תורת היצרן ב' (בלבוש מתמטי) · פרק 3 מ-13

עלות הייצור כפונקציה של היקף התפוקה

כמה עולה לייצר יחידה נוספת — היום, ובשנה הבאה

1 דק׳ זמן קריאה

הפתיחה

בעלת מאפייה קטנה בתל-אביב שוקלת אם להגדיל ייצור. שאלה ראשונה: כמה עולה לאפות עוד 100 כיכרות הלילה? שאלה שנייה: אם תרצה לגדול מ-500 לאלפיים כיכרות ביום — כמה יעלה לה לבנות תנור חדש, לשכור עובד נוסף, ולהרחיב את המקום?

שתי השאלות האלה הן אחת מהבחנות-היסוד בכלכלה: טווח-קצר (ציוד נתון, רק עבודה גמישה) מול טווח-ארוך (הכל גמיש). עלות-הייצור שונה בין השניים — ולפעמים שונה בהרבה.

הרעיון: לגזור עלות מייצור

בפרק הקודם מצאנו את הסל הזול ביותר לכל רמת-תפוקה. עכשיו עושים צעד קדימה: בונים פונקציית-עלות — ביטוי אלגברי שאומר "כדי לייצר x יחידות, עלות-המינימום היא TC(x)."

השיטה: פותרים את בעיית-המינימום מפרק 2, ומצביעים על L(x), K(x) — ואז:

TC(x) = w \cdot L(x) + r \cdot K(x)

גזירת עלות — טווח-ארוך

פונקציית ייצור: x = L^{0.5} \cdot K^{0.5}

מחירים: w = 2, r = 2 (לשם הפשטות — מחירים שווים)

שלב 1 — תנאי-אופטימליות:

\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r} \quad \Rightarrow \quad \frac{K}{L} = \frac{2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad K = L

שלב 2 — הצבה בפונקציית-הייצור:

x = L^{0.5} \cdot L^{0.5} = L \quad \Rightarrow \quad L = x

ומכאן: L^*(x) = x,\quad K^*(x) = x.

שלב 3 — פונקציית-עלות ארוכת-טווח:

TC_{LR}(x) = 2 \cdot x + 2 \cdot x = 4x

עלות לינארית ב-x — מאפיין של תשואה קבועה לגודל. כפל-ייצור = כפל-עלות.

גזירת עלות — עם מחירים א-סימטריים

פונקציית ייצור: x = L^{0.5} \cdot K^{0.5}

מחירים: w = 2, r = 8

שלב 1 — תנאי-אופטימליות:

\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{K}{L} = \frac{w}{r} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad K = \frac{L}{4}

שלב 2 — הצבה:

x = L^{0.5} \cdot \left(\frac{L}{4}\right)^{0.5} = L^{0.5} \cdot \frac{L^{0.5}}{2} = \frac{L}{2}
\Rightarrow \quad L^* = 2x, \quad K^* = \frac{x}{2}

שלב 3 — פונקציית-עלות:

TC_{LR}(x) = 2 \cdot 2x + 8 \cdot \frac{x}{2} = 4x + 4x = 8x

שימו לב: כשהון יקר (r=8) — הפירמה צורכת מעט הון (K^* = x/2 < L^* = 2x), אבל בסוף משלמת 8x — יותר מ-4x כשהמחירים היו שווים. יקר יותר, אבל זה המינימום בנתון מחירים אלה.

פונקציית-עלות כוללת — בדוגמה מסדר גבוה יותר

פונקציית ייצור: x = L^{0.5} \cdot K^{0.5}, w = r = 2

— זה המקרה שניתחנו: TC_{LR}(x) = 4x.

כעת נוסיף מציאות טווח-קצר: נניח שה-K קבוע בטווח-קצר, K = \bar{K}.

בטווח-הקצר, הפירמה לא יכולה לשנות את K. מהפונקציה:

x = L^{0.5} \cdot \bar{K}^{0.5} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{x^2}{\bar{K}}

עלות-עבודה משתנה + עלות-הון קבועה:

TC_{SR}(x) = w \cdot \frac{x^2}{\bar{K}} + r \cdot \bar{K} = \frac{2x^2}{\bar{K}} + 2\bar{K}

עלות זו ריבועית ב-x — לא לינארית. כל יחידה נוספת עולה יותר מהקודמת (עלות-שולית עולה), כי הון קבוע הופך לצוואר-בקבוק.

אימות: עבור \bar{K} = 1:

TC_{SR}(x) = 2x^2 + 2

בודדים L: L = x^2 / 1 = x^2. נבדוק: L^{0.5} \cdot 1 = x checkmark.

עלות-שולית בטווח-קצר: MC_{SR} = 4x — עולה ב-x.

עלות-שולית בטווח-ארוך: MC_{LR} = 4 — קבועה.

ה-Insight: בטווח-ארוך מייצרים יעיל; בטווח-קצר כל יחידה נוספת עולה יותר כי הון קבוע.

הבחנה: עלות-שולית טווח-קצר מול טווח-ארוך

MC_{SR}(x) = \frac{dTC_{SR}}{dx}, \quad MC_{LR}(x) = \frac{dTC_{LR}}{dx}

בדוגמה שלנו (\bar{K}=1):
– MC_{SR} = 4x — עולה ב-x.
– MC_{LR} = 4 — קבוע (תשואה קבועה לגודל).

כלל חשוב: TC_{SR}(x) \geq TC_{LR}(x) תמיד — אי-אפשר לייצר זול יותר בטווח-קצר ממה שאפשר בטווח-ארוך. בטווח-הארוך מתאמים את ה-K האופטימלי; בטווח-הקצר עובדים עם K שאולי לא מתאים.

הכללה: פונקציות עם עצמות שונות

פונקציה כללית: x = L^\alpha \cdot K^\beta, מחירים w, r.

פתרון כללי (מפרק 2):

L^* = \left(\frac{\alpha r}{\beta w}\right)^{\beta/(\alpha+\beta)} x^{1/(\alpha+\beta)}
TC_{LR}(x) = A \cdot x^{1/(\alpha+\beta)}

כאשר A הוא ביטוי המכיל w, r, \alpha, \beta.

  • אם \alpha + \beta = 1 (תשואה קבועה): TC_{LR} \propto x — לינארי.
  • אם \alpha + \beta > 1 (תשואה עולה): TC_{LR} \propto x^{<1} — עלות לתת-לינארית — ייצור נוסף זול יחסית. יתרון-לגודל.
  • אם \alpha + \beta < 1 (תשואה יורדת): TC_{LR} \propto x^{>1} — עלות-על-לינארית — ייצור נוסף יקר יחסית.

תיבת פעולה — מה זה אומר עבורך

בעל עסק: ההבחנה טווח-קצר/ארוך היא גם החלטת-השקעה. אם היום הציוד שלך מגביל אותך (אתה בטווח-קצר), ואתה מגדיל ייצור — העלות-השולית עולה. אם תשקיע בציוד חדש (תוציא עצמך לטווח-ארוך), העלות-השולית מתייצבת. החלטה: האם חיסכון-העלות מצדיק את ההשקעה?

סטודנט: שיטת-הגזירה זהה בכל שאלה:

  1. תנאי-אופטימליות → K(L) או L(K)
  2. הצבה בפונקציית-הייצור → L(x),K(x)
  3. הכנסה ל-TC = wL+rK.

סיכום

מצב פונקציית-עלות עלות-שולית משמעות
ט"א, תש"ק TC=4x MC=4 (קבועה) כפל-ייצור = כפל-עלות
ט"ק, K=1 TC=2x^2+2 MC=4x (עולה) הון קבוע יוצר צוואר-בקבוק
ט"א, תשואה עולה TC \propto x^{<1} MC יורדת יתרון-לגודל

בפרק הבא: מגדירים TC, AC, ו-MC בצורה מדויקת, ובוחנים את הקשר ביניהם — כולל מדוע MC חוצה את AC במינימומו.

נושאים כלכלה ומאקרו (ידע/ספרים)
גילוי נאות: התוכן באתר אינו ייעוץ פיננסי, פנסיוני, מסים או השקעות. החלטות פיננסיות אישיות מומלץ לקבל בליווי בעל מקצוע מוסמך.