פונקציית תועלת מסוג קוב דאגלס K&D U(x,y) = xα·yβ

תוואי עקומות האדישות

• פונקציית התועלת: u(x,y)=x^(alpha)*y^(beta)
• התוואי שמאפיין את עקומות האדישות הוא עקומה קמורה שיורדת משמאל לימין.

מציאת הסל הנבחר

במיקום הסל הנבחר ערכי x ו-y מקיימים 2 תנאי שוויון:

• משוואה 1: I=x*P_(0)+y*P_(0) (הסל ממוקם על קו התקציב)
• משוואה 2: (Uy(x,y))/(Py)=(Ux(x,y))/(Px) (עלות התועלת שווה ב-2 המוצרים)

מפתרון 2 תנאי השוויון מתקבלות התוצאות של x ו-y בצורת משוואה:

1. x=(alpha*I)/((alpha+beta)*Px)
2. y=(beta*I)/((alpha+beta)*Py)

פירוט מהלכי הפתרון

נציב את הנגזרות הרלוונטיות במשוואה 2, המחייבת שוויון עלות-תועלת:

(alphax^(alpha-1)y^(beta))/(P_(x))=(betax^(alpha)y^(beta-1))/(P_(y))

תזכורת:

• u_(x)(x^(alpha))=alpha*x^((alpha-1))
• u_(y)(y^(beta))=beta*y^((beta-1))

כידוע, x=x^(alpha)/x^(alpha-1)

נעזר בזהות זו, נבודד את y ונקבל: y=beta/alpha *P_(x)/P_(y) * x

נציב משוואה זו במשוואת קו התקציב:

I=x*P_(x)+beta/alpha *P_(x)/P_(y) * x *P_(y)=x*(P_(x)+beta/alpha *P_(x))=x*(alpha+beta)/(alpha) *P_(x)

x=(alpha*I)/(alpha+beta*P_(x))

קיבלנו את x. כעת נציב במשוואה שקיבלנו עבור y לעיל: y=beta/alpha*P_(x)/P_(y)*(alpha*I)/((alpha+beta)*P_(x))=(beta*I)/((alpha+beta)*P_(y))

הבחנה בין: פונקציית הביקוש ל-x ועקומת הביקוש ל-x

הקדמה

בהצגה גרפית של פונקציה, מקובל להציב את ערכי המשתנה על ציר ה-x ואת ערכי התוצאה על ציר ה-y. בתרשים 2 מוצגת פונקציית הביקוש ל-x שצורתה x=(alpha*I)/(alpha+beta*P_(x))

P_x – הוא המשתנה.
x – היא התוצאה.

עקומת הביקוש

למרות זאת, כאשר מתייחסים לעקומת הביקוש ל-x המשתנה P_L מוצג על ציר ה-y ואילו התוצאה x מוצגת על ציר ה-x, כמו בתרשים 3.

את פונקציית עקומת הביקוש ניתן לקבל בקלות מפונקציית הביקוש על ידי כך שמבודדים את P_x ומקבלים: P_(x)=(alpha*I)/((alpha+beta)*x)
x הופך למשתנה ו-P_x לתוצאה.

היפוך הצירים בעקומת הביקוש נעשה מטעמי נוחות.

תוואי עקומת הביקוש כפי שמתקבל מפונקציית הביקוש

תרשים 3 מאפיין את התוואי.
עקום קמור שיורד משמאל לימין.

צורת העקומה מתאימה לאינטואיציה הכלכלית: ככל שמחיר המוצר גבוה יותר, כך הכמות המבוקשת לאותו מוצר יורדת.