עלות כוללת, ממוצעת ושולית

הפתיחה

בעל מסעדה ישראלי מחשב כמה עולה לו כל מנה: שכר-שפים, ארנונה, חשמל, עלות-מזון. מחלק ב-80 מנות ביום ומקבל מחיר-ממוצע. ואז מגיע לקוח גדול ומציע הזמנה ל-20 מנות נוספות. שאלה: האם לקבל?

הטעות השכיחה: לבדוק אם מחיר-ההצעה גבוה מ"עלות-ממוצע". הטעות: לא מחיר-ממוצע קובע כאן — אלא עלות-שולית. כמה יעלה לייצר דווקא 20 המנות הנוספות האלה, מעבר לכל מה שכבר מתוכנן? אם מחיר-ההצעה גבוה מ-MC — קבל. גבוה מ-AC? לא בטוח רלוונטי.

שלושת המושגים — הגדרות מדויקות

נניח $TC(q)$ — פונקציית-העלות הכוללת (Total Cost) כפונקציה של תפוקה $q$ .

עלות כוללת (TC — Total Cost)

TC(q) = FC + VC(q)

$FC$ — עלות-קבועה (Fixed Cost): שכר-דירה, ארנונה, ציוד — לא תלויים בתפוקה.
$VC(q)$ — עלות-משתנה (Variable Cost): חומרי-גלם, עבודה-ישירה — גדלים עם התפוקה.

עלות ממוצעת (AC — Average Cost)

AC(q) = frac{TC(q)}{q}

עלות ל-יחידה אחת, בממוצע על כל הייצור. ניתן לפרק:

AC(q) = frac{FC}{q} + frac{VC(q)}{q} = AFC(q) + AVC(q)

עלות שולית (MC — Marginal Cost)

MC(q) = frac{dTC}{dq} = frac{dVC}{dq}

עלות הייצור של יחידה אחת נוספת. שימו לב: $FC$ נעלמת — לא משנה לשינוי-בתפוקה.

הטבלה המלאה — TC, AC, MC בטווח-ארוך ובטווח-קצר

	עלות כוללת	עלות ממוצעת	עלות שולית
כללי	$TC(q)$	$AC(q) = TC(q)/q$	$MC(q) = dTC/dq$
טווח-ארוך	$TC_{LR}(q)$	$AC_{LR}(q) = TC_{LR}(q)/q$	$MC_{LR}(q) = dTC_{LR}/dq$
טווח-קצר	$TC_{SR}(q) = FC + VC(q)$	$AC_{SR}(q) = TC_{SR}(q)/q$	$MC_{SR}(q) = dVC/dq$

דוגמה מחושבת

פונקציית-עלות: $TC(q) = q^2 + q$

עלות ממוצעת:

AC(q) = frac{q^2 + q}{q} = q + 1

בדיקה: $AC(1) = 2, quad AC(2) = 3, quad AC(3) = 4$

(שימו לב: $q$ לוקח ערכים 1, 2, 3 — לא 1, 1, 1.)

עלות שולית:

MC(q) = frac{d(q^2 + q)}{dq} = 2q + 1

בדיקה: $MC(1) = 3, quad MC(2) = 5, quad MC(3) = 7$

טבלה:

$q$	$TC$	$AC$	$MC$
1	2	2	3
2	6	3	5
3	12	4	7
4	20	5	9

הקשר בין MC ל-AC — ה-WOW של הפרק

frac{d(AC)}{dq} = frac{d}{dq}left(frac{TC}{q}right) = frac{MC cdot q – TC}{q^2} = frac{MC – AC}{q}

מסקנה קריטית:

כשמ- $MC < AC$ : AC יורדת (עלות-שולית מושכת את-הממוצע מטה).
כשמ- $MC > AC$ : AC עולה (עלות-שולית מושכת את-הממוצע מעלה).
כשמ- $MC = AC$ : זה נקודת מינימום AC.

אנלוגיה: ממוצע ציונים במבחן. אם קיבלת בחינה חדשה ציון נמוך מהממוצע — הממוצע ירד. אם ציון גבוה — הממוצע עלה. ה-MC הוא "הציון האחרון"; ה-AC הוא "הממוצע עד כה".

טווח-קצר — תוספת עלות-קבועה

כשיש $FC > 0$ :

TC(q) = FC + VC(q)

MC(q) = frac{dVC}{dq} quad text{(FC נעלמת!)}

AFC(q) = frac{FC}{q} quad text{(יורדת תמיד)}

AVC(q) = frac{VC(q)}{q}, quad AC(q) = AFC(q) + AVC(q)

דוגמה: $TC(q) = 4 + q^2$

$FC = 4$ , $VC = q^2$
$MC = 2q$
$AFC = 4/q$ (יורדת)
$AVC = q$ (עולה)
$AC = 4/q + q$ — מינימום כש- $dAC/dq = 0$ : $-4/q^2 + 1 = 0 Rightarrow q = 2$ , ו- $AC_{min} = 4/2 + 2 = 4$ .

בדיקת-חיתוך MC=AC: $2q = 4/q + q Rightarrow q = 4/q Rightarrow q^2 = 4 Rightarrow q=2$ . מאשר.

תיבת פעולה — מה זה אומר עבורך

בעל מסעדה / בעל עסק שירות: כשמגיעה הצעה להזמנה חריגה מעבר לנפח-הרגיל שלך — התשובה שלך תלויה ב-MC, לא ב-AC. השאל: האם המחיר המוצע לכסות לפחות את העלות הנוספת של הייצור? אם כן — כדאי לקבל, גם אם המחיר מתחת לממוצע הרגיל שלך. זה לא הנחה — זה הגיון כלכלי.

סטודנט: שתי נוסחאות שחייבים לשנן: $AC = TC/q$ , $MC = dTC/dq$ . ושאלת-הקשר: MC חוצה AC במינימום-AC. תמיד.

סיכום

TC = FC + VC — עלות כוללת. FC לא תלויה ב- $q$ .
AC = TC/q — עלות ל-יחידה. יורדת כשהאפקט של FC מתפרס; עולה כשVC תופס.
MC = dTC/dq — עלות היחידה הבאה. לא מושפעת מ-FC.
MC חוצה AC במינימום-AC — תמיד, בכל פונקציה.

בפרק הבא: כשיש שוק-תחרות — איך מחליטה פירמה כמה לייצר, ומתי להפסיק?

עלות כוללת, עלות ממוצעת ועלות שולית