מרווחי סמך (כשסטיית התקן ידועה)

הפתיחה

בכל תוצאות סקר-בחירות שמתפרסמות בישראל מופיע אותו מספר קטן בסוגריים: ±3 מנדטים, ±4%, ±2.5 נקודות. זהו מרווח הסמך — הטווח שבו, עם מידה מסוימת של ביטחון, אנחנו מצפים שהתוצאה האמיתית תיפול.

הנוסחה מאחוריו פשוטה, ועוד פרק זה — לא תצטרכו לנחש.

ההגדרה

מרווח סמך (Confidence Interval) הוא קטע שמחושב מהמדגם כך שבהסתברות (1−α) הוא מכיל את הפרמטר האמיתי μ.

בשפה פשוטה: אם נבנה 100 מרווחי-סמך מ-100 מדגמים שונים — כ-95 מהם יכילו את μ האמיתי (עבור רמת-ביטחון 95%).

הנוסחה

מרווח סמך לμ (σ ידועה): x̄ ± z_(α/2) · (σ/√n)

כאשר:
– x̄ = ממוצע המדגם
– σ = סטיית-תקן אוכלוסייה (ידועה בפרק זה)
– n = גודל המדגם
– z_(α/2) = ערך-z ל"קצות" — מחפשים בטבלת-z

ערכי z לפי רמת ביטחון

מדוע 1.96? כי P(Z < 1.96) = 0.975, ומכיוון שהפעמון סימטרי — 95% מהשטח נמצא בין −1.96 ל+1.96.

דוגמה — ממוצע גובה

מדדו מדגם של n=100 ישראלים בני 18. x̄ = 175.3 ס"מ. ידוע שסטיית-התקן באוכלוסייה σ = 6.2 ס"מ.

בנו מרווח-סמך 95%:

מרווח הסמך 95%: (174.1 , 176.5)

פירוש: אנחנו בטוחים ב-95% שגובה הישראלי הממוצע בן-18 נמצא בין 174.1 ל-176.5 ס"מ.

השפעת רמת הביטחון על רוחב המרווח

הלקח: ביטחון גבוה יותר → מרווח רחב יותר. אין ארוחות חינם: אם רוצים להיות יותר בטוחים — מוותרים על דיוק. זה לא כשל של השיטה; זה האמת הסטטיסטית.

השפעת גודל המדגם על רוחב המרווח

חישוב n נדרש: אם רוצים מרווח של ±1 ס"מ ברמת 95%:

z · σ/√n ≤ 1 → 1.96 × 6.2/√n ≤ 1 → √n ≥ 1.96×6.2 → √n ≥ 12.15 → n ≥ 148

מרווח הסמך בסקר הבחירות הישראלי

הדוגמה שחיכיתם לה. בסקר על תמיכה במפלגה: n=500, x̄ = 0.33 (33%), σ ≈ 0.47 (מוגדר מניחוש סטיית-תקן מקסימלית לבינארי).

SE = 0.47/√500 = 0.47/22.36 = 0.021 (כ-2.1%)

מרווח 95%: 0.33 ± 1.96 × 0.021 = 0.33 ± 0.041 ≈ 29%–37%

זה מה שאומר "±4 נקודות אחוז" שרואים בחדשות. לא עגלו ל-±3 — רק הדגימו את הרעיון.

הבעיה ההופכית — כמה גדול צריך המדגם להיות?

כל סקר בחירות בישראל מתפרסם עם "טעות דגימה" של בערך ארבעה אחוזים, וכמעט תמיד מאחוריו מדגם של 500 עד 700 נשאלים. למה דווקא בסדר-גודל הזה? מי שהבין את הפרק הזה עד כאן יודע לפתור את השאלה הרגילה: נתון מדגם, מצא את המרווח. אבל בעולם האמיתי השאלה לרוב הפוכה — קודם מחליטים כמה דיוק רוצים, ורק אז שואלים כמה גדול המדגם שיספק אותו. זו השאלה שעונה על "כמה אנשים צריך לדגום".

נחזור למנגנון. רוחב חצי-המרווח — המרחק מן האומדן אל קצה המרווח, שנקרא לו השוליים — הוא מספר סטיות-התקן (לפי רמת הסמך) כפול סטיית התקן של הממוצע:

עד עכשיו חיפשנו את E מתוך n נתון. אבל בשאלה ההפוכה E הוא הנתון — הדיוק שאנחנו דורשים — ו-n הוא הנעלם. נבודד אותו באלגברה פשוטה:

שלושה גורמים קובעים את גודל המדגם: רמת הסמך שדורשים (z), הפיזור הטבעי של התופעה (sigma), והדיוק שרוצים (E). שניים מהם בשליטתנו, אחד אינו.

דוגמה פתורה — כמה נמדדים למרווח רצוי

נניח שקופת חולים רוצה לאמוד את זמן ההמתנה הממוצע במוקד הטלפוני שלה. ממדידות העבר ידוע שסטיית התקן של זמן ההמתנה היא כ-14 דקות. ההנהלה רוצה אומדן ברמת סמך של 95% (כלומר z = 1.96), עם דיוק של ארבע דקות לכל כיוון. כמה שיחות צריך לדגום?

גודל מדגם חייב להיות מספר שלם, ותמיד מעגלים אותו כלפי מעלה — עיגול כלפי מטה היה מרחיב את המרווח מעבר לדיוק שביקשנו. לכן נדגום 48 שיחות. נוודא שזה אכן עובד: סטיית התקן של הממוצע ב-48 שיחות היא 14/sqrt{48} = 2.02 דקות, והשוליים יוצאים 1.96 cdot 2.02 = 3.96 דקות — כמעט בדיוק ארבע הדקות שביקשנו, ומעט פחות, בזכות העיגול כלפי מעלה.

המחיר של דיוק — הקשר אינו ליניארי

כאן מסתתר השיעור החשוב של הפרק. נניח שההנהלה רוצה להכפיל את הדיוק — מרווח של שתי דקות בלבד לכל כיוון במקום ארבע. אינטואיציה תמימה תאמר "אז נכפיל את המדגם". אבל n תלוי בריבוע של E, ולכן חצי-שוליים דורש פי ארבעה נמדדים:

48 שיחות נתנו דיוק של ארבע דקות; 189 שיחות נדרשות כדי לחתוך אותו לשתיים. כל הכפלה של הדיוק מרבעת את העלות. זו הסיבה שסקרים מסחריים נעצרים על דיוק של שלושה-ארבעה אחוזים: לרדת מתחת לזה עולה הרבה יותר מדי, על שיפור שולי.

אותו היגיון חל על רמת הסמך. אם נדרוש ביטחון גבוה יותר — 95% במקום 90%, או אפילו 99% — מספר סטיות-התקן z גדל, ואיתו המדגם. עבור אותו דיוק של ארבע דקות, ברמת סמך של 99% (z = 2.576) נצטרך:

אותו דיוק בדיוק, אבל ביטחון גבוה יותר — וכבר צריך כמעט להכפיל את המדגם מ-48 ל-82. ביטחון, גם הוא, עולה כסף.

אותה נוסחה, תופעה אחרת

הנוסחה אינה תלויה בנושא — רק במספרים. ניקח את מפעל הצמיגים מן הדוגמאות הקודמות בפרק, שבו סטיית התקן של הלחץ המקסימלי ידועה ושווה ל-0.7 אטמוספרה. נניח שאנחנו רוצים לאמוד את הלחץ הממוצע בדיוק של עשירית אטמוספרה לכל כיוון, ברמת סמך של 95%. כמה צמיגים לבדוק?

189 צמיגים. ואם נסתפק ברמת סמך של 90% (z = 1.64, הערך שבו הפרק משתמש), המדגם הנדרש מצטמצם ל-132 — ויתור קטן על ביטחון, חיסכון של כמעט שליש בבדיקות. הערה אחת לסיום: הנוסחה הזו מניחה שסטיית התקן ידועה מראש. כשהיא אינה ידועה — המצב השכיח בשטח — נצטרך לאמוד אותה תוך כדי, וזה כבר מוביל אל התפלגות אחרת (התפלגות t) שבפרק הבא.

שלושת הגורמים האלה הם הידיות שביד הדוגם: כמה דיוק (E), כמה ביטחון (z), וכמה רחבה התופעה מלכתחילה (sigma). את הפיזור הטבעי איננו יכולים לשנות — הוא תכונה של העולם. אבל את הדיוק ואת הביטחון אנחנו בוחרים, ובכל בחירה כזו אנחנו למעשה מתמחרים את גודל המדגם. השאלה "כמה אנשים לדגום" אינה שאלה טכנית — היא החלטה על כמה אנחנו מוכנים לשלם עבור ודאות.

מה זה אומר עבורך

הפעם הבאה שתראו ±3 בסקר — תדעו: זו לא הערכה שרירותית. זו נוסחה עם ארבעה מספרים: ממוצע המדגם, סטיית-תקן, גודל המדגם, ורמת הביטחון שנבחרה. שינוי אחד מהם — המרווח משתנה. הסקרים שבוחרים ב-95% ואומרים ±3 — בוחרים לא להסביר זאת לציבור. עכשיו אתם יודעים.

סיכום

הנוסחה: x̄ ± z_(α/2) · (σ/√n). בפרק הבא — בדיקת השערות: לא רק "מה הטווח?" אלא "האם הממוצע שמדדנו שונה מספיק מהממוצע הנטען?"