עלות הייצור כפונקציה של התפוקה

הפתיחה

בעלת מאפייה קטנה בתל-אביב שוקלת אם להגדיל ייצור. שאלה ראשונה: כמה עולה לאפות עוד 100 כיכרות הלילה? שאלה שנייה: אם תרצה לגדול מ-500 לאלפיים כיכרות ביום — כמה יעלה לה לבנות תנור חדש, לשכור עובד נוסף, ולהרחיב את המקום?

שתי השאלות האלה הן אחת מהבחנות-היסוד בכלכלה: טווח-קצר (ציוד נתון, רק עבודה גמישה) מול טווח-ארוך (הכל גמיש). עלות-הייצור שונה בין השניים — ולפעמים שונה בהרבה.

הרעיון: לגזור עלות מייצור

בפרק הקודם מצאנו את הסל הזול ביותר לכל רמת-תפוקה. עכשיו עושים צעד קדימה: בונים פונקציית-עלות — ביטוי אלגברי שאומר "כדי לייצר $x$ יחידות, עלות-המינימום היא $TC(x)$ ."

השיטה: פותרים את בעיית-המינימום מפרק 2, ומצביעים על $L(x), K(x)$ — ואז:

TC(x) = w cdot L(x) + r cdot K(x)

גזירת עלות — טווח-ארוך

פונקציית ייצור: $x = L^{0.5} cdot K^{0.5}$

מחירים: $w = 2, r = 2$ (לשם הפשטות — מחירים שווים)

שלב 1 — תנאי-אופטימליות:

frac{MP_L}{MP_K} = frac{w}{r} quad Rightarrow quad frac{K}{L} = frac{2}{2} = 1 quad Rightarrow quad K = L

שלב 2 — הצבה בפונקציית-הייצור:

x = L^{0.5} cdot L^{0.5} = L quad Rightarrow quad L = x

ומכאן: $L^(x) = x,quad K^(x) = x$ .

שלב 3 — פונקציית-עלות ארוכת-טווח:

TC_{LR}(x) = 2 cdot x + 2 cdot x = 4x

עלות לינארית ב- $x$ — מאפיין של תשואה קבועה לגודל. כפל-ייצור = כפל-עלות.

גזירת עלות — עם מחירים א-סימטריים

פונקציית ייצור: $x = L^{0.5} cdot K^{0.5}$

מחירים: $w = 2, r = 8$

שלב 1 — תנאי-אופטימליות:

frac{MP_L}{MP_K} = frac{K}{L} = frac{w}{r} = frac{2}{8} = frac{1}{4} quad Rightarrow quad K = frac{L}{4}

שלב 2 — הצבה:

x = L^{0.5} cdot left(frac{L}{4}right)^{0.5} = L^{0.5} cdot frac{L^{0.5}}{2} = frac{L}{2}

Rightarrow quad L^* = 2x, quad K^* = frac{x}{2}

שלב 3 — פונקציית-עלות:

TC_{LR}(x) = 2 cdot 2x + 8 cdot frac{x}{2} = 4x + 4x = 8x

שימו לב: כשהון יקר ( $r=8$ ) — הפירמה צורכת מעט הון ( $K^= x/2 < L^= 2x$ ), אבל בסוף משלמת $8x$ — יותר מ- $4x$ כשהמחירים היו שווים. יקר יותר, אבל זה המינימום בנתון מחירים אלה.

פונקציית-עלות כוללת — בדוגמה מסדר גבוה יותר

פונקציית ייצור: $x = L^{0.5} cdot K^{0.5}$ , $w = r = 2$

— זה המקרה שניתחנו: $TC_{LR}(x) = 4x$ .

כעת נוסיף מציאות טווח-קצר: נניח שה-K קבוע בטווח-קצר, $K = bar{K}$ .

בטווח-הקצר, הפירמה לא יכולה לשנות את K. מהפונקציה:

x = L^{0.5} cdot bar{K}^{0.5} quad Rightarrow quad L = frac{x^2}{bar{K}}

עלות-עבודה משתנה + עלות-הון קבועה:

TC_{SR}(x) = w cdot frac{x^2}{bar{K}} + r cdot bar{K} = frac{2x^2}{bar{K}} + 2bar{K}

עלות זו ריבועית ב- $x$ — לא לינארית. כל יחידה נוספת עולה יותר מהקודמת (עלות-שולית עולה), כי הון קבוע הופך לצוואר-בקבוק.

אימות: עבור $bar{K} = 1$ :

TC_{SR}(x) = 2x^2 + 2

בודדים L: $L = x^2 / 1 = x^2$ . נבדוק: $L^{0.5} cdot 1 = x checkmark$ .

עלות-שולית בטווח-קצר: $MC_{SR} = 4x$ — עולה ב- $x$ .

עלות-שולית בטווח-ארוך: $MC_{LR} = 4$ — קבועה.

ה-Insight: בטווח-ארוך מייצרים יעיל; בטווח-קצר כל יחידה נוספת עולה יותר כי הון קבוע.

הבחנה: עלות-שולית טווח-קצר מול טווח-ארוך

MC_{SR}(x) = frac{dTC_{SR}}{dx}, quad MC_{LR}(x) = frac{dTC_{LR}}{dx}

בדוגמה שלנו ( $bar{K}=1$ ):
– $MC_{SR} = 4x$ — עולה ב- $x$ .
– $MC_{LR} = 4$ — קבוע (תשואה קבועה לגודל).

כלל חשוב: $TC_{SR}(x) geq TC_{LR}(x)$ תמיד — אי-אפשר לייצר זול יותר בטווח-קצר ממה שאפשר בטווח-ארוך. בטווח-הארוך מתאמים את ה-K האופטימלי; בטווח-הקצר עובדים עם K שאולי לא מתאים.

הכללה: פונקציות עם עצמות שונות

פונקציה כללית: $x = L^alpha cdot K^beta$ , מחירים $w, r$ .

פתרון כללי (מפרק 2):

L^* = left(frac{alpha r}{beta w}right)^{beta/(alpha+beta)} x^{1/(alpha+beta)}

TC_{LR}(x) = A cdot x^{1/(alpha+beta)}

כאשר $A$ הוא ביטוי המכיל $w, r, alpha, beta$ .

אם $alpha + beta = 1$ (תשואה קבועה): $TC_{LR} propto x$ — לינארי.
אם $alpha + beta > 1$ (תשואה עולה): $TC_{LR} propto x^{<1}$ — עלות לתת-לינארית — ייצור נוסף זול יחסית. יתרון-לגודל.
אם $alpha + beta < 1$ (תשואה יורדת): $TC_{LR} propto x^{>1}$ — עלות-על-לינארית — ייצור נוסף יקר יחסית.

תיבת פעולה — מה זה אומר עבורך

בעל עסק: ההבחנה טווח-קצר/ארוך היא גם החלטת-השקעה. אם היום הציוד שלך מגביל אותך (אתה בטווח-קצר), ואתה מגדיל ייצור — העלות-השולית עולה. אם תשקיע בציוד חדש (תוציא עצמך לטווח-ארוך), העלות-השולית מתייצבת. החלטה: האם חיסכון-העלות מצדיק את ההשקעה?

סטודנט: שיטת-הגזירה זהה בכל שאלה: (1) תנאי-אופטימליות → K(L) או L(K); (2) הצבה בפונקציית-הייצור → L(x),K(x); (3) הכנסה ל- $TC = wL+rK$ .

סיכום

מצב	פונקציית-עלות	עלות-שולית	משמעות
ט"א, תש"ק	$TC=4x$	$MC=4$ (קבועה)	כפל-ייצור = כפל-עלות
ט"ק, $K=1$	$TC=2x^2+2$	$MC=4x$ (עולה)	הון קבוע יוצר צוואר-בקבוק
ט"א, תשואה עולה	$TC propto x^{<1}$	$MC$ יורדת	יתרון-לגודל

בפרק הבא: מגדירים TC, AC, ו-MC בצורה מדויקת, ובוחנים את הקשר ביניהם — כולל מדוע MC חוצה את AC במינימומו.

עלות הייצור כפונקציה של היקף התפוקה