פיזור סיכון בסל מניות למתחילים: שונות משותפת ומקדם מתאם

למה שתי מניות מאותו ענף לא ממש מגנות אחת על השנייה.

הפתיחה

מי שקנה שתי מניות של חברות יצואניות ישראליות בשנת 2022 — לא פיזר. שתי החברות תלויות בשער הדולר, אז כשהדולר נחלש, שתיהן ירדו יחד. להחזיק שתיים מאותו ענף זה לא פיזור — זה שתי הצהרות זהות. הפרק הזה עוסק במנגנון המתמטי שמסביר בדיוק למה: שונות-משותפת ומתאם.

שונות-משותפת — COV

השונות-המשותפת (Covariance, COV) בין שתי מניות מודדת כיצד הן זזות ביחד:
– COV חיובי: כשמניה 1 עולה, מניה 2 נוטה לעלות.
– COV שלילי: כשמניה 1 עולה, מניה 2 נוטה לרדת.
– COV קרוב לאפס: אין קשר ממשי בין התנועות.

נוסחת-החישוב:

COV(1,2) = Σ [p(s) · (R₁(s) − E(R₁)) · (R₂(s) − E(R₂))]

כאשר p(s) = הסתברות-תרחיש, R₁(s) = תשואת-מניה-1 בתרחיש s, E(R₁) = תוחלתה.

מקדם-המתאם ρ

הבעיה עם COV: הוא תלוי-קנה-מידה. COV=50 בין שתי מניות שמחירן 1,000 ש"ח ו-COV=50 בין מניות שמחירן 10 ש"ח — לא ניתן להשוות. לכן מנרמלים למקדם-המתאם ρ \rho:

ρ(1,2) = COV(1,2) / (σ₁ · σ₂)

תמיד מתקיים: −1 ≤ ρ ≤ +1.

שלושת הערכים הקיצוניים ומשמעותם:

בישראל: ענף הבנקים עם ענף הנדל"ן לרוב מתאם חיובי (שניהם רגישים לריבית); יצואניות מול יבואניות תלויות-דולר עשויות להיות בכיוון הפוך.

דוגמה חישובית

שתי מניות (5) ו-(6) בשלושה תרחישים שווי-הסתברות (p=⅓ כל אחד):

E(5) = (5+3+1)/3 = 3% ; E(6) = (8+2+2)/3 = 4%

σ(5) = √[(⅓·(2%)² + ⅓·(0%)² + ⅓·(−2%)²)] = √[(4/3+0+4/3)] = √(8/3) ≈ 1.63%

σ(6) = √[(⅓·(4%)² + ⅓·(−2%)² + ⅓·(−2%)²)] = √[(16/3+4/3+4/3)] = √8 ≈ 2.83%

COV(5,6) = ⅓·(2%·4%) + ⅓·(0%·(−2%)) + ⅓·((−2%)·(−2%)) = ⅓·(8+0+4)·10⁻⁴ = 4·10⁻⁴

ρ(5,6) = 4·10⁻⁴ / (0.0163 · 0.0283) = 4·10⁻⁴ / 4.619·10⁻⁴ ≈ 0.866

מתאם חיובי-גבוה אך לא-מושלם (≈0.866). שתי המניות זזות בכיוון זהה ברוב הזמן — אך הפיזור החלקי קיים: שילובן עדיין מפחית מעט מהסיכון לעומת החזקה יחידה.

שלושת מקרי מקדם המתאם — איך \rho קובע כמה סיכון אפשר לפזר

מקדם המתאם (correlation, מסומן \rho) מקבל ערך בין (-1) ל-(+1), והוא לבדו מכריע אם שילוב שתי מניות יקטין את הסיכון הכולל או רק יערבב אותו. נדגים זאת על שתי מניות קבועות לאורך שלושת המקרים — S1 שתוחלתה 0.05 וסיכונה 0.15, ו-S2 שתוחלתה 0.10 וסיכונה 0.30 — ונשנה רק את \rho ביניהן. לכל מקרה נחשב את ההרכב הפנימי שממזער את הסיכון, לא נסתפק בתיאור מילולי.

מקרה א': \rho = -1 — מתאם הפוך מושלם

כששתי המניות נעות תמיד בכיוונים מנוגדים, אפשר לבנות סל שסיכונו אפס ממש. ההרכב שמאפס את הסיכון מתקבל כשתרומות הסיכון של שתי המניות מתבטלות, כלומר W_1\sigma_1 = W_2\sigma_2:

W_1 = \frac{\sigma_2}{\sigma_1+\sigma_2} = \frac{0.30}{0.15+0.30} = \frac{2}{3}\approx 67\%

כלומר \tfrac{2}{3} מהמניה בעלת הסיכון הנמוך (S1) ו-\tfrac{1}{3} מהמניה בעלת הסיכון הגבוה (S2). התוחלת של סל זה היא E = \tfrac{2}{3}\cdot0.05 + \tfrac{1}{3}\cdot0.10 = 0.066, והסיכון \sigma = 0. זהו המקרה היחיד שבו פיזור מוחק סיכון לחלוטין.

מקרה ב': \rho = 0 — היעדר מתאם

כשאין קשר בין תנועות המניות, עדיין אפשר לצמצם סיכון, אך לא לאפסו. נוסחת ההרכב למינימום שונות, כש-\rho=0 מבטל את האיבר המשותף, היא:

W_1 = \frac{\sigma_2^{2}}{\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2}} = \frac{0.30^{2}}{0.15^{2}+0.30^{2}} = \frac{0.09}{0.1125} = 0.8 = 80\%

הרכב של 80% S1 ו-20% S2 נותן תוחלת (E = 0.8cdot0.05 + 0.2cdot0.10 = 0.06) וסיכון \sigma = \sqrt{0.018} \approx 0.134 — נמוך מהסיכון של כל אחת מהמניות בנפרד, אך גדול מאפס.

מקרה ג': \rho = +1 — מתאם חיובי מושלם

כששתי המניות נעות תמיד יחד, פיזור אינו מקטין סיכון כלל. המסלול בין S1 ל-S2 הוא קו ישר עולה, והסל בעל הסיכון הנמוך ביותר הוא פשוט 100% S1 — סיכונו זהה לסיכון המניה, 0.15. כאן אין מה למזער: הסיכון גדל באופן ליניארי ככל שמגדילים את משקל S2.

שלוש העקומות יחד ממחישות את העיקרון: ככל ש-\rho קטן יותר (קרוב ל-(-1)), העקומה נשברת שמאלה והפיזור עובד טוב יותר; ככל שהוא קרוב ל-(+1), העקומה מתיישרת והפיזור מאבד את כוחו.

שונות-הסל

כדי לחשב את סטיית-התקן של סל שמורכב משתי מניות, צריך לדעת לא רק את σ של כל אחת, אלא גם את ה-COV ביניהן.

נוסחת שונות-הסל (נוסחה 6):

σ²(B) = x₁² · σ₁² + x₂² · σ₂² + 2 · x₁ · x₂ · COV(1,2)

כאשר x₁ + x₂ = 1 (שיעורי-ההשקעה).

אם ρ=+1 (מתאם חיובי מושלם):
σ(B) = x₁·σ₁ + x₂·σ₂ (ממוצע משוקלל פשוט — אין הפחתת-סיכון)

אם ρ=0 (ללא מתאם):
σ²(B) = x₁²·σ₁² + x₂²·σ₂² (הפחתה משמעותית — הפיזור עובד)

אם ρ=−1 (מתאם שלילי מושלם):
σ(B) = |x₁·σ₁ − x₂·σ₂| (הפחתה מקסימלית — אפשר להגיע ל-σ=0 בהרכב הנכון!)

מינימום-שונות

לכל זוג מניות קיים שיעור-השקעה x₁* שמקטין את σ(B) עד המינימום האפשרי.

נוסחת מינימום-שונות (נוסחה 3):

x₁* = (σ₂² − COV(1,2)) / (σ₁² + σ₂² − 2·COV(1,2))

x₂ = 1 − x₁

דוגמה מסל (ב):

נתון: σ₁=5%, σ₂=10%, COV=0.

x₁ = (100 − 0) / (25 + 100 − 0) = 100/125 = 0.80*

x₂* = 0.20

E(B) = 0.80·5% + 0.20·10% = 4% + 2% = 6%

σ²(B) = 0.64·25 + 0.04·100 + 0 = 16 + 4 = 20 → σ(B) = √20 ≈ 4.47%

בסל הזה, ההרכב 80/20 מניב תוחלת 6% עם הסטייה-הקטנה-ביותר האפשרית — 4.47% לעומת 5% או 10% של כל מניה בנפרד.

הוק-wow

מתאם שלילי מושלם (ρ=−1) מאפשר לבנות סל עם σ=0 — ממש חסר-סיכון. המשמעות: שתי מניות שזזות הפוך בדיוק, בהרכב הנכון, מבטלות את הסיכון לחלוטין. בעולם האמיתי ρ=−1 מושלם לא קיים, אבל הרעיון הזה הוא הבסיס לאסטרטגיות גידור.

תיבת פעולה — מה זה אומר עבורך

פיזור עובד רק אם המתאם נמוך. עשר מניות מאותו ענף, שכולן רגישות לאותו גורם-סיכון (ריבית, מט"ח, מחזור-כלכלי), הן לא פיזור — הן ריכוז. פיזור אמיתי = לשלב נכסים עם ρ נמוך אחד לשני. לכן שילוב מניות + אג"ח עובד: לרוב מתאמם שלילי-חלקי.

סיכום

שונות-משותפת ומתאם הם המנגנון שמאחורי פיזור-הסיכון. ρ=+1 = שתי מניות שזזות ביחד = אין פיזור. ρ=−1 = הפוך בדיוק = פיזור מקסימלי עד σ=0. בעולם האמיתי רוב המניות בין השניים — ולכן גם הפיזור חלקי, לא מוחלט. הפרק הבא שואל: אם יש לי "מפה" של כל הסלים האפשריים, ואני משקיע עם פרופיל-סיכון מסוים — איזה סל אני בוחר?

בפרק הבא: עקומות אדישות — כיצד לזהות את פרופיל-הסיכון שלך ולמצוא את הסל שמתאים לו.

פרק זה הוא חינוך פיננסי — הסבר של מנגנון, לא ייעוץ השקעה. ההחלטה אם וכיצד להשקיע היא שלך.