חישוב תוחלת וסטיית תקן של סל מניות

חישוב תוחלת וסטיית תקן של סל מניות

ההסבר מלווה בדוגמה של סל המכיל 2 מניות שסימולן S1 ו-S2. הפרמטרים של המניות ומשקלן היחסי בסל מפורטים בטבלה 2:

מניות	E (תוחלת)	σ (סטיית תקן)	משקלן היחסי בסל (W)
מניה S1	0.05	0.10	0.5
מניה S2	0.15	0.30	0.5
סל (B)	E(B)	σ(B)	1.0

חישוב תוחלת של סל מניות

התוחלת של הסל מתקבלת כממוצע משוקלל של תוחלת המניות בו. השקלול הוא על פי משקלן בסל, כדלקמן:

\[E_{(B)} = W_{1}\cdot E_{(S1)} + W_{2}\cdot E_{(S2)}\]

אם נציב את נתוני טבלה 2, נקבל שתוחלת הסל E היא: E(B) = (0.5·0.05 + 0.5·0.15) = 0.1 = 10%. במילים פשוטות: תוחלת הסל היא 10%.

מקרא: E(S1) – תוחלת של מניה Si. Wi – משקל מניה Si בסל (W – קיצור של Weight). B – סל המניות. E(B) – התוחלת של הסל. σ(B) – סטיית התקן של הסל.

חישוב סטיית תקן של סל מניות

רקע מקדים: כדי לחשב סטיית תקן של סל מניות אנו נדרשים להכיר תחילה שני מושגים סטטיסטיים:

1. שונות משותפת (Covariance, ובקיצור: COV)
2. מקדם מתאם.

שונות משותפת – COV

\[\sigma_{1,2}\quad\bigl(\text{\<בקיצור>}:\ \mathrm{COV}_{1,2}\bigr)\]

שונות משותפת יכולה להתייחס לכל שני נכסי השקעה (סחורות, מניות, אג"ח, וכיו"ב). אנו נתמקד במניות: מניה S1 ומניה S2. השונות המשותפת בוחנת כיצד 2 מניות מגיבות לאותו תרחיש. נתייחס ל-2 תרחישים שכיחים:

1. שפל כלכלי
2. שגשוג כלכלי.

נמשיך את ההסבר באמצעות דוגמאות.

דוגמה 1

מניה S1 – שייכת לחברת בנייה בשם AA, שהתוחלת שלה 10%. מניה S2 – שייכת לחברת בנייה בשם BB, שהתוחלת שלה 15%. בתרחיש 1 (מיתון) התשואה של AA יורדת ל-5% ושל BB ל-8%; בשתי המניות התשואה במיתון יורדת מתחת לתוחלת. בתרחיש 2 (שגשוג) התשואה של AA עולה ל-15% ושל BB ל-20%; בשתי המניות התשואה עולה מעל התוחלת.

שונות משותפת חיובית

שונות משותפת חיובית היא מצב שבו 2 מניות מגיבות לאותם תרחישים באותו כיוון ביחס לתוחלת שלהן — כלומר השונות המשותפת שלהן חיובית. בדוגמה 1 השונות המשותפת של S1 ו-S2 היא חיובית: שתי החברות, AA ו-BB, הן מאותו ענף, וסביר שיושפעו באותו כיוון בעתות מיתון ובעתות שגשוג.

שונות משותפת שלילית

כאשר 2 מניות מגיבות בכיוונים מנוגדים לאותם תרחישים, אנו אומרים שהשונות המשותפת שלהן שלילית.

דוגמה 2

מניה S3 – שייכת לחברת טיולי יוקרה, התוחלת שלה 10%. מניה S4 – שייכת לחברת טיולים עממיים, התוחלת שלה 8%. בשפל התשואה של S3 יורדת ל-8% וזו של S4 עולה ל-15%. בשגשוג התשואה של S3 עולה ל-15% וזו של S4 יורדת ל-4%. ומכאן שהשונות המשותפת של S3 ו-S4 היא שלילית.

שונות משותפת = 0

כאשר אין קשר בכיווני התגובה של כל אחת מהמניות לתרחיש כלשהו, אנו אומרים שהשונות המשותפת היא 0. בדרך כלל אנו מוצאים שונות משותפת של 0 לא בין 2 מניות, אלא בין מניה לנכס חסר סיכון — כי נכס חסר סיכון אינו מושפע מתרחיש כלשהו (שפל או שגשוג), ובכל תרחיש התשואה שלו קבועה. אילו התשואה לא הייתה קבועה, הוא לא היה נכס חסר סיכון. השונות המשותפת של מניה ונכס חסר סיכון היא 0.

חישוב שונות משותפת

החישוב נעשה ב-3 מהלכים שאותם נלווה בדוגמה שנתוניה מפורטים בטבלה 3:

המניות	E (מחושב)	σ (מחושב)	תרחיש 1 — תשואות (הסתברות 20%)	תרחיש 2 — תשואות (הסתברות 80%)
S5	0.128	0.024	0.08	0.14
S6	0.164	0.032	0.10	0.18

הסבר לטבלה: טור המניות – שמות המניות; הטורים E ו-σ – תוחלת וסטיית תקן של המניות; טורי התרחישים – תשואת המניות בכל תרחיש, כאשר ההסתברות לתרחיש נקובה בכותרת. חישוב תוחלת של כל מניה: E(S5) = 0.2·0.08 + 0.8·0.14 = 0.128; E(S6) = 0.2·0.10 + 0.8·0.18 = 0.164.

חישוב סטיית תקן של כל מניה: Var(S5) = 0.2·(0.08−0.128)² + 0.8·(0.14−0.128)² = 0.000576, ולכן σ(S5) = √0.000576 = 0.024 (כלומר 2.4%). סטיית התקן (σ) היא שורש השונות (Var):

\[\mathrm{Var} = \sigma^{2},\qquad \sqrt{\mathrm{Var}} = \sigma\]

Var(S6) = 0.2·(0.10−0.164)² + 0.8·(0.18−0.164)² = 0.0010224, ולכן:

\[\begin{gathered} \sigma_{S6} = \sqrt{0.0010224} = 0.032 = (3.2\%)\\[4pt] 0.0010224 = 1.0224\cdot 10^{-3} \end{gathered}\]

הנוסחה הכללית לחישוב השונות של סל המכיל 2 מניות מצריכה את השונות של כל מניה (שכבר מצאנו) ואת השונות המשותפת σ(1,2) — בדוגמה שלנו σ(5,6) — ולאחר מכן נוכל לחשב את Var(B). פירוט שלושת המהלכים לחישוב השונות המשותפת מלווה בטבלה 4: בכל תרחיש מחשבים את הפער בין התשואה לתוחלת בכל אחת מהמניות, ומכפילים את הפערים בשתי המניות; את מכפלת הפערים בכל תרחיש מכפילים בהסתברות להתממשות התרחיש; סכום התוצאות שהתקבלו ב-2 התרחישים הוא השונות המשותפת.

טבלה 4:

התרחישים	הסתברות	מכפלת הפערים — מניה S5	מכפלת הפערים — מניה S6	מכפלת הפערים (S5·S6)	התוצאה (×הסתברות)
תרחיש 1 — שפל	0.2	(0.08 − 0.128) = −0.048	(0.10 − 0.164) = −0.064	0.00307	0.000614
תרחיש 2 — שגשוג	0.8	(0.14 − 0.128) = 0.012	(0.18 − 0.164) = 0.016	0.000192	0.0001536
השונות המשותפת					0.000768 = 7.68·10⁻⁴

הסבר לטבלה 4: שורה 1 מתייחסת לתרחיש 1 (שפל), ושורה 2 לתרחיש 2 (שגשוג). הטור של מניה S6 מציג ומחשב את הפער בין התשואה לתוחלת בכל תרחיש, והטור של מניה S5 באותה מתכונת. טור התוצאה הוא מכפלת מכפלת-הפערים בהסתברות התרחיש. סכום 2 השורות בטור התוצאה (=7.680·10⁻⁴) הוא השונות המשותפת σ(5,6).

חישוב השונות המשותפת של סל בן 2 מניות

\[\sigma^{2}(B) = \mathrm{Var}(B)\]

השונות של סל מניות המכיל 2 מניות תלויה בשונות (או בסטיית התקן = שורש השונות) של כל מניה בנפרד, וגם בשונות המשותפת של 2 המניות. הנוסחה לחישוב השונות של סל בן 2 מניות, S1 ו-S2:

\[\mathrm{Var}(B) = \sigma_{B}^{2} = W_{1}^{2}\cdot\sigma_{S_{1}}^{2} + W_{2}^{2}\cdot\sigma_{S_{2}}^{2} + 2\cdot W_{1}\cdot W_{2}\cdot\sigma_{S_{1},S_{2}}\]

מקרא: Var(B) – השונות של סל B. σ(B)² – סטיית התקן של סל B בריבוע (= השונות). W1 – משקל מניה S1 בסל. W2 – משקל מניה S2 בסל. σ(S1)² – סטיית התקן של מניה S1 בריבוע. σ(S2)² – סטיית התקן של מניה S2 בריבוע. σ(S1,S2) – השונות המשותפת של מניות S1 ו-S2.

דגש: השונות המשותפת σ(S1,S2) מתארת את מידת ההשתנות המשותפת של מניות 1 ו-2 — כלומר באיזו מידה שתי המניות מגיבות באופן דומה לתרחישים זהים. שונות הסל Var(B) מתארת את התנודתיות הכוללת של הסל B (כיחידה אחת).

תרגיל

נתונות 2 המניות S5 ו-S6 מהדוגמה לחישוב שונות משותפת של 2 מניות. נציג בטבלה 5 את נתוני המניות שחושבו בדוגמה:

המניות	E	σ	σ(S5,S6) — בקיצור σ(5,6)
S5	0.128	0.024
S6	0.164	0.032
			7.68·10⁻⁴

מהי השונות ומהי סטיית התקן של סל שמכיל בתוכו 20% ממניה S5 ו-80% ממניה S6? (שים לב שסה"כ 20% + 80% = 100%, כלומר 100% של הסל.)

פתרון: 20% הוא למעשה W5 (המשקל של מניה S5 בסל), ו-80% הוא W6 (המשקל של מניה S6 בסל). עבור מניות S5 ו-S6 הנוסחה תהיה:

\[\begin{gathered} \mathrm{Var}(B) = \sigma_{B}^{2} = W_{5}^{2}\cdot\sigma_{S_{5}}^{2} + W_{6}^{2}\cdot\sigma_{S_{6}}^{2} + 2\cdot W_{5}\cdot W_{6}\cdot\sigma_{5,6}\\[4pt] = 0.2^{2}\cdot 0.024^{2} + 0.8^{2}\cdot 0.032^{2} + 2\cdot 0.2\cdot 0.8\cdot 7.68\cdot 10^{-4}\\[4pt] = 9.24\cdot 10^{-4} \end{gathered}\]

ומכאן סטיית התקן של הסל: σ(B) = √Var(B) = 0.0304.

שונות משותפת — פרשנות

מתוך התוצאה של השונות המשותפת איננו יכולים ללמוד על עצמת הקשר בין המניות. לדוגמה: אם בין צמד מניות S1 ו-S2 השונות המשותפת σ(1,2) היא 0.3, ובין צמד מניות S3 ו-S4 השונות המשותפת σ(3,4) היא 0.4 — אי אפשר להסיק שעוצמת הקשר בצמד S1 ו-S2 גדולה מזו של הצמד S3 ו-S4. בדיוק כפי שאי אפשר לקבוע שרווח של 10 דולר במניה S1 עדיף על רווח של 8 דולר במניה S2; כדי להחליט איזה רווח עדיף, עלינו לקבל מידע נוסף על מחירי המניות. השוואה לגבי עוצמת הקשר בין צמדי מניות ניתן לעשות באמצעות כלי סטטיסטי שנקרא מקדם המתאם, שיוסבר מיד.

מקדם המתאם

(סימול: ρ(S1,S2), בקיצור: ρ(1,2). ρ היא אות יוונית המבוטאת רוֹ.) מקדם המתאם הוא כלי סטטיסטי שניתן באמצעותו למדוד את עצמת השונות המשותפת בין 2 מניות. אם מקדם המתאם של צמד המניות S1, S2 הוא 0.8, ומקדם המתאם של צמד המניות S3, S4 הוא 0.4, אזי עצמת הקשר (כלומר עד כמה משתנה 1 מאפשר לנבא את משתנה 2) בצמד S1, S2 גדולה פי 2 מזו של הצמד S3, S4.

הנוסחה לחישוב מקדם המתאם היא: ρ(1,2) = σ(1,2) ÷ (σ1 · σ2).

מקרא: S1 – מניה אחת. S2 – מניה שנייה. σ(1,2) – השונות המשותפת של מניות S1 ו-S2. σ1 – סטיית התקן של S1. σ2 – סטיית התקן של S2. מקדם המתאם יכול לקבל תוצאות בין 1− ל-1+ בלבד. למרות פשטותה של הנוסחה לחישוב מקדם המתאם, הידע הסטטיסטי הנדרש להבנתה הוא מעבר לנדרש מבוגרי MBA — פשוט תשתמשו בכלי.

דוגמה: מהו מקדם המתאם בין מניות S5 ו-S6 מהדוגמה החישובית הקודמת? נתונים:

\[\begin{gathered} \sigma_{S_{5}} = 0.024\\[4pt] \sigma_{S_{6}} = 0.032\\[4pt] \sigma_{5,6} = 7.68\cdot 10^{-4} \end{gathered}\]

ולכן:

\[\rho_{5,6} = \frac{\sigma_{5,6}}{\sigma_{S_{5}}\cdot\sigma_{S_{6}}} = \frac{7.68\cdot 10^{-4}}{0.024\cdot 0.032} = 1\]

הבחנה בין סלים בעלי מקדם מתאם שונה

הקדמה: בעקבות כל שינוי במשקלן הפנימי של המניות בסל נוצר למעשה סל חדש, בעל פרמטרים E(B) ו-σ(B) שונים. בפרק זה נבחן כיצד משתנים הפרמטרים של סל בעקבות שינויים במשקל הפנימי של המניות בו, וזאת במסגרת 3 תרחישים לגבי מקדם המתאם שקיים בין צמד המניות בסל: תרחיש 1: ρ(1,2) = −1; תרחיש 2: ρ(1,2) = 0; תרחיש 3: ρ(1,2) = +1.

התייחסות למניות S1 ו-S2: בכל אחד מהתרחישים, מניות S1 ו-S2 הן מניות שונות המשתייכות לענפים שונים. לדוגמה, בתרחיש 1 שתיהן יכולות להשתייך לענף הנדל"ן, ואילו בתרחיש 2 S1 משתייכת לענף המזון ו-S2 לענף הריהוט. עם זאת, בכל התרחישים כל אחת מהן בעלת אותם פרמטרים כפי שמפורט בטבלה 6, וזו הסיבה שאנו משתמשים באותו סימול בכל התרחישים — הסימול האחיד מאפשר לראות בקלות את התמונה הכוללת. בכל הדוגמאות בהמשך, 2 המניות בסל תהיינה S1 ו-S2. הפרמטרים שלהן מפורטים בטבלה 6:

מניות	E	σ
מניה S1	0.05	0.15
מניה S2	0.10	0.30

תרחיש 1: ρ(1,2) = −1

במתאם זה, המתאם בין המניות הוא הפוך לחלוטין. עקום C בתרשים 8 (שחלקו מקווקו) מציג את כל מגוון הסלים היעילים שניתן לקבל בהרכבים שונים של מניות S1 ו-S2. נקודה S1, המותאמת לפרמטרים של מניה S1 בטבלה 6, מייצגת סל שכולל 100% ממניית S1 ו-0% ממניית S2. ככל שעולים מנקודה S1 לאורך הקטע המקווקו, משקל מניה S2 בכל סל הולך ועולה על חשבון מניה S1. לבסוף מגיעים לסל S2 שמכיל 100% ממניה S2 ו-0% ממניה S1. כל הסלים בקטע המקווקו (S1 עד C) נחותים, שכן מול כל סל בקטע זה קיים סל שעדיף עליו בקטע C–S2 (התשואה גבוהה יותר בכל רמת סיכון). כאשר מקדם המתאם הוא −1, ניתן לבנות סל חסר סיכון (סל C).

טבלה 7 מתייחסת ל-3 סלים המוצגים על עקום C. בכל סל מפורט ההרכב הפנימי של המניות והפרמטרים שלו:

סלים	הרכב פנימי — S1	הרכב פנימי — S2	תוחלת הסל E(B)	סטיית תקן של הסל σ(B)
S1	100%	0%	0.05	0.15
S2	0%	100%	0.10	0.30
C	2/3	1/3	0.066	0

חישוב ההרכב הפנימי של סל C מתבסס על נוסחה לחישוב שונות של סל בן 2 מניות שתוצג בהמשך. הסבר לטבלה 7: סל S1 מכיל 100% ממניות S1 והפרמטרים שלו זהים לאלו של מניה S1; סל S2 מכיל 100% ממניות S2 והפרמטרים שלו זהים לאלו של מניה S2; סל C מכיל 67% ממניה S1 ו-33% ממניה S2 והפרמטרים שלו:

\[E = 0.066 \quad\text{\<ו>-}\quad \sigma = 0\]

מסקנה לגבי הקטנת הסיכון: כאשר המתאם ρ(1,2) בין המניות הוא הפוך לחלוטין, ניתן להגיע לסל שבו הסיכון הוא אפס (סל C). המשקל הפנימי של המניות בו הוא (בדוגמה זו): 2/3 מהמניה בעלת הסיכון הנמוך, ו-1/3 מהמניה בעלת הסיכון הגבוה.

תרחיש 2: ρ(1,2) = 0

עקום D בתרשים 9 (שחלקו מקווקו) מציג את כל מגוון הסלים באותה מתכונת ועם אותם הסברים כמו בתרשים 8. כל הסלים בקטע המקווקו (C1–S1) נחותים.

בסל C1, σ(B) היא המינימלית אך אינה אפס. טבלה 8 מתייחסת ל-3 סלים:

סלים	הרכב פנימי — S1	הרכב פנימי — S2	תוחלת E	סטיית תקן σ
S1	100%	0%	0.05	0.15
S2	0%	100%	0.10	0.30
C1	80%	20%	0.06	0.134

הערה: חישוב ההרכב הפנימי של סל C1 מתבסס על נתוני המניות בטבלה 6 ובהתאם לנוסחה שתוצג בהמשך.

תרחיש 3: ρ(1,2) = +1

עקום E בתרשים 10 מציג את כל מגוון הסלים במתכונת ובהסברים שכבר פירטנו. העקום עולה מסל S1 לסל S2 ואין בו סלים נחותים. בסל S1 שני הפרמטרים הם המינימליים, ובסל S2 שני הפרמטרים הם המקסימליים.

מסקנה לגבי הקטנת הסיכון

כאשר ρ(1,2) = 1, כלומר קיים מתאם מושלם בין המניות, הסיכון הולך וגדל ככל שהסל מכיל יותר מהמניה עם הסיכון הגבוה. הסל עם הסיכון הנמוך ביותר מתקבל כאשר הוא מכיל רק את S1, וסיכון הסל משתווה לסיכון המניה. רק כאשר המתאם בין המניות הוא מושלם — לא ניתן לפזר סיכון, כלומר ליצור סל השקעות שיהיה בו פחות סיכון. במילים אחרות, כאשר ρ(1,2) = 1, לא ניתן ליצור סל עם סיכון נמוך משל כל אחת מהמניות.

דוגמה: אם למשקיע א' יש תיק השקעות המכיל 2 מניות שתשואתן תלויה בטמפרטורה בשנה הבאה — לדוגמה, מניה של חברת תפוזים ומניה של חברת מלפפונים — לשתי המניות יש מתאם מלא:

\[\rho = 1\]

כלומר, אם יהיה קיץ חם — ערך שתי המניות יעלה; אם יהיה קיץ קר — ערך שתי המניות ירד. ולכן לא ניתן ליצור תיק עם הקטנת סיכון עם שתי המניות הללו. לעומת זאת, אם למשקיע ב' יש תיק מניות שמורכב ממניית חברת תפוזים וממניית חברת תנורי חימום, והמתאם בין המניות שלילי — בשנה חמה המשקיע ירוויח ממניות חברת התפוזים וירוויח פחות ממניית חברת התנורים שמנייתה תרד, ואילו בשנה קרה ירוויח ממניית התנורים שערכה יעלה וירוויח פחות ממניית התפוזים שערכה ירד — וכך המשקיע מקטין את סיכונו. הצגת 3 העקומות C, D ו-E בתרשים אחד (תרשים 11): 3 העקומות מוצגות בתרשים, והסלים S1 ו-S2 משותפים לשלושת העקומות.

נוסחה למציאת הרכב פנימי של סל שבו סטיית התקן מינימלית

המתמטיקאים פיתחו נוסחה שמאפשרת לחשב בסל המכיל 2 מניות S1 ו-S2 (או כל 2 ניירות ערך מכל סוג) מהו ההרכב הפנימי ביניהם שמניב את σ הנמוכה ביותר. הנוסחה היא:

\[W_{1} = \frac{\sigma_{S_{2}}^{2} – \sigma_{1,2}}{\sigma_{S_{2}}^{2} + \sigma_{S_{1}}^{2} – 2\sigma_{1,2}}\]

מקרא: σ(1,2) – שונות משותפת של S1 ו-S2. W1 – משקלה של מניית S1 בסל. W2 – משקלה של מניית S2 בסל, שיהיה (1−W1).

תרגיל

בנושא הקודם נתון תרחיש 2, כאשר ρ(1,2) = 0. הנתונים של המניות ניתנו בטבלה 6:

טבלה 6 (תזכורת):

מניות	E	σ
מניה S1	0.05	0.15
מניה S2	0.10	0.30

נתונה גם טבלה 8 מאותה דוגמה (תזכורת):

סלים	הרכב פנימי — S1	הרכב פנימי — S2	תוחלת E	סטיית תקן σ
S1	100%	0%	0.05	0.15
S2	0%	100%	0.10	0.30
C1	80%	20%	0.06	0.134

נתון כי סל C1 הוא סל של 2 המניות, שהרכבו הפנימי הוא כזה שהשונות והסיכון מינימליים (סל מינימום שונות). (א) כיצד הגענו להרכב הפנימי של המניות? (ב) כיצד הגענו לתוחלת הסל? (ג) כיצד הגענו לסטיית התקן של הסל?

פתרון: (א) כידוע, הנוסחה למקדם המתאם (ρ) היא:

\[\rho_{1,2} = \frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1}\cdot\sigma_{2}} \tag{1}\]

ולכן, אם נכפיל ב-σ1·σ2 את 2 צידי המשוואה, נקבל (לאחר צמצום המונה והמכנה):

\[\begin{gathered} \rho_{1,2}\cdot\sigma_{1}\cdot\sigma_{2} = \frac{\sigma_{1,2}}{\sigma_{1}\cdot\sigma_{2}}\cdot\sigma_{1}\cdot\sigma_{2}\\[4pt] \rho_{1,2}\cdot\sigma_{1}\cdot\sigma_{2} = \sigma_{1,2} \tag{2} \end{gathered}\]

ובמילים: השונות המשותפת בין 2 מניות שווה למקדם המתאם בין 2 המניות כפול סטיית התקן של מניה 1 כפול סטיית התקן של מניה 2. כמו כן נתונה הנוסחה למשקל מניה 1 בתוך מינימום שונות:

נציב בנוסחה (3), בכל מקום שבו מופיע σ(1,2), את ρ(1,2)·σ1·σ2 (על פי נוסחה (2)):

ידוע לנו מהנתונים כי ρ(1,2) = 0 (זהו התרחיש הנתון), σ(S1) = 0.15 ו-σ(S2) = 0.30 (טבלה 6). ולכן:

\[W_1=\frac{0.30^2-0\cdot 0.15\cdot 0.30}{0.30^2+0.15^2-2\cdot 0\cdot 0.15\cdot 0.30}=\frac{0.30^2}{0.30^2+0.15^2}=0.8=80\%\]

מה שנותר יהיה המשקל של מניה S2: W2 = 100% − 80% = 20%. לסיכום: הרכבו הפנימי של תיק C יהיה 80% ממניה S1 ו-20% ממניה S2 (בדיוק כפי שהתקבל בטבלה 8).

(ב) כיצד הגענו לתוחלת הסל? כעת, כשידועות המשקלות בסל, קל לחשב את תוחלת התשואה של הסל בעזרת נתוני טבלה 6:

(ג) כיצד הגענו לסטיית התקן של הסל? הנוסחה לחישוב השונות של סל כלשהו היא:

עם זאת, ידוע מנוסחה (2) שניתן להחליף את σ(1,2) ב-ρ(1,2)·σ1·σ2. נעשה זאת עבור נוסחה (6) ונקבל את המשוואה הבאה:

\[Var_{(B)}=\sigma_B^{\,2}=w_1^{\,2}\cdot\sigma_1^{\,2}+w_2^{\,2}\cdot\sigma_2^{\,2}+2\cdot W_1\cdot W_2\cdot\rho_{1,2}\cdot\sigma_1\cdot\sigma_2\]

כעת נציב את נתוני המשקלות, את נתוני טבלה 6, ואת ρ(1,2) = 0 שנתון: Var(B) = σ(B)² = 0.8²·0.15² + 0.2²·0.30² + 2·0.8·0.2·0·0.15·0.30 = 0.018, ולכן σ(B) = √0.018 = 0.134.