס' 5 " 70 תלמיד מס' 6 " 80 תלמיד מס' 7 " 70 תלמיד מס' 8 " 70 תלמיד מס' 9 " 70 תלמיד מס' 10 770 נק' סה"כ סכום הציונים 77 נק' = 770 נק' ממוצע 10 תלמידים על מנת לחשב את הממוצע, אנו מסכמים את סך כל הציונים של התלמידים.התוצאה המתקבלת היא 770 נקודות ואותה אנו מחלקים במספר התלמידים ומקבלים 77 נקודות 77. נקודות הוא הציון הממוצע.

הגדרה יותר מדוייקת של הממוצע

לסה"כ הציונים של הקבוצה ( 770 נקודות) נקרא: הסכום המקורי של סך ציוני הקבוצה. הממוצע הוא נתון בגודל כזה שאילו כל 10 הציונים היו אחידים, בגודל של הממוצע, אז סה"כ כל 10 הציונים האחידים היו משתווים לסכום המקורי של סך ציוני הקבוצה, כלומר( 77: ממוצע) 770 = 10 X נקודות.

דרך ב' -באמצעות התרומה של כל תלמיד לממוצע

כפי שנראה מיד, כל תלמיד תורם מספר נקודות כלשהם לממוצע. גודל התרומה מושפע מ 2-גורמים:

הציון שלו -ככל שהציון גבוה יותר, תרומתו לממוצע גדולה יותר..I

חלקו היחסי בכיתה (ההסבר בדרך).II

המונח חלקו היחסי בא לציין מה חלקו של התלמיד מכלל מספר התלמידים בכיתה. בכיתה בת 10 תלמידים, כל תלמיד מהווה 1 או 10% מהכיתה. בכיתה בת 2 תלמידים, כל תלמיד מהווה ½ או 50% מהכיתה. בכיתה בת 1 תלמידים, כל תלמיד מהווה 1 או 100% מהכיתה.

ככל שחלקו היחסי של התלמיד יותר גדול, תרומתו לממוצע יותר גדולה.הכלכלנים נוהגים להשתמש במונח משקלו של התלמיד במקום במונח חלקו היחסי.וכך נעשה גם אנו בהמשך (ברוב המקרים). המשקל נמדד באחוזים חלק יחסי = משקל איור A מציג את תרומתו של כל תלמיד לממוצע. האיור מחולק ל 2-חלקים: חלק א' -מציג את כל אחד מעשרת התלמידים ומתחתיו את הציון שקיבל. חלק ב' -מציג את התרומה של כל תלמיד לממוצע, ודרך חישובה.

באיור ניתן לראות שתלמיד מס' 1 תורם 9 נקודות לממוצע.תרומתו מתקבלת מהמכפלה של ציונו ( 90 נקודות) במשקלו בכיתה (.10)%תלמיד מס' 2 תורם 8 נקודות לממוצע )ציונו 80 נקודות ומשקלו (10% וכך הלאה עד התלמיד ה 10.- איור 3.1 דרך ג' -באמצעות קבוצות תלמידים בעלי אותו ציון דרך זו היא היותר פופולארית ובמקרים רבים גם יותר פשוטה. לצורך החישוב אנו מסדרים את תלמידי הכיתה בקבוצות עפ"י הציון שקיבלו. איור 3.2

גודל התרומה של כל קבוצה מושפע מ 2-גורמים:

הציון של הקבוצה -ככל שהציון גבוה יותר, כך תרומת הקבוצה לממוצע גדולה יותר..I

.II משקל הקבוצה -משקל הקבוצה הוא סה"כ משקלם של כל התלמידים בקבוצה.בדוגמא שלנו משקלו של כל תלמיד הוא. 10% (וכך משקלם של 3 תלמידים הוא 30% ושל 5 תלמידים הוא 50%)

באיור B ניתן לראות ש:

קבוצה 1 תורמת לממוצע 18 נקודות. קבוצה 2 תורמת לממוצע 24 נקודות. קבוצה 3 תורמת לממוצע 35 נקודות. , שהוא הממוצע. ובסה"כ 3 הקבוצות תורמות 77 נקודות ארגון הנתונים בטבלה טבלה 3.2 תרומת הקבוצה משקל מספר הפרטים נתוני התצפית מיספור לממוצע הקבוצה בכל קבוצה של הקבוצה הקבוצות × (הציונים) 18 נק' 20% 2 90 נק' קבוצה 1 " 24 30% 3 80 נק' קבוצה 2 " 35 50% 5 70 נק' קבוצה 3 77 נק' הממוצע 100% 10 סה"כ

הכרת המונחים הנלווים

לפני שנעבור לדוגמא הבאה, נעשה היכרות עם מספר מונחים שהשימוש בהם יהפוך את פתרון הדוגמא הבאה למשחק ילדים.להצגת המונחים ניעזר בדוגמא הקודמת שבה חישבנו את ממוצע הציונים בכיתה.

• אוכלוסיית היעד -כל התלמידים בכיתה (שעבורם אנו מחשבים את הממוצע) מכונים: אוכלוסיית היעד.
• פרט -כל אחד באוכלוסיית היעד מכונה: פְַּרט.
• תצפיות -ציוני התלמידים, באופן כללי, מכונים: תצפיות.
• נתוני התצפיות -אלו הם הציונים הספציפיים של כל תלמיד ותלמיד. בדוגמא שלנו ישנם רק 3 נתוני תצפיות 90: נק' 80, נק' ו 70-נק'. אילו היינו מחשבים את ממוצע הגובה של תלמידי הכיתה, אזי התצפיות היו הגבהים של התלמידים, ונתוני התצפיות -נתוני הגובה שנמדדו ביחס לכל תלמיד ותלמיד. בכל דוגמא בהמשך נאתר תחילה את אוכלוסיית היעד ואת נתוני התצפיות. לאחר מכן נסדר את אוכלוסיית היעד בקבוצות על פי נתוני התצפיות. כל הפרטים בעלי אותם נתוני תצפית, משתייכים לאותה קבוצה.

דוגמא נוספת -צי רכב דוגמאות

לחברת אוטובוסים יש צי של 12 אוטובוסים. 6 מהם נרכשו לפני 7 שנים, 3 נוספים נרכשו לפני 3 שנים, ו 3-האוטובוסים הנותרים נרכשו לפני שנה. כל האוטובוסים נכנסים למוסך כמה פעמים בשנה.בסוף השנה בדק בעל החברה את מספר הביקורים של האוטובוסים במוסך ומצא כי האוטובוסים בני ה 7-נכנסים למוסך 10 פעמים בשנה (כל אחד), האוטובוסים בני ה 3-נכנסים למוסך 8 פעמים בשנה, ואילו האוטובוסים החדשים (בני השנה) נכנסים למוסך 4 פעמים בשנה. והשאלה -כמה פעמים בממוצע נכנס כל אוטובוס למוסך? נארגן את הנתונים: אוכלוסיית היעד -צי האוטובוסים 12(.אוטובוסים).כל אוטובוס הוא פרט. התצפיות -מספר הביקורים של רכב במוסך. נתוני התצפיות -מספר הביקורים הספציפי של כל אוטובוס ואוטובוס. האיור הבא מציג את תמונת המצב של נתוני התצפיות. איור 3.3 בדוגמא זו לכל קבוצה יש מאפיין נוסף (מלבד מספר הביקורים במוסך) והוא ותק האוטובוסים שבה.לפעמים נוח יותר להשתמש דווקא במאפיין הנוסף להצגת הקבוצות כפי שנראה בטבלה הבאה (טור, 2) המרכזת את נתוני הדוגמא.

דוגמא נוספת -בורסה

משה משקיע במניותיהן של 3 חברות בורסאיות. בנק הפועלים (בקיצור: בנה"פ), בנק לאומי (בקיצור: בל"ל) ובזק. ביום 1.1.02 בבוקר, תמונת המצב של השקעתו היתה כדלקמן(: הנתונים לא אמיתיים) מידע על ההשקעה (ראה טבלאות 3.4–3.5) ברור שמשה הרוויח יפה באותו יום והשאלה הראשונה שלנו היא כמה ש"ח בממוצע הרוויח משה על כל מניה שברשותו? ארגון נתוני הדוגמא אוכלוסיית היעד -המניות שבבעלות משה ( 20 מניות). נתוני התצפיות -הרווח בש"ח של כל מניה ומניה. נארגן את הקבוצות עפ"י נתוני התצפיות. ישנן 3 נתוני תצפיות שונים 0.6: ש"ח 1.50, ש"ח ו 2.4-ש"ח. מאפיין נוסף לכל קבוצה הוא שכל המניות בקבוצה כלשהי משתייכות גם לאותה חברה, דהיינו: כל מניה שעלתה ב 0.6-ש"ח שייכת לבנה"פ. כל מניה שעלתה ב 1.5-ש"ח שייכת לבל"ל. כל מניה שעלתה ב 2.4-ש"ח שייכת לבזק. (ראה טבלה 3.6) רווח ממוצע למניה מהחישוב עולה (טור 6 שורה תחתונה) שהרווח הממוצע למניה היה 1.05 ש"ח.סה"כ הרווח של משה הסתכם ב-21 ש"ח (= 20 מניות × 1.05 ש"ח למניה) המהווים רווח של,10.94% על סכום ההשקעה ( 192 ש"ח).

חישוב הרווח הממוצע לכל שקל השקעה

שאלה נוספת שמתבקשת בהקשר לדוגמא זו היא כמה משה הרוויח (באחוזים) בממוצע על כל שקל מתוך 192 ש"ח שהחזיק בבורסה בבוקר של ?1.1.02 לפני שניגש לחישוב, נחדד את משמעות התשובה. אם התשובה לשאלתנו היתה לדוגמא,10% המשמעות היא שלמשה היו אמורים להתווסף 10% לשווי השקעתו המקורית.דהיינו 19.2: ש"ח.או במלים אחרות: לכל שקל השקעה נוספו 10 אג' (=.10)% ארגון הנתונים: אוכלוסיית היעד 192 -ש"ח.כל ש"ח הוא פרט באוכלוסיית היעד. התצפיות -הרווח היומי באחוזים של כל אחד מ 192-השקלים בהשקעה. נתוני התצפיות -ישנן רק 3 נתוני תצפיות שונים( 10%.מניות בנה"פ)( 15%, מניות בל"ל) ו( 8%-מניות בזק). סידור בקבוצות -ישנן 3 קבוצות בהתאם ל 3-נתוני התצפיות השונים. הצבת הנתונים בטבלה טבלה 3.7 תרומת משקל מספר נתוני מאפייני הקבוצה מיספור הקבוצה הקבוצה הפרטים בכל התצפית של (חברות בורסאיות) הקבוצה (אחוזים) קבוצה הקבוצה (סכום ההשקעה) (רווח ב)%- 3.75% 37.50% 72 ש"ח 10% בנה"פ קבוצה 1 4.69% 31.25% " 60 15% בל"ל קבוצה 2 2.50% 31.25% " 60 8% בזק קבוצה 3 10.94% 100% 192 ש"ח – – סה"כ ( 1) הנתונים מטבלה 3.4 טור 4 ( 2) ממוצע הרווח באחוזים על ההשקעה. הערה: אלו מכם שחשבו לבחור בסה"כ המניות ( 20 מניות) כאוכלוסיית יעד, היו טועים.וההסבר: מספר המניות לא לוקח בחשבון את המחיר של כל אחת מהמניות, כלומר את השווי הכספי של 20 המניות, או במילים אחרות: מהו הסכום הדרוש לרכישת אותן 20 מניות.

שימוש במילה תוחלת במקום במילה ממוצע

ישנם מקרים שהמילה תוחלת מחליפה את המילה ממוצע.המקרה השכיח ביותר הוא כאשר המשקל (באחוזים) של כל קבוצה מתקבל על בסיס אומדן ולא בעקבות ספירה מדויקת של מספר הפרטים בקבוצה וחישוב חלקם באוכלוסיית היעד.למעשה, במקרים אלו גם גודל אוכלוסיית היעד אינו רלוונטי לחישוב הממוצע. נשמע מעורפל? בצדק. אך אנו מקווים שהחל מהדוגמא השניה בסידרת 3 הדוגמאות הבאות -שהן דומות להפליא לדוגמאות שכבר פתרנו -הערפל יתפוגג. דוגמא – 1 המספרה של משה למשה הוצע לפתוח מספרה.מאחר והוא בחור שקול ויסודי הוא החליט לבחון לעומק את סיכויי ההצלחה.לשם כך הוא נפגש עם 100 מחבריו שהם בעלי מספרות וקיבל מהם מידע לגבי רווחיות המספרות שבבעלותם.מהמידע שאסף עולה התמונה הבאה: 20 מספרות מרוויחות לשנה 100K ש"ח האות K משמשת תחליף ל 000.- 50 מספרות מרוויחות לשנה 50K ש"ח לדוגמא, כותבים 100K ש"ח במקום 100,000 ש"ח. 30 מספרות מפסידות לשנה 30K ש"ח בכל פעם שכתוב – K קרא אותה: אֶ לֶף.

• K היא קיצור של 1000 = Kilo מקובל להציג נתון שלילי ב-2 צורות:
• עם סימן מינוס משמאלו -30k
• בסוגריים )(30k כהרגלנו, לצורך הפשטות, צמצמנו ל 3-את מגוון נתוני התצפיות. מהנתונים עולה שרוב המספרות רווחיות וזה עודד את משה.אך הוא ביקש לעבוד בצורה יותר מקצועית וחישב את הרווח הממוצע למספרה.התוצאה שקיבל היא 36K ש"ח, על פי החישוב הבא.
• ארגון הנתונים -תרגול בשלב זה אנו מקפידים בכל דוגמא לארגן את הנתונים ואף להשתמש באיור.אולם בעוד מספר דוגמאות תגלו שהנתונים מסתדרים לכם בקלות בטבלה, ואף תבצעו חישובים בקיצור. אוכלוסיית היעד 100 -מספרות. נתוני התצפיות 100K -ש"ח 50K, ש"ח ו -30 K-ש"ח חלוקה לקבוצות 100K ש"ח 50K ש"ח -30K ש"ח איור 3.4 מספרות מספרות מספרות 100K ש"ח 20% X 50K ש"ח 50% X -30K ש"ח 30% X 20K +ש"ח 25K ש"ח + -9K ש"ח 36K ש"ח הצבת הנתונים בטבלה טבלה 3.8 תרומת הקבוצה משקל מספר הפרטים נתוני מאפייני מיספור לממוצע הקבוצה בכל קבוצה התצפית של הקבוצה הקבוצה × הקבוצה (רווח שנתי) ש"ח 20K 20% 20 מספרות 100K ש"ח אין קבוצה 1 " 25K 50% " 50 " 50K אין קבוצה 2 " -9K 30% " 30 " -30K אין קבוצה 3 ש"ח 36K 100% " 100 – – סה"כ מה עושים עם הממוצע? -חכו בסבלנות. המספרה של שמעון שמעון, עולה חדש מארגנטינה, שעבד שם כספר, מחליט גם כן לבחון פתיחת מספרה.לשמעון אין חברים בעלי מספרות.אך הוא בחור אינטליגנטי והחליט להיוועץ עם יועץ כלכלי. היועץ בחן את הנושא והציג לשמעון את מסקנותיו כדלקמן: יש סיכוי של 70% שתרוויח 100K ש"ח לשנה. וסיכוי של 30% שתפסיד 50K ש"ח לשנה. המשמעות של מסקנות היועץ המשמעות של מסקנות היועץ הן פשוטות.לדבריו, אילו שמעון היה פותח היום הרבה מספרות, (למשל 1),000 אזי: כ 70% -מהן היו מרוויחות 100K ש"ח וכ 30% -היו מפסידות 50K ש"ח. לצורך הפשטות דאגנו שנתוני היועץ יציגו רק שני נתוני תצפיות אפשריים: רווח 100K ש"ח, והפסד 50K ש"ח. אם אומנם המציאות תהיה כדברי היועץ, או שהיא תהיה הפוכה, לא ניתן לדעת, אך זוהי הערכתו של היועץ ונניח בהמשך ששמעון מאמץ אותה. חישוב ממוצע הרווח על פי נתוני היועץ בדוגמא זו המונח תוחלת יחליף את המונח ממוצע. את החישוב נבצע ב 2-מסלולים:
• המסלול המוכר לנו, ולשם כך נניח ששמעון פותח 10 מספרות, ושהן מתחלקות למספרות מרוויחות ומספרות מפסידות בדיוק לפי הערכת היועץ.
• מסלול מקוצר. חישוב על פי המסלול המוכר ארגון הנתונים: אוכלוסיית היעד 10 -מספרות. נתוני התצפיות -ישנן 2 אפשרויות 100K: ש"ח ו 50K(-ש"ח). הצגת הנתונים באיור 100K ש"ח ( 50K ש"ח) איור 3.5 70% 30% משקל הקבוצה הצבת הנתונים בטבלה טבלה 3.9 תרומת משקל מספר נתוני התצפית מאפייני מיספור הקבוצה הקבוצה הפרטים של הקבוצה הקבוצה הקבוצה לממוצע בכל קבוצה (רווחי המספרות) 70K ש"ח 70% 7 100K ש"ח אין מאפיינים קבוצה 1 ( 15)K ש"ח 30% 3 ( 50)K ש"ח אין מאפיינים קבוצה 2 55K ש"ח 100% סה"כ תוחלת כלומר – תוחלת הרווח למספרה הוא 55K ש"ח.

חישוב במסלול מקוצר

רקע היועץ במסקנותיו, למעשה כבר סידר לנו את התצפיות בקבוצות, וגם נתן לקבוצות משקלים. לנו נשאר רק לכפול את נתוני התצפיות במשקלים. ממוצע ותוחלת הם 2 מונחים בעלי אותה משמעות.בספר סטטיסטיקה למתחילים מוסבר בהרחבה מתי נכון להשתמש באחד ומתי בשני. כאן רק נרמוז שנכון להשתמש במונח תוחלת כאשר החישוב מתבסס על הסתברויות או סיכויים ובמונח ממוצע כאשר החישוב מתבסס על משקל יחסי. משקל יחסי, הסתברות וסיכוי הם 3 מונחים בעלי אותה משמעות. בספר סטטיסטיקה למתחילים מוסבר בהרחבה מתי נכון להשתמש בכל אחד מהם. בספר זה לא נרחיב.כל אחד יכול להשתמש כרצונו לפי הענין והתחושה הפנימית(.שהיא בד"כ מדוייקת) הסבר מתוך דברי היועץ אנו מניחים שישנן רק שתי אפשרויות של נתוני תצפיות. 100K (1 ש"ח (רווח), -50K (2 ש"ח (הפסד). על פי שתי תצפיות אלו מתארגנות שתי קבוצות. משקל כל קבוצה הוא הסיכוי שבו נקב היועץ.שכן, המשמעות של המונח סיכוי הוא שלא חשוב כמה מספרות נפתח, תמיד: 70% מהן יהיו בקבוצת ה 100 K-ש"ח " ה – 50 K -ש"ח. " " ו 30%- לאור זאת אנו ממלאים את הטבלה תוך חיסכון בחישוב טור (.5 כפי שקבע היועץ). (ראה טבלה 3.10) דוד (שם בדוי) בוחן גם כן פתיחת מספרה באורח לא מפתיע רבים בציבור נמשכים לענף המספרות וביניהם גם דוד שעובד במוסך. לדוד אין חברים ספרים וגם לא כסף ליועצים.הוא ביקש את עזרתנו.אנו הצענו לו שיחשוב בדרך המקובלת, לפיה ידמיין שיש באפשרותו לפתוח מספרות רבות וכן שייתכנו רק 4 תוצאות אפשריות לרווח שנתי 100K (1: ש"ח 70K (2 ש"ח 20K (3 ש"ח -50K (4 ש"ח. הדרכנו אותו שינסה להעריך כיצד התפלגו (=התחלקו) המספרות הדמיוניות הנ"ל באחוזים בין 4 התוצאות האפשריות, או במלים פשוטות יותר: איזה אחוז מהמספרות ירוויחו 100K ש"ח, איזה אחוז (מהמספרות) ירוויחו 70K ש"ח, איזה אחוז ירויחו 20K ש"ח, ואיזה אחוז יפסידו-50K הסברנו לו שאת ההערכות שיקבל יציב בטור 5 בטבלה 3.11 ומתוכן יחשב את טור 6 ואת התוחלת.דוד הבין אותנו, וחישב את תוחלת הרווח. (ראה טבלה 3.11)

השימוש בתוחלת -יתרונות וחסרונות

נחזור למשה ולמספרה שלו.משה לא עומד לפתוח 100 מספרות אלא רק אחת ויש כמובן סיכוי שהוא דווקא יפסיד כל שנה.הוא לא יוכל לטעון בפני ריבונו של עולם שהתוחלת היתה לטובתו. גם שמעון ודוד יכולים לבסוף להימנות עם ה"ספרים הבוכים". אז בשביל מה התוחלת לעזאזל? והתשובה פשוטה.התוחלת נותנת לנו הערכה לגבי סיכויי ההצלחה או הכישלון.אילו משה היה פותח 100 מספרות או 1000 מספרות והרווח שהן היו מניבות היה תואם בדיוק להנחיות סיכויי הרווח או ההפסד שלנו, אזי בממוצע הרווח למספרה היה שווה לתוחלת.ככל שתוחלת הרווח גבוהה יותר, כך הנכונות של משה לפתוח מספרה תלך ותגדל. כאשר התוחלת שלילית, רוב הסיכויים שהמספרה של משה תפסיד. נבחן 2 תרחישים המתייחסים לפתיחת מספרה ונשווה בין 2 התוחלות שלהן. תרחיש – 1 פתיחת מספרה בת"א.נתוני התרחיש מוצגים בטבלה A1 טורים 1 ו 2.- תרחיש – 2 פתיחת מספרה בבאר שבע.נתוני התרחיש מוצגים בטבלה A2 טורים 1 ו 2.- תרחיש – 2 ב"ש תרחיש – 1 ת"א טבלה 3.13 טבלה 3.12 התרומה סכום הרווח הסיכוי התרומה סכום הרווח הסיכוי לתוחלת (הפסד) לתוחלת (הפסד) × השנתי × השנתי 10K ש"ח 10% 100K ש"ח 80K ש"ח 80% 100K ש"ח " 7K 10% " 70K " 7K 10% " 70K (" 8)K 80% (" 10)K )(" 1K 10% " -(10)K 9K ש"ח התוחלת 86K ש"ח התוחלת בשורה אחרונה של טור,3 בכל אחת מהטבלאות מחושבת תוחלת הרווח (= ממוצע הרווח). תוחלת הרווח בת"א היא 86 K ש"ח, גבוהה יותר מזו של ב"ש-9K ש"ח.עדיף לפיכך לפתוח את המספרה בת"א.

סטיית תקן σ –

הקדמה באמצעות דוגמא במדינה א' מתקיים מידי שנה טורניר לבחירת מלך הסלים ממחצית המגרש.כל מועדון כדורסל שולח נציג אחד לטורניר. כל משתתף בטורניר קולע 10 פעמים מנקודת החצי. הזוכה בטורניר (מי שקולע יותר סלים) מקבל פרס בגובה של 1 מיליון ש"ח וגם מאמנו במועדון מקבל סכום דומה. במועדון הכדורסל "מכבים" המאמן בוחר את נציגו מתוך 4 שחקנים מצטיינים בשיטה הבאה: הוא מקיים 5 סיבובי "זריקות אמצע".בכל סיבוב כל שחקן זורק 10 פעמים לסל.נבחר מי שממוצע הקליעות שלו ב 5-הסיבובים הוא הגדול ביותר. להלן תוצאות סיבובי הזריקות של שחקניו: (ראה טבלה 3.14)

• בשנה שעברה הזוכה בטורניר קלע בממוצע 4 סלים.
• הוא אמור לקבל פרס של 1 מליון ש"ח, אם נציגו יזכה. מהתבוננות בתוצאות הטבלה סביר שתבחר בשחקן מס' 3 שכן התנודתיות )שפירושה: חוסר עקביות( במספר הקליעות אצלו מסיבוב לסיבוב קטנה יחסית והיא אמורה לסכן פחות את הפרס של המאמן לעומת שחקנים אחרים.אילו שחקן מס' 3 היה מפגין את היכולת הנוכחית שלו בטורניר אשתקד, היה לו סיכוי טוב לזכות במקום ראשון או לפחות להיות שותף לזכיה, שכן באף סיבוב הוא לא קלע פחות מ 4-סלים.מנגד, אצל שחקן מס' 4 נרשמה תנודתיות יותר גבוהה מסיבוב לסיבוב.אילו הוא היה משתתף בטורניר אשתקד הייתה גם אפשרות שהוא יקלע פחות מ 4-קליעות בסיבוב. התנודתיות (בקליעות) מתפרשת כגורם סיכון לצורך ההסבר בהמשך נשתמש גם במילה אי יציבות כתחליף למילה תנודתיות. להלן הקבלה בין אי יציבות לתנודתיות ב – 3 מצבים.
• אי יציבות = תנודתיות.
• יציבות מלאה = היעדר תנודתיות.
• יציבות רבה = תנודתיות נמוכה. בעיני מרבית האנשים, תנודתיות הקליעות של שחקן מס' 4 מסכנת את פרס המאמן יותר מהיציבות בקליעות של שחקן מס'.3 למרות שלשניהם אותו ממוצע קליעות. ואמנם במיגזר הפיננסי תנודתיות מתחברת עם סיכון.ככל שהתנודתיות גדולה יותר מייחסים לה סיכון גדול יותר. איור – 3.6 שחקן 4 איור – 3.5 שחקן 3 דוגמא: משה קנה מניות של 2 בנקים: בנק א' ובנק ב'. תמורת המניות של כל בנק הוא שילם 1,000 ש"ח, ובסה"כ 2,000 ש"ח. מידי סוף חודש הבנקים דיווחו לו על רווחיות השקעתו באותו חודש והוא הציב את התוצאות בטבלה 3.15 אחוזי הרווח בכל חודש מתייחסים לסכום ההשקעה המקורית. לדוגמא בחודש הראשון הוא הרוויח בבנק א' 10 ש"ח (שהם 1% מ-1,000 ש"ח) ובבנק ב' הרוויח 30 ש"ח (שהם 3% מ-1,000 ש"ח).משה רשם בטבלה 3.15 את הרווח ב.%- בחודש השני הוא הרוויח בבנק א' שוב 10 ש"ח ( 1)%ובבנק ב' הפסיד 20 ש"ח (.)-2% בחודש השישי הוא הרוויח בבנק א' שוב 10 ש"ח ( 1)%ובבנק ב' הפסיד 50 ש"ח (.)-5% טבלה – 3.15 נתוני הרווח החודשי (ב )%-בכל אחת ממניות הבנקים אחוזי הרווח מתייחסים להשקעה המקורית ( 1,000 ש"ח במניות של כל בנק) טבלה 3.15 מניות מניות החודש בנק ב' בנק א' 3% 1% חודש 1 -2% 1% חודש 2 5% 1% חודש 3 -3% 1% חודש 4 8% 1% חודש 5 -5% 1% חודש 6 1% 1% ממוצע הרווח לחודש בתום 6 חודשים הוא חישב את הרווח הממוצע בכל בנק והופתע להיווכח שבממוצע הוא הרוויח 1% לחודש (או 10 ש"ח לחודש) בכל אחד משני הבנקים.שוויון מלא. אך כשמתבוננים על תנודתיות הרווח מחודש לחודש רואים שהרווח בבנק א' מאוד יציב ומנגד בבנק ב' נרשמה תנודתיות פראית.אין יציבות ברווח וקשה "לבנות" עליו. במצב זה, ששני הבנקים מעניקים לנו בממוצע את אותו רווח חודשי, נעדיף להשקיע במניות שהתנודתיות בהן קטנה יותר או במילים אחרות שהרווחיות החודשית יציבה יותר.

מד תנודתיות

נחזור לדוגמת הכדורסל. הבחירה של שחקן מס' 3 על פני שחקן מס' 4 בדוגמא לעיל היתה על פי מראה עיניים בלבד.אך הכלכלנים פיתחו "כלי" מדעי יותר, מדהים בפשטותו, לבחון את התנודתיות.ל"כלי" קוראים סטיית תקן ומסמנים אותו באות היוונית.σ

חישוב סטיית התקן של שחקן מס'.4

שלב א' -המחשת החישוב באמצעות טבלה 3.16

• טור – 2 הצבת נתוני הקליעות בכל סיבוב וחישוב הממוצע (שורה 5 =] 6) קליעות[.את הממוצע נהוג לסמן באות.M
• טור – 3 הצבת נתוני הממוצע לאורך כל טור 3 . 3 טור – 4 חישוב ההפרש בין מספר הקליעות בכל סיבוב (טור 2) לממוצע הקליעות (טור 3)
• טור – 5 בכל שורה הנתון הוא חזקה בריבוע של ההפרש בטור ) 4 לדוגמא: בשורה:4 4 בריבוע =, (16 בשורה 6 מחושב הממוצע של נתוני הטור ( =.8.8)
• טור ( 6 שורה 6) מחושב השורש של ממוצע נתוני טור (8.8 =) 5 התוצאה המתקבלת היא סטיית התקן ( = 2.966) במצבים רבים מתאים יותר להשתמש במונח המרחק מהממוצע במקום במונח ההפרש מהממוצע לדוגמא: כאשר מודדים גובה של ילדים יותר מתאים להשתמש במשפט: המרחק בין התוצאה לממוצע הוא 20 ס"מ מאשר: ההפרש בין התוצאה לממוצע הוא 20 ס"מ. טבלה 3.16 שורש ההפרש ההפרש בין מספר ממוצע מספר מיספור בריבוע הקליעות בסיבוב הקליעות קליעות הסיבובים לממוצע )(M בסיבוב 9 3 5 8 סיבוב 1 שורה 1 9 3- 5 2 2 " שורה 2 9 3 5 8 3 " שורה 3 16 -4 5 1 4 " שורה 4 1 1 5 6 5 " שורה 5 8.8 8.8 5 שורה 6 ממוצע ממוצע

סטיית תקן

יחידת המידה של סטיית התקן

סטיית התקן נמדדת באותן יחידות מידה של נתוני התוצאות. א.כאשר הנתונים הם גובה של ילדים בס"מ, סטיית התקן נמדדת בס"מ. ב.כאשר הנתונים הם מספר הקליעות לסל – סטיית התקן נמדדת במספר הקליעות. ג.כאשר הנתונים הם משקל של דגים בק"ג, סטיית התקן נמדדת בק"ג.

חישוב סטיית התקן של שחקן מס' 3

טבלה 3.17 השלם בעצמך את הנתונים החסרים בטבלה שורש ההפרש הפרש בין מספר ממוצע מספר מיספור בריבוע הקליעות הקליעות בסיבוב, קליעות הסיבובים לממוצע הקליעות בסיבוב 6 סיבוב 1 שורה 1 4 2 " שורה 2 6 3 " שורה 3 4 4 " שורה 4 5 5 " שורה 5 0.8 0.8 5 שורה 6 ממוצע ממוצע

סטיית תקן

סטיית התקן של שחקן מס' 3 קטנה משמעותית מסטיית התקן של שחקן מס' 4

המשמעות של סטיית תקן )(σ

סטיית התקן נותנת ביטוי לממוצע ההפרשים שבין התוצאות הבודדות לממוצע שלהן, אך אינה זהה איתו, כפי שנבהיר.כדי לא להתבלבל נסמן את ממוצע התוצאות באות ) μזוהי האות היוונית מיו, בה נהוג לסמן ממוצע או תוחלת(. ככל שהפער בין התוצאות הבודדות ל – μגדול יותר, כך סטיית התקן יותר גדולה. במילים אחרות ככל שגֵַדל הפיזור של התוצאות ביחס לממוצע (, )μגדלה סטיית התקן. ההפרש בין התוצאות לממוצע נמדד תמיד כערך חיובי: אין הבדל אם הנתון נמצא משמאל לממוצע או מימינו. סטיית התקן איננה ממוצע ההפרשים, אך היא במקרים רבים מתקרבת מאוד לממוצע ההפרשים ואף משתווה לו. כפי שראינו בטבלה,3.16 דרך חישוב סטיית התקן היא כדלקמן: (1 מעלים בחזקה את ההפרשים שבין התוצאות הבודדות לממוצע. (2 מחשבים את ממוצע החזקות. (3 מחשבים שורש של ממוצע החזקות )חישוב השורש בא לבטל את השפעת העלאה בחזקה(. סידרת הפעולות הנ"ל גורמות להבדלים בין סטיית התקן לממוצע ההפרשים. נמחיש את ההבדלים בין סטיית התקן לממוצע ההפרשים באמצעות דוגמא המתייחסת לציונים במתמטיקה של כיתה י"ב בה 10 תלמידים. הציון הגבוה ביותר הוא 10 והנמוך ביותר הוא 1. התפלגות הציונים בכיתה היא כדלקמן: ילד אחד קיבל ציון 8 2 ילדים קיבלו ציון 7 4 ילדים קיבלו ציון 6 2 ילדים קיבלו ציון 5 ילד אחד קיבל ציון 4. ממוצע הציונים בכיתה הוא 6: חישבנו זאת לפי סכום הציונים של כלל התלמידים לחלק למספר התלמידים: ממוצע ההפרשים במקרה הזה יהיה,0.8 לפי החישוב הבא: ההפרש כפול ההפרש בין הציון ציון מספר ילדים מספר הילדים לממוצע )(6 בקבוצה (תמיד כערך חיובי) לעומת זאת, אם נחשב את סטיית התקן במקרה הזה, נקבל שהיא שווה ל,1.1-לפי החישוב הבא: ההפרש בריבוע ההפרש בריבוע ההפרש בין ציון מספר כפול מספר הציון לממוצע ילדים התלמידים בקבוצה )(6 4 40B סטיית התקן היא שורש הערך ,1.2 כלומר 1.1 בקירוב. התפלגות סימטרית בדוגמא לעיל התפלגות הציונים משני צידי הממוצע היא סימטרית.דהיינו: מספר הילדים שקיבלו ציון גבוה מהממוצע, במספר נקודות כלשהו, משתווה למספר הילדים שקיבלו ציון הנמוך מהממוצע באותו מספר נקודות.

מונח חדש – התפלגות התוצאות ( או התפלגות התצפיות).

כאשר אנו ממיינים תוצאות שקיבלנו לקבוצות, ומחשבים את משקלה היחסי של כל קבוצה, התמונה המתקבלת נקראת: התפלגות התוצאות.תמונת התפלגות התוצאות מוצגת בד"כ כטבלה, כדוגמת הטבלה הבאה המתייחסת לתוצאות הציונים בחשבון של כתה א'. מספר תלמידים ציון קבוצה סה"כ 20: תלמידים למעשה עמודה 1 בטבלה לעיל מיותרת היות והציון של כל קבוצה ( עמודה 2) משמש גם כשם קבוצה. ובאופן כללי מקובל לקרוא לקבוצות, על בסיס התוצאה שהיא "מאכסנת" למשל: קבוצת ציון 10 נק' נקראת (בקיצור): קבוצת 10 נק' קבוצת ציון 7 נק' נקראת: קבוצת 7 נק' קבוצת 4 ביקורים במוסך נקראת: קבוצת 4 ביקורים. התפלגות התוצאות (של ציוני כיתה א' בחשבון) משקלה היחסי של שם הקבוצה הקבוצה מסך התלמידים (לפי ציון) 5% 6 נק' 10% 7 נק' 40% 8 נק' 40% 9 נק' 5% 10 נק' טבלת התפלגות התוצאות מספיקה כדי לחשב תוחלת ( או ממוצע) וזאת באמצעות מכפלת התוצאה בכל קבוצה בחלקה היחסי של הקבוצה וסיכום התוצאות. בכל שאלה שבה תתבקשו לחשב תוחלת, בנו טבלה של התפלגות התוצאות. דוגמא: עכברה לבנה עשויה להמליט בהמלטה אחת בין 2 ל 8-גורים )הערה: כל הנתונים בשאלה זו, אינם נכונים מבחינה זואולוגית, ונועדו רק להדגים חישוב תוחלת(. בחוות ניסויים נרשמו בשנה כלשהי 100,000 המלטות של עכברות לבנות.מעקב אחר מספר הגורים בכל המלטה, העלה את התוצאות המוצגות בטבלה 3.20 בטורים 2 ו 3.- טבלה 3.20 תרומת הקבוצה משקל הקבוצה מספר ההמלטות מאפייני מיספור לתוחלת הכלולות בקבוצה הקבוצה הקבוצה 0.1 5% 5000 המלטות 2 גורים קבוצה 1 0.45 15% " 15,000 3 גורים קבוצה 2 0.8 20% " 20,000 4 גורים קבוצה 3 1.25 25% " 25,000 5 גורים קבוצה 4 1.2 20% " 20,000 6 גורים קבוצה 5 0.7 10% " 10,000 7 גורים קבוצה 6 0.4 5% " 5,000 8 גורים קבוצה 7 4.9 תוחלת 100% 100,000 המלטות סה"כ הסבר לטבלה:3.20 בטבלה ממוינות ההמלטות לקבוצות בהתאם למספר הגורים. כל ההמלטות שהניבו 2 גורים נכללים בקבוצה ( 1 סה"כ 5,000 המלטות) כל ההמלטות שהניבו 3 גורים נכללים בקבוצה ( 2 סה"כ 15,000 המלטות) וכך הלאה. חשב מהי תוחלת מספר הגורים בהמלטה. רמז: טורים 2 ו – 4 משקפים את טבלת התפלגות התוצאות. התוחלת = 4.9 גורים.נכון /לא נכון הערה: את התוחלת אפשר לחשב גם באמצעות טורים 2 ו 3-בלבד. בכל קבוצה מכפילים את טורים 2 ו 3-והתוצאה היא מספר הגורים שהומלטו באותה קבוצה. אם נסכם את תוצאות המכפלה בכל הקבוצות, נקבל את סה"כ הגורים שהומלטו בכל 100,000 ההמלטות בחווה (התוצאה 490,000): אם נחלק את התוצאה ב 100,000 -המלטות, נקבל את מספר הגורים להמלטה שהיא התוחלת (=4.9)

שאלות לפרק מונחים מרכזיים

חווה דעתך על הטענות הבאות: נכון /לא נכון.

• סטיית תקן היא מדד טוב לתנודתיות של מניות.נכון/לא נכון
• אם תוחלת הרווח השנתית של מניה היא,15% פירושו של דבר, שכל שנה המחזיקים במניה מרוויחים בודאות 15% נכון/לא נכון
• חלוקת אוכלוסיית היעד לקבוצות היא תהליך חשוב בחישוב הממוצע או התוחלת. נכון/לא נכון
• אם ידוע מספרי הפרטים בכל קבוצה, אפשר לחשב את משקלה של כל קבוצה.נכון/לא נכון נכון/לא נכון. 5. סטיית התקן מסומנת ע"י האות היוונית.β
• המושג "חלק יחסי" והמושג "משקל", במשמעותם כפי שמופיעה בפרק זה, הם שני מושגים נכון/לא נכון שונים זה מזה. נתבונן בשתי סדרות מספרים: סדרה א,5,5,5,5,5: סדרה ב 10,10,5,0,0.:
• לשתי הסדרות יש אותו ממוצע.נכון/לא נכון נכון/לא נכון. 8. לשתי הסדרות יש אותה סטיית תקן (ענה ללא חישוב).
• לסדרה ב' יש סטיית תקן גדולה יותר.נכון/לא נכון
• השאלה מתקשרת לדוגמא של המלטות העכברה הלבנה. ענה על שאלת החישוב הבאה, לפי הסעיפים המנחים: זואולוג עקב אחרי 10 עכברות שהמליטו, ורשם את מספר הגורים בכל המלטה.להלן התוצאות: א.לכמה קבוצות (לפי מספר הגורים) אפשר לחלק את אוכלוסיית היעד? ב.מה המשקל של כל קבוצה? ג.האם המשקל של כל קבוצה זהה למשקל בדוגמא? ד.חשב את ממוצע הגורים להמלטה? (הכפל את מספר הגורים של הקבוצה במשקלה). ה.האם הממוצע שמצאת בסעיף ד' זהה לתוחלת ?4.9 ו.חשב את סטיית התקן.
• דנה קנתה לפני ארבעה ימים מניה.בכל יום עלה המחיר של המניה ב 1%-במקרה הזה, גם הממוצע וגם התוחלת של הרווח היומי הם 1% נכון/לא נכון
• אם לשתי קבוצות של מספרים יש אותה תוחלת, גם סטיות התקן של שתי הקבוצות תהיינה זהות.נכון/לא נכון
• ככל שסטיית התקן גבוהה יותר, המרחק בין המספרים בסדרה לממוצע קטן יותר.נכון/לא נכון
• סטיית תקן לא יכולה להיות מספר שלילי.נכון/לא נכון
• בטיילת בתל-אביב מציע לך אדם עסקה.אתה תזרוק מטבע.אם המטבע יפול על הצד של העץ, תקבל ₪ 10 ואם המטבע יפול על הצד השני (של הפלי), תצטרך לשלם לו.₪ 20 במקרה הזה, תוחלת הזכיה שלך היא.₪ 15 נכון /לא נכון
• לפניך נתונים סטטיסטיים המתייחסים לשתי השקעות: השקעה 2 השקעה 1 ₪ 1,000 ₪ 1,000 תוחלת

.₪ 4.6 ₪ 2.2 סטיית תקן

במקרה הזה, סביר כי תעדיף את השקעה 1 מאחר והיא פחות מסוכנת.נכון/לא נכון