תשובות לשאלות

הערה: פרק זה נבנה מחדש מה-PDF. הגרסה החיה הכילה שיבושי-RTL חמורים (מספרים הפוכים, תשובות חתוכות). כל מספר לקוח מה-PDF, לא מהגרסה החיה.

הקדמה

כל שאלה שהופיעה בסוף פרקים 1–4 מקבלת כאן פתרון צעד-אחר-צעד. השתמש בפרק הזה כ"בוחן עצמי" — נסה לפתור לבד לפני שאתה רואה את הפתרון. אם לא הצלחת: הנוסחה מודגשת בתחילת כל פתרון, ואחריה החישוב המלא.

פרק 1 — קרן וריבית: פתרונות

שאלה 1

שאלה: הלווית לחבר 5,000 שקלים לשנה בריבית 6%. מה הקרן? מה סכום-הריבית? מה תקבל בסוף?

פתרון:
– קרן = 5,000 ₪
– נוסחה: סכום ריבית = קרן × שיעור ריבית × תקופה
– סכום ריבית = 5,000 × 6% × 1 = 300 ₪
– סה"כ לקבל בסוף = 5,000 + 300 = 5,300 ₪

שאלה 2

שאלה: ריבית תעריפית 18% לשנה, מחושבת חודשי. חשב את הריבית האפקטיבית.

פתרון:
– נוסחה: ריבית אפקטיבית = (1 + i_נקובה/n)ⁿ − 1
– i חודשית = 18% / 12 = 1.5% לחודש
– ריבית אפקטיבית = (1 + 0.015)¹² − 1 = (1.015)¹² − 1
– (1.015)¹² = 1.1956 (בקירוב)
– ריבית אפקטיבית = 19.56% לשנה

פרשנות: ריבית שנקובה "18% שנתי" ומחושבת חודשי — עולה בפועל 19.56%.

שאלה 3

שאלה: לקחת הלוואה של 50,000 שקלים לשלוש שנים בריבית תעריפית 9% (מחושבת חודשי). מדוע הריבית שתשלם בפועל תהיה גבוהה מ-9%?

פתרון:
– ריבית תעריפית 9%, מחושבת חודשי: i חודשית = 9% / 12 = 0.75%
– ריבית אפקטיבית = (1.0075)¹² − 1 = 1.0938 − 1 = 9.38% לשנה

מדוע? כי חישוב חודשי יוצר ריבית-דריבית — כל חודש משלמים ריבית על יתרה שכוללת ריבית מחודשים קודמים. לכן האפקטיבית (9.38%) תמיד גבוהה מהתעריפית (9%).

שאלה 4

שאלה: פיקדון שקלי בריבית 4% בסביבה אינפלציונית של 6%. מה הריבית הריאלית? מה זה אומר לחוסך?

פתרון:
– נוסחה: ריבית ריאלית ≈ ריבית נומינלית − שיעור האינפלציה
– ריבית ריאלית ≈ 4% − 6% = −2%

פרשנות: החוסך "מרוויח" 4% נומינלית — אבל הכוח-הקנייה של חסכונו יורד ב-2% בשנה. בפועל, כל שקל שחסך שווה פחות בסוף השנה מבחינת מה אפשר לקנות בו.

(לחישוב מדויק יותר: ריבית ריאלית = [(1.04/1.06) − 1] = −1.89%, אבל הקירוב "−2%" מקובל)

שאלה 5

שאלה: מה ההבדל בין לוח שפיצר ללוח קרן-שווה מבחינת סך-הריבית שמשלמים לאורך כל התקופה?

פתרון:
– לוח שפיצר: תשלום חודשי קבוע. בתחילה — עיקר התשלום הוא ריבית. לכן הקרן יורדת לאט בשנים הראשונות, הריבית צוברת יותר זמן, וסך-הריבית הכוללת גבוה יותר.
– לוח קרן-שווה: קרן קבועה בכל חודש, תשלום כולל יורד עם הזמן. הקרן יורדת מהר יותר → ריבית מחושבת על סכום-יורד → סך-הריבית הכוללת נמוך יותר.

מסקנה: לוח קרן-שווה זול יותר בסך-ריבית על כל תקופת-ההלוואה, אך דורש תשלום חודשי גבוה יותר בשנים הראשונות.

כלי-משכנתא של MSL: msl.org.il/calculators/mortgage/

פרק 2 — ערך-הזמן של הכסף: פתרונות

שאלה 1

שאלה: השקעה של 5,000 שקלים בריבית 6% לשנה (ריבית-דריבית). מה הערך העתידי לאחר 4 שנים?

פתרון:
– נוסחה: FV = PV × (1 + r)ⁿ
– FV = 5,000 × (1.06)⁴ = 5,000 × 1.2625 = 6,312.38 ₪

כלי-דריבית של MSL: msl.org.il/calculators/compound-interest/

שאלה 2

שאלה: אתה אמור לקבל 10,000 שקלים בעוד 3 שנים. שיעור-ההיוון הוא 8%. מה הערך הנוכחי?

פתרון:
– נוסחה: PV = FV / (1 + r)ⁿ
– PV = 10,000 / (1.08)³ = 10,000 / 1.2597 = 7,938.32 ₪

פרשנות: 10,000 ₪ בעוד 3 שנים שווים כ-7,938 ₪ היום (כש-r = 8%).

שאלה 3

שאלה: השוו: 3,000 שקלים להיום, לעומת 3,300 שקלים בעוד שנה, בריבית שוק של 7%. מה עדיף?

פתרון:
– היווּן 3,300 ₪ בעוד שנה: PV = 3,300 / 1.07 = 3,084.11 ₪
– 3,084 ₪ היום > 3,000 ₪ היום

מסקנה: 3,300 ₪ בעוד שנה עדיפים — ערכם הנוכחי (3,084) גבוה מ-3,000 ₪ שמוצעים היום.

שאלה 4

שאלה: זרם תקבולים: 2,000 ₪ בשנה הראשונה, 3,000 בשנה השנייה, 4,000 בשנה השלישית. שיעור-היוון 10%. מה הערך הנוכחי הכולל?

פתרון:
– נוסחה: PV_סה"כ = C₁/(1+r)¹ + C₂/(1+r)² + C₃/(1+r)³
– PV₁ = 2,000 / 1.10 = 1,818.18 ₪
– PV₂ = 3,000 / (1.10)² = 3,000 / 1.21 = 2,479.34 ₪
– PV₃ = 4,000 / (1.10)³ = 4,000 / 1.331 = 3,005.26 ₪
– PV סה"כ = 7,302.78 ₪

שאלה 5

שאלה: מדוע אותו תקבול עתידי שווה פחות כשמשתמשים בשיעור-היוון גבוה יותר?

פתרון:
שיעור-ההיוון מייצג את עלות-ההמתנה: אם יש אלטרנטיבה השקעתית שמניבה 10% — כל שקל שאתה מוכן לחכות לו בעתיד "מפסיד" 10% לשנה לעומת האלטרנטיבה. שיעור גבוה יותר = ה"מחיר" של ההמתנה גבוה יותר = התקבול העתידי שווה פחות היום.

מתמטית: PV = FV / (1+r)ⁿ — ככל שr גדול, המכנה גדל, ה-PV קטן.

פרק 3 — ממוצע/תוחלת/σ: פתרונות

שאלה 1

שאלה: חמש תשואות שנתיות של מניה: 5%, 10%, −3%, 8%, 15%. חשב ממוצע חשבוני ואת ה-σ.

פתרון:
– ממוצע = (5+10−3+8+15)/5 = 35/5 = 7%
– הפרשים מהממוצע: −2%, +3%, −10%, +1%, +8%
– ריבועי ההפרשים: 4, 9, 100, 1, 64
– שונות = (4+9+100+1+64)/5 = 178/5 = 35.6
– σ = √35.6 ≈ 5.97%

שאלה 2

שאלה: תיק השקעות: 70% מניות (ממוצע 12%, σ 18%) ו-30% אג"ח (ממוצע 4%, σ 3%). מה תשואת-התיק הממוצעת?

פתרון:
– נוסחה: ממוצע משוקלל = Σ (משקל × תשואה)
– תשואת-תיק = 70% × 12% + 30% × 4% = 8.4% + 1.2% = 9.6%

(σ של תיק מורכב יותר לחישוב — דורש מטריצת-קורלציה, מחוץ לתחום הספר)

שאלה 3

שאלה: השקעה עם שלוש תוצאות: רווח 15,000 ₪ (40%), רווח 5,000 ₪ (40%), הפסד 8,000 ₪ (20%). מה התוחלת?

פתרון:
– נוסחה: E(X) = Σ [P(xᵢ) × xᵢ]
– E(X) = (0.40 × 15,000) + (0.40 × 5,000) + (0.20 × (−8,000))
– E(X) = 6,000 + 2,000 − 1,600 = 6,400 ₪

שאלה 4

שאלה: שתי קרנות עם ממוצע-תשואה שנתי זהה. קרן א' σ = 3%, קרן ב' σ = 14%. אתה קרוב לפרישה — איזו תעדיף ומדוע?

פתרון:
עדיפה קרן א' (σ = 3%).

מדוע? כשאתה קרוב לפרישה, אין לך שנים "לחכות שיתאוששו ירידות". קרן ב' עם σ = 14% עשויה לרדת 28% בשנה אחת גרועה (בהנחת התפלגות נורמלית, ~±2σ). ירידה כזו לפני פרישה = נזק לא-הפיך לרמת-החיים. קרן א' עם σ = 3% "שמרנית" יותר — הביטחון בתשואה עולה על הפוטנציאל-הגבוה.

שאלה 5

שאלה: מה ההבדל בין ממוצע לתוחלת?

פתרון:
– ממוצע = מחשב נתוני-עבר שכבר קרו. "מה הייתה התשואה הממוצעת בקרן הזו ב-10 השנים האחרונות?"
– תוחלת = מחשב ציפייה לעתיד, לפי הסתברויות מוגדרות. "מה הרווח הצפוי מהשקעה עם תוצאות-אפשריות וסיכויים ידועים?"

ממוצע = עבר. תוחלת = עתיד-הסתברותי.

פרק 4 — סל מניות: פתרונות

שאלה 1

שאלה: מה ההבדל בין מדד משוקלל-מחיר למדד משוקלל-שווי?

פתרון:
– משוקלל-מחיר (דאו): השפעת מניה = מחיר-המניה בדולרים. חברה עם מניה יקרה משפיעה יותר, ללא קשר לגודלה האמיתי.
– משוקלל-שווי (S&P 500, ת"א-35): השפעת מניה = מחיר × מספר-מניות (= שווי-שוק). חברה גדולה יותר משפיעה יותר.

דאו = ייחודי; S&P ו-ת"א-35 = הסטנדרט הרווח.

שאלה 2

שאלה: מניה עם ביתא 1.4. השוק ירד 10%. כמה ירדה המניה?

פתרון:
– נוסחה: שינוי-מניה ≈ β × שינוי-שוק
– ירידת מניה ≈ 1.4 × (−10%) = −14%

פרשנות: מניה עם β = 1.4 "מגזימה" בכיוון השוק — עולה יותר בעלייה, ויורדת יותר בירידה.

שאלה 3

שאלה: קרן פנסיה "מנייתית" β = 1.1, קרן "מאוזנת" β = 0.6. איזו תנודתיות לצפות?

פתרון:
– קרן מנייתית (β = 1.1): תנועות של ~10% בשוק → ~11% בקרן. קצת יותר תנודתית מהשוק.
– קרן מאוזנת (β = 0.6): תנועות של 10% בשוק → ~6% בקרן. הרבה יותר שקטה.

מי שלא מסוגל לראות ירידה של 30%+ בחיסכון שלו (נפשית, או בגלל שקרוב לפרישה) — מסלול עם β נמוכה מגן עליו.

שאלה 4

שאלה: מדוע פיזור לתיק-מדד לא מבטל את כל הסיכון?

פתרון:
פיזור מבטל סיכון ספציפי (הסיכון הייחודי לחברה). אבל סיכון שיטתי — ירידה בכל השוק בגלל מיתון, מלחמה, שינוי-ריבית — פוגע בכל 35/500 החברות יחד. גם מי שמחזיק את כל ת"א-35 עדיין יורד ב"שנה רעה" לשוק הישראלי. ביתא מודדת בדיוק את הסיכון הבלתי-ניתן-לגיוון הזה.

שאלה 5

שאלה: פיצול מניה (2:1) של חברה במדד דאו — מה קורה לביתא ולמשקל?

פתרון:
– ביתא: אינה מושפעת מפיצול. ביתא מודדת רגישות לשוק — ולא המחיר הנומינלי.
– משקל בדאו: יורד. הדאו משוקלל-מחיר, ואחרי פיצול 2:1 מחיר-המניה בחצי → משקלה בדאו בחצי, גם אם שווי-השוק לא השתנה. לכן, פיצול-מניה תמיד מחייב התאמת-מחלק בדאו.