רקע
בהסבר, נתייחס לפונקציות שבהן x הוא המשתנה ו-y התוצאה. הסימול של הפונקציה הוא (f(x)) והסימול של הנגזרת (f'(x)). כזכור הנגזרת היא גם בעצמה פונקציה.
במסגרת הפרק נציג את חוקי הגזירה של 5 סוגי פונקציות:
- פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי (f(x)=x^n) n מייצג מספר כלשהו.
- פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי בתוספת כופל (f(x)=k cdot x^m) מסמל כופל.
- פונקציה המורכבת מחיבור של פונקציות משנה (f(x)=h(x)+g(x))
- פונקציה המורכבת ממכפלה של פונקציות משנה (f(x)=h(x) cdot g(x))
- פונקציה המורכבת ממנה של פונקציות משנה (f(x)=frac{h(x)}{g(x)})
פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי
לדוגמה: (f(x)=x^3)
הנגזרת
לקבלת הנגזרת מתבצעים 2 שינויים בפונקציה המקורית:
- החזקה הופכת להיות כופל של x; (3x^3 rightarrow 3x^2)
- את החזקה מחליפה חזקה שקטנה מהמקורית בדרגה אחת (3x^3 rightarrow 3x^2)
כך שהנגזרת בדוגמה שלנו: (f'(x)=3x^2).
דוגמאות נוספות
| הפונקציה המקורית (f(x)) | הנגזרת (f'(x)) | פרשנות |
|---|---|---|
| (x^5) | (5x^4) | |
| (x^6) | (6x^5) | |
| (x^1) | (1) | הנגזרת של (x^1) היא 1 |
| (x^0) | (0) | הנגזרת של (x^0) היא 0 |
| (x^n) | (n cdot x^{n-1}) |
מסקנות מדוגמה 4
הנגזרת של מספר כלשהו היא תמיד 0. וההסבר: המכפלה של a ב-(x^0) שווה ל- a, היות ו- (x^0=1). כלומר (ax^0=a). לכן, הנגזרת של (a cdot x^0) שווה ל- 0 ((0 cdot ax^{-1}=0)).
נגזרת של חזקות שליליות, שורשים וחזקות בשברים
באופן כללי: הנגזרות הן על בסיס אותו עקרון של חזקות רגילות. ((x^n)'=n cdot x^{n-1})
דוגמה 1
הפונקציה: (f(x)=frac{1}{x^2})
הפתרון (ב- 2 מהלכים)
- הצגה שונה של הפונקציה: (f(x)=x^{-2}).
- הנגזרת: (f'(x)=-2x^{-3})
דוגמה 2
הפונקציה: (f(x)=sqrt[7]{x^2})
הפתרון (ב-2 מהלכים)
- הצגה שונה של הפונקציה: (f(x)=(x^2)^{1/7}=x^{2/7})
- הנגזרת: (f'(x)=frac{2}{7}x^{-5/7}=frac{2}{7} cdot frac{1}{x^{5/7}})
2. פונקציה שבה x הוא בחזקה כלשהי בתוספת כופל
לדוגמה: (f(x)=6 cdot x^3)
הנגזרת
גוזרים את הפונקציה כאילו אין כופל ואת התוצאה מכפילים בכופל. התוצאה: (6 cdot 3x^2=18x^2)
| הפונקציה המקורית (f(x)) | הנגזרת (f'(x)) |
|---|---|
| (3x^6) | (18x^5) |
| (2x^8) | (16x^7) |
| (6x^1) | 6 |
| (6x^0) | 0 |
| (kx^n) | (k cdot nx^{n-1}) |
3. פונקציה המורכבת מחיבור של פונקציות משנה
לדוגמה: (f(x)=g(x)+h(x)-l(x))
הסימן לפני הפונקציה יכול להיות גם חיובי וגם שלילי, לדוגמה: (f(x)=g(x)+h(x)+l(x))
הנגזרת
הנגזרת היא סכום הנגזרות של פונקציות המשנה, בהתייחס לסימן המתלווה לכל פונקציית משנה.
לדוגמה:
(f(x)=2x^8+4x^7-3x^6-2x^1)
4. פונקציה המורכבת ממכפלה של 2 פונקציות משנה
לדוגמה: (f(x)=g(x) cdot h(x))
הנגזרת
הנגזרת מתקבלת כסכום של 2 איברים:
- איבר 1: (g'(x) cdot h(x)) (נגזרת של פונקציה א', כפול פונקציה ב').
- איבר 2: (g(x) cdot h'(x)) (פונקציה א', כפול נגזרת של פונקציה ב').
והתוצאה הסופית: (f'(x)=g'(x) cdot h(x)+g(x) cdot h'(x))
דוגמה
הפונקציה: (f(x)=x^5 cdot 6x^3)
הנגזרת: (f'(x)=5x^4 cdot 6x^3+x^5 cdot 18x^2)
5. פונקציה המורכבת ממנה של 2 פונקציות משנה
לדוגמה: (f(x)=frac{g(x)}{h(x)})
הנגזרת
צורת הנגזרת היא גם מנה של 2 פונקציות.
- המונה: המונה שווה לנגזרת שמתקבלת ממכפלת 2 הפונקציות, כלומר: (f'(x)=g'(x) cdot h(x)+g(x) cdot h'(x))
- המכנה: המכנה הוא המכנה של הפונקציה ((h(x))) בריבוע, כלומר ([h(x)]^2) והתוצאה הסופית: (f'(x)=frac{g'(x) cdot h(x)+g(x) cdot h'(x)}{[h(x)]^2})
דוגמה
הפונקציה: (f(x)=frac{6x^3}{2x^5})
הנגזרת: (f'(x)=frac{18x^2 cdot 2x^5+6x^3 cdot 10x^4}{(2x^5)^2})
נגזרת של (e^x) הנגזרת של (e^x) היא (e^x), כלומר אין שינוי.
נגזרת של (ln(x))
הנגזרת היא (frac{1}{x}).
קצת לידע כללי
(e) הינו קבוע מתמטי שערכו (approx 2.71828) ומשמש כבסיס הלוגריתם הטבעי (ln).
תזכורת מתמטית
חזקות
חזקה היא מהצורה (X^n), כאשר X מבטא את בסיס החזקה ו-n את מעריך החזקה.
במקרה של (X^n) – מכפילים את X בעצמו n פעמים. לדוגמה: (X cdot X cdot X = X^3)
חזקות שליליות
כל איבר בחזקה שלילית שווה ל- 1 חלקי אותו איבר בחזקה חיובית. לדוגמה:
- (frac{1}{x^2}=x^{-2})
- (frac{1}{x^7}=x^{-7})
- (frac{1}{x^{3/4}}=x^{-(3/4)})
שורש m
הביטוי: (sqrt[m]{x}) מכונה: שורש m של x.
הביטוי: (sqrt[6]{x+2}) מכונה: שורש שישי של (x+2).
הביטוי: (sqrt[4]{(x+2)^2}) מכונה: שורש רביעי של ((x+2)^2).
לביטוי בתוך השורש נקרא, לצורך ההסבר: נתון (הנתון יכול להיות מכל צורה שהיא).
הערה: כשמתייחסים לשורש 2 של נתון כלשהו, למשל (sqrt[2]{x}), מקובל להשמיט את הספרה 2 מעל השורש וצורת הביטוי היא (sqrt{x}).
הצגה חלופית של שורש m
שורש m של נתון כלשהו למשל (sqrt[m]{x}) שווה לנתון בחזקת שבר, שהמונה שלו 1 והמכנה m. כלומר (x^{1/m}=sqrt[m]{x}).
הניסוח המילולי של השיוויון הוא: שורש m של x שווה ל- x בחזקת (1/m).
דוגמאות
- ((x)^{1/6}=sqrt[6]{x})
- (sqrt[4]{x}=(x)^{2/8}=(x^2)^{1/8}=sqrt[8]{x^2})
חוקי החזקות
חזקה של [נתון בחזקה]. למשל ((5^3)^2) (5 הוא הנתון). התוצאה (5^6=5^{2 cdot 3}) (כופלים את החזקות).
דוגמאות נוספות: (x^{18}=(x^3)^6) (x^1=(x^{1/2})^2) (x^{1/4}=(x^{1/8})^2)
נתון בחזקה כפול אותו נתון בחזקה. למשל (x^2 cdot x^3) התוצאה (x^5=x^{2+3}) (חיבור 2 החזקות)
דוגמאות נוספות: (2^9=2^6 cdot 2^3) (x^{2.5}=x^{1/2} cdot x^2) (x^{-3}=x^3 cdot x^{-6})
תרגול. מלא את המשבצות הריקות בטבלה.
| הצגה כשורש | הצגה חלופית כחזקה | הביטוי המילולי |
|---|---|---|
| (sqrt{x}) | (x^{1/2}) | 1. שורש שני של x 2. x בחזקת חצי |
| (sqrt[3]{x}) | 1. שורש שלישי של x 2. x בחזקת (1/3) |
|
| (sqrt[8]{x}) | 1. שורש שמיני של x 2. x בחזקת (1/8) |
|
| (sqrt[2]{x^3}) | (x^{2/3}=(x^3)^{1/2}) | 1. שורש שני של x בשלישית 2. x בחזקת 1.5 |
| (sqrt[4]{x^5}) | ((x^5)^{1/4}) | 1. שורש רביעי של x בחמישית 2. x בחזקת (5/4) |
| (sqrt[4]{x^{-5}}) | (1/x^{5/4}=x^{-5/4}=(x^{-5})^{1/4}) | 1. שורש רביעי של x בחזקת מינוס 5 2. 1 חלקי x בחזקת (5/4) |
| (sqrt[2/3]{x^6}) | (x^9=(x^6)^{3/2}) | 1. שורש שני שליש של x בחזקת 6 2. x בחזקת 9 |
| (sqrt[1/2]{x^4}) | (x^8=(x^4)^2) | 1. שורש חצי של x בחזקת 4 2. x בחזקת 8 |
| (sqrt[1/3]{x^{-12}}) | (1/x^{36}=x^{-36}=(x^{-12})^3) | 1. שורש שליש של x בחזקת מינוס 12 2. 1 חלקי x בחזקת 36 |
| (sqrt[1/3]{(x+6)^3}) | ((x+6)^9=[(x+6)^3]^3) | 1. שורש שליש של: x + 6 בסוגריים בשלישית 2. 6+x בחזקת 9 |
| (sqrt[1/3]{(x+6)^3}) | ((x+6)^9=[(x+6)^{-3}]^3) | 1. שורש שליש של 6+x בסוגריים בחזקת מינוס 3 2. 1 חלקי (6+x) בחזקת 9 |
פונקציה מורכבת
נתחיל בדוגמה של פונקציה מורכבת שצורתה: (f(x)=(3x^2+8x+9)^3). אנו מתייחסים לביטוי בתוך הסוגריים כפונקציית משנה, המשתלבת בתוך הפונקציה העיקרית. את פונקציית המשנה נסמל (g(x)) ובקיצור g.
צורת פונקציית המשנה וסימולה: (g=3x^2+8x+9)
נציב בפונקציה העיקרית את הסימול g במקום פונקציית המשנה ונקבל ([g]^3). אך היות ו- g הוא גם משתנה בעצמו, אזי כאשר מציבים את g במקום פונקציית המשנה, הפונקציה העיקרית במתכונת החדשה הופכת להיות פונקציה של g שצורתה וסימולה הוא: (f(x)=[g]^3)
פרשנות
- g משמש ב- 2 תפקידים:
- הוא מהווה את הסימול של פונקצייה המשנה ([g=3x^2+8x+9]).
- הוא בעצמו משתנה ולפיכך סימול הפונקציה שבה הוא מהווה משתנה, וצורתה, הם: (f(g)=[g]^3)
הבחנה בין 3 פונקציות
- הפונקציה העיקרית (f(x)=(3x^2+8x+9)^3).
- פונקציית המשנה (g=3x^2+8x+9)
- הפונקציה ש- g הוא משתנה בה (f(g)=[g]^3)
טכניקת הגזירה של הפונקציה העיקרית (f(x))
הגזירה מבוצעת ב- 3 מהלכים:
מהלך 1 גוזרים את (f(g)) והתוצאה: (f'(g)=3[g]^2)
מהלך 2 גוזרים את פונקציית המשנה והתוצאה: (g'=6x+8)
מהלך 3 כופלים את התוצאות של 2 המהלכים, כשתוך כדי מציבים במקום g את פונקציית המשנה. התוצאה היא הנגזרת של (f(x)).
(f'(x) = 3(3x^2+8x+9)^2 cdot (6x+8))
דוגמאות
דוגמה 1
נתונה הפונקציה (f(x)=e^{5x^2}). חשב את (f'(x)).
פתרון
התארגנות נתייחס לביטוי ((5x^2)) כפונקציית משנה ונסמלה ב- g. ומכאן: (f(g)=e^{g}).
מהלכי הפתרון נגזור את (f(g)) ונקבל (f'(g)=e^{g}). נגזור את g ונקבל (g'=10x). נכפיל את 2 התוצאות ונציב את פונקציית המשנה במקום g. התוצאה: (f'(x)=e^{5x^2} cdot 10x)