משתנים המבוססים על אותה אוכלוסייה בסיסית ואותו פרמטר

דוגמאות

• משתנה 1: משקל דגי הכנרת
  • האוכלוסיה – כל הדגים בכנרת
  • הפרמטר – משקל (המשקל של כל דג)
  • הסימול – `D_1`
• משתנה 2: המשקל הממוצע של דג בקבוצות בנות 25 דגים
  • האוכלוסיה – כל הקבוצות בנות 25 דגים
  • הפרמטר – משקל ממוצע (המשקל הממוצע של דג בודד בקבוצה של 25 דגים)
  • הסימול – `D_25`
• משתנה 3: המשקל הממוצע של דג בקבוצות בנות 100 דגים בכנרת
  • האוכלוסיה – כל הקבוצות בנות 100 דגים
  • הפרמטר – משקל ממוצע (המשקל הממוצע של דג בודד בקבוצה של 100 דגים)
  • הסימול – `D_100`
• משתנה 4: המשקל הממוצע של דג בקבוצות בנות 625 דגים בכנרת
  • האוכלוסיה – כל הקבוצות בנות 625 דגים
  • הפרמטר – משקל ממוצע (המשקל הממוצע של דג בודד בקבוצה של 625 דגים)
  • הסימול – `D_625`

הערה: לצורך האחידות בשם הפרמטר בכל המשתנים המקריים לעיל, אפשר גם לומר ש-`D_1` הוא המשקל הממוצע של קבוצות בנות 1 דגים. וכך המשקל הממוצע הופך להיות פרמטר משותף למשתנים 1-4.

משתנה בסיס ומשתנה מורכב

• משתנה בסיס – המשתנה המקרי `D_1` נקרא משתנה הבסיס. כל ערך שלו נובע ממשקלו של דג בודד. דג בודד הוא היחידה הבסיסית מאוכלוסיית דגי הכנרת.
• משתנה מורכב – כל שאר המשתנים המקריים (`D_25`, `D_100`, `D_625`) מכונים משתנים מורכבים, מהסיבה הפשוטה שהערך שלהם מחושב ע"י יותר מיחידה אחת מאוכלוסיית הבסיס:
  • הערך של המשתנה המקרי `D_25` מחושב באמצעות 25 ערכים שונים של `D_1`.
  • הערך של המשתנה המקרי `D_100` מחושב באמצעות 100 ערכים שונים של `D_1`.
  • הערך של המשתנה המקרי `D_625` מחושב באמצעות 625 ערכים שונים של `D_1`.

משתנים מקריים מאותה משפחה

למשתנים מקריים המבוססים על אותה אוכלוסייה ואותו פרמטר נקרא בהמשך גם משתנים מאותה משפחה. המשתנים המקריים `D_1`, `D_25`, `D_100`, ו-`D_625` הם מאותה משפחה.

• משתנה הבסיס המכיל דג אחד מסומל `D_1`.
• המשתנה המורכב המכיל 25 דגים מסומל `D_25`.
• המשתנה המורכב המכיל 100 דגים מסומל `D_100`.
• המשתנה המורכב המכיל 625 דגים מסומל `D_625`.

סימול תוחלת וסטיית תקן של משתנה מקרי

לכל משתנה מקרי יש התפלגות, ולכל התפלגות יש תוחלת וסטיית תקן (או בקיצור: ס"ת). הסימול של התוחלת יעשה באמצעות האות `E` כאשר לימינה יופיע שם המשתנה המקרי שאליו היא מתייחסת. הסימול של סטיית התקן יעשה באמצעות האות `Sigma` (האות היוונית "סיגמא") כאשר לימינה יופיע שם המשתנה המקרי שאליו היא מתייחסת.

שימוש במונח משתנה מקרי כתחליף לשימוש במילה התפלגות

• אומרים: התוחלת של המשתנה המקרי `D_1` היא 1,000 גרם. במקום להגיד: התוחלת של התפלגות משקל הדגים בכנרת היא 1,000 גרם.
• אומרים: סטיית התקן של `D_50` היא 5 גרם. במקום: סטיית התקן של התפלגות המשקל הממוצע של קבוצות בנות 50 דגים, היא 5 גרם.

הקשר בין משתנים מאותה משפחה

הסטטיסטיקאים מצאו שקיימים קשרים הדוקים בין משתנים מאותה משפחה. הקשר החשוב ביותר הוא בין משתנה הבסיס (למשל, `D_1`) לבין משתנה מורכב שהוא ממוצע של משתנה הבסיס (למשל, `D_25` או `D_100` או `D_625`). למשתנה מקרי זה, נקרא לשם הקיצור משתנה הממוצע.

• התוחלת של משתנה הממוצע שווה לתוחלת של משתנה הבסיס עצמו:
  • `E_(D_25)=E_(D_1)`
  • `E_(D_100)=E_(D_1)`
  • `E_(D_625)=E_(D_1)`
• ס"ת של משתנה הממוצע שווה לס"ת של משתנה הבסיס חלקי שורש גודל הקבוצה שממנה חושב הממוצע:
  • `Sigma_(D_25)=(Sigma_(D_1))/sqrt(25)`
  • `Sigma_(D_100)=(Sigma_(D_1))/sqrt(100)`
  • `Sigma_(D_625)=(Sigma_(D_1))/sqrt(625)`

מקרא

• `X` – משתנה הבסיס
• `n` – גודל הקבוצה לחישוב הממוצע
• `barx_n` – משתנה הממוצע שחושב מקבוצה בגודל
• `Sigma_x` – סטיית תקן של משתנה הבסיס
• `Sigma_(x_n)` – סטיית תקן של משתנה הממוצע

לדוגמא, אם סטיית התקן של `D_1` היא 50 גרם, אזי:

• סטיית התקן של `D_25` היא: `Sigma_(D_25)=50/(sqrt(25))=50/5=10`
• סטיית התקן של `D_100` היא: `Sigma_(D_100)=50/(sqrt(100))=50/10=5`
• וסטיית התקן של `D_625` היא: `Sigma_(D_625)=50/(sqrt(625))=50/25=2`

תרשים 1.1 ממחיש כיצד עליה בגודל הקבוצה שממנה מחושב הממוצע גורם לקיטון בסטיית התקן (כיווץ ההתפלגות).

תרשים 1.1