בפרק הזה
בקצרה
- מה תלמדו: מה זה משתנה מקרי, איך מגדירים אותו, ולמה ±3 בסקרים הוא לא קישוט.
- זמן קריאה: 5 דק'
הפתיחה
לפני כל בחירות בישראל — ולפני כל בחירות בכל מקום שיש בו סקרי דעת קהל — מתפרסמות תוצאות עם מספר קטן בסוגריים: "מפלגה X: 25 מנדטים, שגיאה ±3 מנדטים". רוב האנשים קוראים את ה-25 ומתעלמים מה-±3. זה כנראה הטעות הנפוצה ביותר בצריכת סטטיסטיקה בישראל.
ה-±3 הוא לא קישוט. הוא הלב של מה שתלמדו בספר הזה.
מאחורי כל סקר, כל ניסוי, כל מדידה עומד רעיון אחד: יש תופעה שאנחנו לא יכולים לדעת את תוצאתה מראש — אבל אנחנו יכולים לתאר את ההסתברות של כל תוצאה אפשרית. הכלי שמאפשר לנו לעשות את זה נקרא משתנה מקרי.
הפרק הזה מניח את הבסיס: מה הוא משתנה מקרי, מה ההבדל בין אוכלוסייה ומדגם, ואיך מסמלים את הדברים בצורה שתחזיק לאורך כל הספר.
משתנה מקרי — הרעיון
תופעה רבת-תוצאות אפשריות — שבה התוצאה של ניסוי בודד אינה ידועה מראש אבל אפשר לתאר את הסיכוי לכל תוצאה — נקראת ניסוי מקרי. משתנה מקרי הוא מספר שאנחנו מצמידים לכל תוצאה אפשרית של הניסוי.
דוגמה: זורקים מטבע שני פעמים. "כמה פעמים יצא עץ?" — זו שאלה שיש לה כמה תשובות אפשריות (0, 1, 2), ואנחנו לא יודעים מראש איזו תצא. זה בדיוק משתנה מקרי.
אוכלוסייה, מדגם, פרמטר
ברוב הניסויים הסטטיסטיים אנחנו בעצם מנסים לדעת משהו על אוכלוסייה גדולה — כל בוחרי ישראל, כל ילדי כיתה ד' בארץ, כל הדגים בכנרת — מתוך מדגם קטן שבדקנו.
פרמטר הוא מאפיין של האוכלוסייה כולה. למשל: הגובה הממוצע של כל ילדי ישראל בני שמונה. אומדן הוא הניחוש הטוב ביותר שלנו לגבי הפרמטר, על בסיס המדגם שמדדנו. הסקר שמדגם 500 ישראלים ומדווח על תמיכה בסגנון "33%±3" — ה-33% הוא אומדן; ה-±3 הוא מדד לכמה הוא עשוי לחטוא.
ערכי פרמטר ויחס בין משתנים
הספר עובד עם כמה סוגי משתנים. כדאי להכיר את הסימולים כבר בפרק הראשון, כי הם חוזרים בכל פרק עד הסוף:
| סימול | שם | משמעות |
|---|---|---|
| X | משתנה מקרי | ה"כמות" שאנחנו מודדים — למשל, מספר ההצלחות |
| μ (מיו) | תוחלת — פרמטר אוכלוסייה | הממוצע ה"אמיתי" של כל האוכלוסייה |
| x̄ (איקס-בר) | ממוצע — אומדן מדגם | הממוצע שחישבנו מתוך המדגם שלנו |
| σ (סיגמא) | סטיית תקן — פרמטר | הפיזור ה"אמיתי" באוכלוסייה |
| s | סטיית תקן — אומדן | הפיזור שחישבנו מהמדגם |
| σ² | שונות — פרמטר | מדד לפיזור (סטיית-תקן בריבוע) |
| n | גודל המדגם | כמה תצפיות בדקנו |
| N | גודל האוכלוסייה | כמה יחידות יש באוכלוסייה כולה |
ההבחנה בין עמודה שמאל לעמודה ימין — בין פרמטר לאומדן — היא אחת ההבחנות הבסיסיות בסטטיסטיקה. פרמטר קיים; לרוב אנחנו לא יכולים למדוד אותו ישירות. אנחנו מודדים אומדן, ומנסים לנחש ממנו את הפרמטר.
דוגמאות: משתנים מקריים בפרקטיקה
הספר משתמש בשלוש משפחות של דוגמאות. כדאי להכיר אותן כבר עכשיו:
דגי הכנרת: דמיינו שאנחנו בוחרים דג אחד אקראי מהכנרת. אנחנו לא יודעים מה יהיה משקלו — אבל אנחנו יכולים לשאול: "מה ההסתברות שמשקלו יהיה בין 0.5 ל-1 ק"ג?" המשתנה המקרי כאן הוא משקל הדג.
גובה ילדים ישראלים: אם נבחר ילד ישראלי בן שמונה באופן אקראי, גובהו הוא משתנה מקרי. התוחלת שלו (הממוצע באוכלוסייה) ידועה מנתוני מערך הבריאות — אבל הגובה של ילד ספציפי שנבחר אקראית אינו ידוע מראש.
תפוחי קיבוץ כברי: אם נבחר תפוח אקראי מהעץ, משקלו הוא משתנה מקרי. כאן המשתנה המקרי הוא רציף — יכול לקבל ערכים רבים על ציר מספרי, לא רק ערכים שלמים ספורים.
שני סוגי משתנים מקריים
יש הבדל עקרוני בין שני סוגי משתנים:
משתנה מקרי בדיד (Discrete): מקבל ערכים ספורים, שלמים. מספר ה-"עץ" בזריקת שני מטבעות: 0, 1, 2 — ולא כלום באמצע. גם מספר הנוסעים באוטובוס, מספר הגולות במשחק, מספר התקלות בשבוע.
משתנה מקרי רציף (Continuous): יכול לקבל כל ערך בתחום. גובה אדם: 172.4 ס"מ, 172.41 ס"מ, 172.413 ס"מ — אין קפיצה בין הערכים. גם משקל, טמפרטורה, זמן המתנה.
ההבדל הזה חשוב כי הוא קובע איך מחשבים הסתברויות: אצל משתנה בדיד שואלים "מה ההסתברות שX=2?" — ותוצאה מספרית יש לה. אצל משתנה רציף שואלים "מה ההסתברות שX יהיה בין 170 ל-180 ס"מ?" — כי הסתברות לערך בודד מדויק היא 0.
פונקציית הצפיפות — הכנה לפרק הבא
עבור משתנה מקרי בדיד, מגדירים פונקציית הסתברות (PDF — Probability Distribution Function): f(x) = P(X = x).
כלל מרכזי שנגזר מהגדרה זו: סכום ההסתברויות על כל הערכים האפשריים הוא תמיד 1. בסקר בחירות — הסיכוי שה"תוצאה" תהיה אחד מהפרטים האפשריים הוא 100%. תמיד.
בפרק הבא נכנסים לפרטים: מה ה"צורה" של ההסתברויות עבור משתנים ספציפיים — בינומי, נורמלי ואחרים — ואיך מחשבים מהן תוחלת ושונות.
מה זה אומר עבורך
הסקר הבא שתראה בחדשות — עצרו שנייה לפני ה-25 המנדטים. תחפשו את ה-±3. תשאלו: כמה אנשים נשאלו? (בדרך כלל מופיע בשורה האחרונה של הידיעה, בפונט הקטן ביותר.) אם שאלו 500 איש — ה-±3 הוא מספר שיש לו הצדקה מתמטית. בפרק 4 נראה בדיוק מאין הוא מגיע.
סיכום
משתנה מקרי הוא מספר שמוצמד לתוצאות של ניסוי שתוצאתו אינה ידועה מראש. ישנם שני סוגים: בדיד (ספירה) ורציף (מדידה). אוכלוסייה ← מדגם ← אומדן ← פרמטר — זו שרשרת ה"ידע" שסטטיסטיקה בונה. הסימולים (μ, σ, x̄, n) יופיעו בכל פרק; הטבלה בפרק זה היא אבן-הראשה.